小谈特征根法求通项公式
专题 求递推数列通项的特征根法
Jacky Wu
一、形如a n +2=pa n +1+qa n (p , q 是常数）的数列
形如a 1=m 1, a 2=m 2, a n +2=pa n +1+qa n (p , q 是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项a n ，其特征方程为x 2=px +q …①
若①有二异根α, β，则可令a n =c 1αn +c 2βn (c 1, c 2是待定常数） 若①有二重根α=β，则可令a n =(c 1+nc 2) αn (c 1, c 2是待定常数） 再利用a 1=m 1, a 2=m 2, 可求得c 1, c 2，进而求得a n
例1 已知数列{a n }满足a 1=2, a 2=3, a n +2=3a n +1-2a n (n ∈N *) ，求数列{a n }的通项a n 解：其特征方程为x 2=3x -2，解得x 1=1, x 2=2，令a n =c 1⋅1n +c 2⋅2n ，
⎧c 1=1
⎧a 1=c 1+2c 2=2⎪n -1由⎨，得⎨1， ∴a n =1+2 ⎩a 2=c 1+4c 2=3⎪c 2=
⎩2
例2已知数列{a n }满足a 1=1, a 2=2, 4a n +2=4a n +1-a n (n ∈N *) ，求数列{a n }的通项a n
⎛1⎫
解：其特征方程为4x =4x -1，解得x 1=x 2=，令a n =(c 1+nc 2) ⎪，
2⎝2⎭
2
1
n
1⎧
a =(c +c ) ⨯=1112⎪⎧c 1=-43n -2⎪2由⎨，得⎨， ∴a n =n -1
2⎩c 2=6⎪a =(c +2c ) ⨯1=2
212⎪⎩4
二、形如a n +1=
Aa n +B C a n +D
的数列
对于数列a n +1=
Aa n +B C a n +D
，a 1=m , n ∈N *(A , B , C , D 是常数且C ≠0, AD -BC ≠0） ，变形为C x 2+(D -A ) x -B =0…②
a n +1-αa n +1-β
=c ⋅
a n -αa n -β
其特征方程为x =
A x +B C x +D
若②有二异根α, β，则可令
其中c 是待定常数），代入a 1, a 2的
1
值可求得c 值。
⎧a n -α⎫a 1-α
这样数列⎨，公比为c 的等比数列，于是这样可求得a n ⎬是首项为
a -βa -β1⎩n ⎭
若②有二重根α=β，则可令的值可求得c 值。 这样数列⎨
⎧
1a n +1-α
=
1a n -α
+c （其中c
是待定常数），代入a 1, a 2
⎫1
，公差为c 的等差数列，于是这样可求得a n ⎬是首项为
a n -α⎩a n -α⎭
1
a n -1+22a n -1+1
(n ≥2) ，求数列{a n }的通项a n
例3已知数列{a n }满足a 1=2, a n =
x +22x +1
a n -1a n +1
解：其特征方程为x = 由a 1=2, 得a 2=
45
，化简得2x 2-2=0，解得x 1=1, x 2=-1，令
13
a n +1-1a n +1+1
=c ⋅
，可得c =-，
n -1
⎧a n -1⎫a n -11⎛1⎫1a 1-11
-是以为首项，以为公比的等比数列，∴=⋅ -⎪=∴数列⎨⎬
3a +1a +13a +13⎝3⎭1⎩n ⎭n ∴a n =
3-(-1) 3+(-1)
n n
n n
，
2a n -14a n +6
例4已知数列{a n }满足a 1=2, a n +1=解：其特征方程为x =
2x -14x +6
(n ∈N ) ，求数列{a n }的通项a n
*
=
1a n +
12+c
，即4x 2+4x 1解得x 1=x 2=-+0=，
12
，令
1a n +1+
12
由a 1=2, 得a 2=
314
，求得c =1，
1a 1+
12
25
∴
数列
1a n +
1
⎧⎫
⎪1⎪⎨⎬
1⎪a n +⎪⎩2⎭
是以
=
为首项，以1为公差的等差数列，
∴=
23+(n -1⋅) =1n -， 55
∴a n =
2
13-5n 10n -6
2