极限计算方法总结
电力电子科学与技术 101班
高等数学论文
极限方法总结
极限计算方法总结
一、极限定义、运算法则和一些结果
1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。
说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的
极限严格定义证明，例如：lim
lim (3x -1) =5；lim q n =⎨；等等
x →2n →∞不存在，当|q |≥1时⎩ （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需
再用极限严格定义证明。
2．极限运算法则
定理1 已知 lim f (x ) ，lim g (x ) 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）lim[f (x ) ±g (x )]=A ±B
（2）lim f (x ) ⋅g (x ) =A ⋅B
b
=0(a , b 为常数且a ≠0) ；
n →∞0，当|q |
（3）lim
f (x ) A
=, (此时需B ≠0成立) g (x ) B
说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，
不能用。
3．两个重要极限
（1）
lim
sin x
=1
x →0x
1
x
（2）
(1+) x =e lim (1+x ) =e ； l i m x →∞x →0
说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，
例如：lim
sin 3x
=1，lim (1-2x )
x →0x →03x
1
-2x
=e ，lim (1+) =e ；等等。
x →∞
x
3
4．等价无穷小
定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3 当x →0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：
x ～sin x ～tan x ～arcsin
x ～arctan x ～ln(1+x ) ～e x -1 。
说明：当上面每个函数中的自变量x 换成g (x ) 时（g (x ) →0），仍有上面的等价 23x 2
3x -x e -11-x ) ～ 关系成立，例如：当x →0时， ～ ；ln(。
定理4 如果函数
f (x ), g (x ), f 1(x ), g 1(x ) 都是x →x 0时的无穷小，且f (x ) ～
f 1(x ) f (x )
存在时，l i 也存在且等于f 1(x ) ，g (x ) ～g 1(x ) ，则当lim x →x 0g (x ) x →x 0g (x ) 1
f (x ) lim x →x
f 1(x ) f 1(x ) f (x )
lim lim ，即=。 x →x 0g (x ) x →x 0g (x ) g 1(x ) 1
5．洛必达法则
定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f (x ) 和g (x ) 满足：
（1）f (x ) 和g (x ) 的极限都是0或都是无穷大；
（2）f (x ) 和g (x ) 都可导，且g (x ) 的导数不为0；
f '(x )
（3）lim 存在（或是无穷大）；
'g (x )
则极限lim
f (x ) f '(x ) f (x ) f '(x )
lim lim lim 也一定存在，且等于，即= 。
g (x ) g '(x ) g (x ) g '(x )
说明：定理5称为洛必达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条．．．．．不满足，洛必达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极．．．
限是否为“
0∞
”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完0∞
毕后可以知道是否满足。另外，洛必达法则可以连续使用，但每次使用之前都需
要注意条件。
6．连续性
定理6 一切连续函数在其定义区间内的点处都连续，即如果x 0是函数f (x ) 的定义区间
内的一点，则有lim
x →x 0
f (x ) =f (x 0) 。
7．极限存在准则
定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。
定理8（准则2） 已知{x n }, {y n }, {z n }为三个数列，且满足：
（1）
（2）
y n ≤x n ≤z n , (n =1, 2, 3, )
n →∞
n →∞
lim y n =a ，lim z n =a
=a 。
n →∞
则极限lim x n 一定存在，且极限值也是a ，即lim x n
n →∞
二、求极限方法举例
1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1
lim
x →1
x +1-2
x -1
(x +1) 2-223x -33
=lim = 。 解：原式=lim
x →1(x -1)(x +1+2) x →1(x -1)(x +1+2) 4
注：本题也可以用洛必达法则。 例2
lim n (n +2-n -1)
n →∞
n [(n +2) -(n -1)]分子分母同除以
=解：原式=lim n →∞n +2+n -1(-1) n +3n
例3 lim
n →∞2n +3n
上下同除以3
n
n
lim
n →∞
3+
21+1-n n
=
3
。 2
解：原式
=
1
(-) n +1lim =1 。 n →∞2n
() +13
2． 利用函数的连续性（定理6）求极限 例4
lim x 2e
x →2
1x
12x
解：因为x 0
=2是函数f (x ) =x e 的一个连续点，
2
所以 原式=2e =4e 。
12
3． 利用两个重要极限求极限 例5
lim
1-cos x
2x →03x
x x
2sin 2
=lim =1lim 解：原式=
x →0x →0x 26 。 3x 2
12⋅()
2
2sin 2
注：本题也可以用洛必达法则。 例6
2x
lim (1-3sin x ) x →0
1-6sin x
⋅
解：原式=lim (1-3sin x )
x →0
=lim [(1-3sin x )
x →0
1
-3sin x
]
-6sin x =e -6 。
例7 lim (n →∞
n -2n
) n +1
n +1-3n
-3-3⋅
) 解：原式=lim (1+
n →∞n +1
4． 利用定理2求极限 例8
-3-3=lim [(1+) ]=e -3 。 n →∞n +1
n +1
-3n
lim x 2sin
x →0
1
x
解：原式=0 （定理2的结果）。
5． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限 例9
lim
x →0
x ln(1+3x )
2
arctan(x )
2
解： x →0时，ln(1+3x ) ～3x ，arctan(x 2) ～x ，
∴ 原式=lim
x →0
x ⋅3x
=3 。 2
x
e x -e sin x
例10 lim
x →0x -sin x
e sin x (e x -sin x -1) e sin x (x -sin x )
=lim =1 。 解：原式=lim x →0x →0x -sin x x -sin x
注：下面的解法是错误的：
(e x -1) -(e sin x -1) x -sin x =lim =1 。 原式=lim
x →0x →0x -sin x x -sin x
正如下面例题解法错误一样：
t a n x -s i n x x -x l i =l i =0 。 x →0x →0x 3x 3
例11
1
tan(x 2sin )
lim x →0sin x
2
x sin 解： 当x →0时，
111
是无穷小，∴tan(x 2sin ) 与x 2sin 等价， x x x
x 2sin
所以， 原式=lim
x →0
1
=lim x sin 1=0 。
（最后一步用到定理2）
x →0x x
6． 利用洛必达法则求极限
说明：当所求极限中的函数必较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代
换等方法。同时，洛必达法则还可以连续使用。 例12
lim
1-cos x
（例4） 2x →03x
sin x 1= 。（最后一步用到了重要极限）
x →06x 6
解：原式=lim
cos
例13
πx
lim
x →1
x -1
-
解：原式=lim
x →1
π
sin
πx
=-π 。 12
例14
lim
x →0
x -sin x x 3
1-cos x sin x 1
lim = 。=（连续用洛必达法则，最后用重要极限） 2x →0x →06x 63x
解：原式=lim
例15 解：
lim
sin x -x cos x 2x →0x sin x
原式=lim
sin x -x cos x cos x -(cosx -x sin x )
=lim
x →0x →0x 2⋅x 3x 2
x sin x 1=lim =x →033x 2
例18
11lim [-] x →0x ln(1+x )
11
lim [-]=0 。 解：错误解法：原式=
x →0x x
正确解法：
原式=lim
ln(1+x ) -x ln(1+x ) -x
=lim
x →0x ln(1+x ) x ⋅x x →0
1
-1
x 1
=lim =lim =。x →0x →02x (1+x ) 2x 2
应该注意，洛必达法则并不是总可以用，如下例。
例19 lim
x →∞
x -2sin x
3x +cos x
1-2cos x 0
”型，但用洛必达法则后得到：lim ，此极限
x →∞3-sin x 0
解：易见：该极限是“
不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：
2sin x
原式=lim （分子、分母同时除以x ）
x →∞cos x
3+
x
1-
=
1
（利用定理1和定理2） 3
7． 利用极限存在准则求极限
例20 已知x 1
x n =2, x n +1=2+x n , (n =1, 2, ) ，求lim n →∞
n →∞
解：易证：数列{x n }单调递增，且有界（0
x n 存在，
lim x n =a 。对已知的递推公式 x n +1=2+x n
n →∞
两边求极限，得：
a =2+a ，解得：a =2或a =-1（不合题意，舍去）
所以
lim x n =2。
n →∞
例21 lim (
n →∞
1n +1n
2
+
1n +2
1
2
+ +
1
1n +n
2
)
1n +n
2
解： 易见：
n +n
2
n +1
2
+
n +2
2
+ +
n n +1
2
因为
lim
n →∞
n n +n
2
=1，lim
n →∞
n n +1
+
1
2
2
=1
+ +
1n +n
2
所以由准则2得：lim (
n →∞
1n +1
2
n +2
) =1 。
上面对求极限的常用方法进行了必较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于不常用，这里不作介绍。