2017相似三角形基本知识点及典型例题 (2)
相似三角形
一、知识点梳理 ★知识点一:比例线段
1、比例线段:在四条线段a , b , c , d 中,如果a 和b 的比等于c 和d 的比,即
a c
=,那么这四条线段b d
a , b , c , d 叫做成比例线段,简称比例线段。
a b 2=,那么b 叫做a 、c 的比例中项, 此时有b =ac 。 b c
PB AP
=3、黄金分割:如果点P 把线段AB 分成两条线段AP 和PB ,使,那么称线段AB 被点P 黄AP AB
2、比例中项:如果三个数a ,b ,c 满足比例式
金分割,点P 叫做线段AB
的黄金分割点,比值叫做黄金比。
长短1
≈0.618 =全长2
4、比例式变形:
a c a ±b c ±d a a +c
=⇔=或= b d b d b b +d
⎧a b
(交换内项) ⎪c =d ,
⎪
a c ⎪d c =⇔⎨=,(交换外项) b d b a ⎪
⎪d b
(同时交换内外项) ⎪c =a .
⎩
a 2a
例1、= ,那么 =_____。
b 3a +b
a +b a 3
例2、若=,则( )
b 5b 8335A 、 B 、 C 、 D 、
5528
★知识点二:相似三角形
1、定义:如果两个三角形中,三角对应相等,三边对应成比例,那么这两个三角形叫做相似三角形。如△ABC 与△DEF 相似,记作△ABC ∽△DEF 。
几种特殊三角形的相似关系:两个全等三角形一定相似。
两个等腰直角三角形一定相似。 两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
★知识点三:相似三角形的判定
1、定义法:三个对应角相等,三条对应边成比例的两个三角形相似.
2、平行法:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线) 相交,所构成的三角 形与原三角形相似.
3、判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两 个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似.
4、判定定理2:如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹 角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 5、判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这 两个三角形相似.简述为:三边对应成比例,两三角形相似.
相似三角形的几种基本图形:
(1) 如图:称为“平行线型”的相似三角形(有“A 型”与“X 型”图)
B
(3)
(2) 如图:其中∠1=∠2,则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。(有“反A 共角型”、
“反A 共角共边型”、 “蝶型”)
A
E
A
4D C
2B
D
E A
B
1
E
1D
C
B C
(3) 如图:称为“垂直型”(有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型(也称“射影定理型”)”“三垂
直型”)
B
B
(D )
(4)如图:∠1=∠2,∠B=∠D ,则△ADE ∽△ABC ,称为“旋转型”的相似三角形。
A
例1、如图,已知△ABC ∽△ADE ,AE =50 cm,EC =30 cm,BC =70 cm,∠BAC =45°, ∠ACB =40°,求:1)∠AED 和∠ADE 的度数;2)DE 的长。
D E
B
C
例2、如图所示,已知
中,E 为AB 延长线上的一点,AB=3BE,DE 与BC 相交于F ,请找出图
中各对相似三角形,并求出相应的相似比.
例3、已知:如图正方形ABCD 中,P 是BC 上的点,且BP=3PC,Q 是CD 的中点. 求证:△ADQ ∽△QCP .
例4、已知:如图,AD 是△ABC 的高,E 、F 分别是AB 、AC 的中点. 求证:△DFE ∽△ABC .
★知识点四:相似三角形的性质及其应用
(1)相似三角形对应角相等,对应边成比例.
(2)相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
(3)相似三角形周长的比等于相似比.
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方.
例1、△ABC ∽△DEF ,若△ABC 的边长分别为5cm 、6cm 、7cm ,而4cm 是△DEF 中一边的长度,你能求出△DEF 的另外两边的长度吗?试说明理由.
例2、△ABC 中,DE ∥BC ,M 为DE 中点,CM 交AB 于N ,若
例3、如图,已知AB ∥CD ∥EF,AC=CE=EP,△PAB 的面积为18cm ,求四边形CDEF 的面积。
2
,求.
例4、如图,在△ABC 在边中,点D,E,F 分别在边AB,AC,BC 上,DE ∥BC,DF ∥AC. 已知
AD 2
=,BD 3
S ABC a ,求 DFCE 的面积。
例5有一块三角形的余料ABC ,它的边长BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC 上,其余两个顶点分别在AB,AC 上,问加工成的正方形零件的边长为多少mm ?
练习:
1. 若△ABC ∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为1∶2,则△ABC 与△DEF 的周长比为( ) A .1∶4
B .1∶2
C .2∶1
D
2. 两个相似三角形的周长之比为3:4,则这两个三角形的面积之比为: 3. 两相似三角形的相似比为1:3,面积和为80,则较大的三角形面积为
4一个三角形三边长之比为4:5:6,三边中点连线组成的三角形的周长为30cm ,则原三角形最大边长为( )
A 、44厘米 B 、40厘米 C 、36厘米 D 、24厘米
5 在同一时刻,某人身高1. 6米影长1米,一塔的影长25米,则这个塔高
6. 如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,AD =3,BD =2,则△ADE 与四边形DBCE 的面积比是( ) (A )3︰2; (B )3︰5; (C )9︰16; (D )9︰4.
D B
E
C
A
7. 如图,四边形ADEF 为菱形,且AB =14,BC =12,AC =10,那BE =。
8. 如图,Rt ΔABC 中斜边AB 上一点M ,MN ⊥AB 交AC 于N ,若AM =3厘米,AB :AC =5:4,求MN 的长。
B
9. 如图,在Rt △ABC 中,CD 为斜边AB 上的高,且AC =6厘米,AD =4厘米,求AB 与BC 的长
A
10、如图,CD 是直角三角形ABC 斜边上的高,已知AB=25cm,BC=15cm,求BD 的长。
11.如图△ABC中,D 为AC 上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E ,连接AE .(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由;(3)求△BEC与△BEA的面积之比.
12.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M 为底边BC 上的任意一点,过点M 分别作AB 、AC 的平行线交AC 于P ,交AB 于Q . (1)求四边形AQMP 的周长;
(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);
(3)M 位于BC 的什么位置时,四边形AQMP 为菱形并证明你的结论.
13.已知:P 是正方形ABCD 的边BC 上的点,且BP=3PC,M 是CD 的中点,试说明:△ADM∽△MCP.
14.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以2cm/s的速度移动,点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm/s的速度移动,如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发,问经过几秒钟,△PBQ与△ABC相似.
15.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=
,AD=2.问当AB 的长为多少时,这两个直角三角形相似.
16.已知,如图,在边长为a 的正方形ABCD 中,M 是AD 的中点,能否在边AB 上找一点N (不含A 、B ),使得△CDM与△MAN相似?若能,请给出证明,若不能,请说明理由.
17.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q 从B 出发,沿BC 方向以2cm/s的速度移动,点P 从C 出发,沿CA 方向以1cm/s的速度移动.若Q 、P 分别同时从B 、C 出发,试探究经过多少秒后,以点C 、P 、Q 为顶点的三角形与△CBA相似?
18.如图所示,梯形ABCD 中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB 上确定点P 的位置,使得以P ,A ,D 为顶点的三角形与以P ,B ,C 为顶点的三角形相似.
19.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E 位于边BC 的中点上. (1)如图1,设DE 与AB 交于点M ,EF 与AC 交于点N ,求证:△BEM∽△CNE;
(2)如图2,将△DEF绕点E 旋转,使得DE 与BA 的延长线交于点M ,EF 与AC 交于点N ,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.
20.如图,路灯(P 点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O 点)20米的A 点,沿OA 所在的直线行走14米到B 点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?