直线与圆锥曲线问题的套路解法

直线与 圆锥 曲线问题 的套路解法　◇ 刘 静　直线与 圆锥 曲线 的位 置关系 问题是 中学数学各 主干知识 的 　 交汇点之一，是各种数学思想方法的综合点之一，也是初 等数学　 与高等数学的衔接点之一， 因此一直是高考数学的热点，题 目以　 二、运 用直线与圆锥 曲线问题中的套路解 题举例　 解答题的形式出现，由两个 （ 或三个 ） 问组成 ； 小 通常第一问考　 查基础知识，第二 （ 或第三 ）问主要考查直线与 圆锥 曲的交点及　 例 １ （０ ９四川理 ２ ）已知椭 圆　 ＋ ： 口＞ ＞ ） 左右　 ：２ ０ ０ 　 （ ｂ ｏ的 弦等 问题 ； 值 １ 分 ２分，计算量较大，难度 属于 中高档题 。其 实　 这类题 目并不那么难， 在准备时， 首先要掌握好解这类题 目的 “ 套　 　Ｆ ，离心率 ｅ 　 ，右准线方程为 ｘ ２ Ｉ 求　 ＝ ＝ 。（） 路 ” 以不变应万变 ； ， 其次要对 自己有信心，相信 自己能得大 部　 焦点分别为 Ｆ，２ ２ 　 分分值 。下面就谈谈用直线与圆锥 曲线问题 中的套路解题 。 　 椭 圆的标准方程 ；Ｉ） （Ｉ 过点 Ｆ的直 线 ，与该 椭圆交于 ＭＮ 点， 　 ，两 　一说 ………　． 。 　 ＝ 　 辱、直线与圆锥 曲线 问题 中的套路　且Ｉ ＋ 　 — ２ 丽 丽 ２ ６ ４—套路一 位 置套路—— 消元、分类、判别式　，３ 　求直线 ，的方程 。 　．２ 　由 　消 ｘ ｘ＋（ ｘ： ｛ ｙ 的 ２ｃＰ 得 麓 得 方ａｘ ￣ 　 ＋＝ 消 ｂ０ａ　ｂ ＋ ＝ ） ｘ＋ ｘ ｃ Ｏ　解析 ： （Ｉ） 由已知条件 易得椭 圆的方程 为　 十 一 。 ｙ 　 （Ⅱ）由 （Ｉ）知 Ｆ （１０ 、Ｆ （ ，） 　一 ，） 。１ ０ 。易知直 线 ， 的 斜　 率存在 。设 ，为 ｙｋｘ １。（ ＝ （ ） 解略 ） ＋ 　 例 ２ （００ ：２ １ 天津文 ２，理 ２）已知椭 圆 １ ０ 　 － ＝ （＞＞） Ｙ Ｉ ａ ｂｏ － 　 　１ 、若 ａ≠ ０，记△ ＝ 　４ ｃ ｂ－ ａ 则　（） 　 １ △ Ｏ甘 直线和 曲线相交 （ 两个 公共 点 ） 有 ； 　 的离心率　 掣 ，连接椭 圆的 四个顶点得到的菱形的面 积为　 （） Ｏ铮 直线和 曲线相切 （ 一个 公共点 ）　 ２ △＝ 有 ； ４ （Ｉ）求椭 圆的方 程 ； ． （Ⅱ ）设直线 ， 与椭 圆相交于不 同的　 （） 　 ３ △ ０§ 直 线和 曲线相离 （ 公共 点 ）　 无 。 ２ 、若 ａ ｏ ＝ ，则在 双 曲线 中，直线 和双 曲线的渐 近线平行 ， 两 点 Ａ ， 已知点 Ａ的坐 标为 （ａ ０ ．ｉ ｛Ｂ＝－ ，求直 线　 　 、Ｂ 一 ，） （）若 Ａ ｌ４２ ＿・ — ， ］ 与双 曲线相交 一点 ；在抛物线 中， 直线和抛 物线的对 称轴 平行 ， 　 ， 的倾 角 ；ｉ） （ｉ 若点 Ｑ （，ｏ在 线段 Ａ ０ｙ ） Ｂ的垂直平 分线上 ，且　与抛物线相交一点 。 　 套路二 交点套路——消元 、恒正 、横纵转 化　 ｉ 、消元，记△ ＝ 　４ ｃ ｂ ａ ，则 △ ＞　 Ｏ．　４ 求 Ｙ的值 ． ． 。 　解 ： Ｉ 由已 （ ） 知条件易得椭圆 ： ）＝ ． 为 ÷　 ， １　 ２（１ （）由 （Ｉ）可知点 Ａ的坐标 是 （２ ｏ ． １） ｉ － ，） 设点 Ｂ的坐　２ 、设交点为 Ａ ｘ ，　，Ｂ Ｘ，。 （　ｙ） （。Ｙ）则　 横坐标 ： 十Ｘ 　 ２＝一二， 　 ＝二 　标为 （ ， ） Ｘ Ｙ ，直 线 ｌ 　　 的斜率 为 ｋ 则直线 ｌ ． 的方程为 ｙｋｘ ２ ． ＝（ ） ＋ 　ｆ ｆ （＋２ ｙ ｋｘ 　 ｉ（ｌ ｘ）＝ Ｘ＋ 　 ４ｌ ＝一 ）＿ ． 　 ｘ— ２ （ 　）一 ｘ ２ （旦　 ４三： 。 ｌ ｘ横坐标 表示 纵坐标 ：１ ｘ ｍ ｙ ｋ２ 　 ｙ ｋ ｌ ，２ ｘ ｍ ＝ 十 ＝ ＋ｙ＋ ２ｋ（１ｘ） ２ 　 １ｙ＝ ｘ＋ ２＋ ｍＹＹ＿　１２ｍ （ １ ２ ｌ２ｋｘｘ＋ ｋ Ｘ＋ ） ｘ　 （１Ｙ） ｋ （１ｘ）　 ｙ－ ２ｅ 。ｘ＿ ２。 ＝于 、 两 的 标 足 程 ｛＂ Ｉ 消 并 理　 是ＡＢ 点 坐 满 方 组 ￡ 　Ｉ 去ｙ 整 ， ＿得 （＋ ｋ） ｅ１ｋＸ （６＝４＝ ， １ ４。ｘ＋ ６ 。十 １ｋ－ ） Ｏ　 △ ＝ １ｋ）－ （＋ ｋ） １ｋ ） １ ． （６ 　２ １４ 。（６ ￣４ ： ６ 　 ４： 　 ： 　± ！ 一０ ｋ） 　 ：　 ｚ ４ ￣：　’ 　１＋４ｋ‘ 　１＋４ｋ 　１＋４七 　５ 　（ 类似可 用纵 坐标 表示 横坐标 ） 　 套路 三 弦 中点套路——消元 、代方程　整理得 ３ ｋ－ ｋ－ ３Ｏ ２４９ ＝２ ＝ ，即 （ １ （２　２ ） Ｏ 　 ） ３ ｋ＋ ３ ＝ ，解得 ｋ ±１ ＝ ． 　所以直线 ｌ的倾斜角为　 或　 ． 　 （ｉ ｉ）设 线 段 Ａ Ｂ的 中 点 为 Ｍ ｘ Ｉ 　）　 由 （）得 到　 （啐 ，Ｙ ， ｉ１ 、弦 Ａ 中点坐 标 。设 中点 为 （０ 。 由 Ｘ ＝ Ｂ的 Ｘ， ） Ｙ， ｏ　 求 到 横 坐 标 ｘ， 然 后 代 Ｘ 入 直 线 （ 曲 线 ）方 程 求 Ｙ（ 。 。 或 。 　： 　 ，半一 ， 一 ’ 　 　 羔） ２ ’而 　 ｋ， 　 ＝ 　 从类似消 ｘ 可先求 ＿ 后求 Ｘ 　 ｙ 。 ｏ ）２ 、差 分 法 。 代 ｇｘ，。 （。 　 坐 标 入 圆 锥 曲 线　 （ Ｙ ，ＢＸ， ）的 　 ） Ｙ 方 程— — 两式 相 减—— 纵横 坐 标 分 别结 合—— 平 方差 公式 分　 解——结 合 中点公式解决 问题　套路四　 弦长套路— —消元 、判别式 、代公 式　Ｍ＿ ， ］ 为羔 　 ． ｆ 　分 两 种情 况 ：１ （ ）当 ｋＯ ＝ 时， 点 Ｂ 坐 标 是 （，） 线段　 的 ２０，弦 长公式 ： 　Ａ 的垂直平分线为Ｙ Ｂ 轴，于是 － －，　） ＝ ２ 　） 　 　 （２ 一 ， （， 由 　 一 萄 ・ ＝ ，得ｙ＝ ２ 。 　 ４ 。 ±　 　（） ｋ≠ ０ ２当 时，线段 Ａ Ｂ的垂直平分线方程为　Ｊ 　√ 一 ） 　 一 　 √ －２ ＋ 　 　） Ａ Ｊ （ 　　 　）＝ （ ｘ　　（一 　 Ｂ 　 ＝ ＋ 　 ）一４ ＋２ａｘｚ　 — ｋ ｘ ２＝ （ Ｘ＂） １ —（ 直线 率） ｋ 为 斜 ， 　ｌ４ ｋ斛　 ４ Ｊ ＋　 【 １ 七 　 Ｉ ＋ 　。 　 　一ｌ　 　 ｒ８ 、 　 ｌ 　◆　关于高中英语学习方法的建议　◇一廖 ｉ路　某些词 汇的用法 。泛读 的材料多 种多样，简 易读物， 中学 生英　、坚持使用 ，敢于 实践　我们学 习英语的 目的，不 是为了研究英语语 言的规律 ，主　 文报纸，各 类 比较浅 显的英语 文章，均可 以供 中学生泛读 。读　 要还 是为 了跟 外国人交 流，也就是 能用 英语听说 读写译 。这应　 这类材料 时，不要一碰 到生词就 翻辞典，尽量 靠上下文来猜 测　该说 是一 种技 能。而 技能 的掌握，光 靠理 论 的解释 是不行 的， 　 要在 实践 中反复地 、长期地 训练才能 成功。 因此 ，有 志于学好　 英语 的学 生，应该 赶快拿起 文章 阅读，打 开录音机 收听， 张开　 嘴说 。多 接触英语 ，对 英语 的领悟 就会加深 ，也就能 总结 出适　 合 自己的 好方法 。对 中国人 来说， 练好说 的能 力是不 容易 的， 　 需要不怕 出错，不怕别人笑话 的勇气 。中文、英文 ，差 别甚 大， 　 发音方法 很不相 同　 开始练 习说 ，肯定错误 百 出。这 时候，没　 有 开始阶段 的 “ 八道” 胡说 ，就没有一 口漂亮 的口语 。 　词 义，除非一个生词反复 出现，不知道意思实在影响理解全文 ， 　 否 则就 不查 。泛读 还要 讲究速 度，不必 逐 词细看 。泛读 多 了， 　 语 感就会强 ，还能逐步 锻炼 出跳 读与扫读 的能力 。可 以说 ，不　 会 泛读 的人 ，就 不叫会阅读。 　四、 写作　中学 生学 英语还有 一件 事要做 的，就 是写作 。听说读 写其　 实 是互 相影 响，互相制 约的。写的练 习可 以稍后进 行，但高 中 　 生无论如何是应该经常写一写英文的。写作，可以使我们对英　 文的掌握更精确，也可以促进听说读的能力的提高。中学生写　 英语， 开始不要长篇大论， 要从写简单句练习起。先写一两句话， 　 逐步 发展到五句 话、十句话 。初 学写作 时，可 以依 照中文意思　 译成英文， 慢慢 地靠头脑中的英文思维直接写出英文。 初学写作， 　 主要使 用小词 、小 句子，也就 是常用词和 简单句 。待 到有一定　 水平 了，也可 以适 当用一些复杂 结构，如 定语从句　 非谓语动　 词短语 ，强调句 型等等 。还要 练习用好 连接词语， 因为 连接词　 语用好 了，可 以使意 思表达更 准确，文章 更顺畅 。有一 点需要　 特 别提及 的是不要生 造 中国式 的英文 。中国人写英 文，应以模　 仿为主，用你听过的话来说，用你读过的句子来写 。 　二、起 始阶段 要格外 重视语 音语调　由于 读音 习惯 的不 同， 中国人要说 出标准的英语 ，很不容　 易。这就跟外 国人学汉语 一样，让 他们说 出标 准的普 通话 ， 　也　很 困难 。但是 ，为 了交 际的需要，我 们必须下决 心掌握地道 的　 英 语语音 语调 。 中学 生年 龄小，是 学 习语音语 调 的最佳 时期， 　 这个 时期打 下 良好基础，将来终生受益　 而 中学英语说得不好 ， 　 以后就不好改 正了 。目前的 中学生 中，很多人用 心模 仿外 国人　 的读音 ，他们反复 听录机 ，一遍 又一遍地 纠正 自己的语音语调 。 　 他们 利用一切机 会大声讲 英语，不怕说错 ，不怕 别人说 自己是　 中国式 的英语 ，并在 听说 的实践 中逐 步接近英美 人的 口音 。他　 们 的做 法值得借鉴 。学 习英 语，应坚持 听说领先 的原则，尤其　 五、背诵是英语学习的基 本功　 在 起始阶段 。我们看 到许 多初 中生 ，甚 至小学 生，发音很糟糕 ， 　 学 英语， 　只有在死 记的基础上 才能活用 。背诵就 是死记的　 却在那 里用心地钻 研语法规 则，这完全 是本末倒置 。须知语法　 第一步 。背 诵以背小 短文为好 。如 《 新概念英 语》 的第二 册上　 规则 以后是完全可 以学好 的，而 良好 的发 音和 口语 能力一过 了　 的小文章 ， 内容有趣 ，用词浅显 ，语 言地道， 实在 是练 习背诵　 这一年龄段就不好弥补 了。 　 的好材料。 背诵的好处很多， 以使我们熟 悉英语 的词汇和结构 ， 可 　 增 强语感 。由于背下 来的东西 已在 你头脑 中深深扎根，这 就为　 三、抓好阅读　 阅读是英语学 习的一个重要 方面，阅读能力是从 文字 中获　 你在 使用英 语时模仿 英美人 的句 型打下基 础，否则，你该 如何　 得 信息 的重要能力 ，也是 中国人学 习英语 的最便捷 的手段 。中　 说 ？如何写 呢？如果仅仅 是从语法规 则来编造 句子，那样 的英　 　 学 生应从精 读和泛 读两方面 努力 。所谓精 读，就是仔 细读，一　 语 很可能是不地 道的英语 。背诵的另一个好处是为未来作积累 。 中学时期是 一个人记 忆力 最好 的时期， 中学背 会的东西常 常能　 句 话一句话 地将结 构和意思搞 明 白。对不 明 白的词或短 语，要　 翻查辞典 ，务 求弄懂 。文章读完 后，还要学 习归纳 、综合 和推　 永 生难 忘 。没有 中学 时期 的大量背诵 ，将 来在英语 方面 向更 高　 　 理判断。有时候，将比较难的英文句子译成中文对准确的理解　 层次发展就 困难 了。 我相信我们的学生只要能认认真真地做到以上几点，出色　 英文很有好处。中学英语课本中的课文和一些英语名篇都可以 　 地学好英语 ，学活英语是完全 可能的。 　 作 为精读 的材料 。泛读 是中学生容 易忽略 的一 种 阅读方 式 。所　 （ 单位 ： 作者 重庆市长寿川维 中学） 　 谓 泛读，就 是泛泛一读 ，只求 了解大 意，不去 考虑句子结 构和　令 ｘＯ ＝ ＿解　＝一 ６ 　 　 ｋ。　（Ｙ　 Ｙｏ ｌ） －＝！ ： ！　 　 　 　 ：！ 二　。（４） １ ￣２ ＋２ 　＋ （ ＋ ］ 　 　 　 　由坐标套路有一 　 ＝１　 －４ ： ２ 　ｋ ６２ 　从　嚣 ，＝ａ＝４ 而＝ Ｍ （２丽　 　＋ ｋ ｘ）义 百 一一’ ０， 　（ 一） ２ｙ 　 －　咒 ） 　 （，一　 ）整得 ：故 ± 所　± 。 理７，席半，以： 　 　 ＝ ２ 　综 　 ｚ ２ 　 　； 圣　 上， ±√ 或 ±（ 作者单位 ： 攀枝花市第九 中学） 　２ ．３ ０Ｎ　 １０●　 １２