与圆有关的综合题

与圆有关的综合题【2014年中考试题选】

1、（2014•遵义）如图，二次函数

y=x +bx+c的图象与x 轴交于A （3，0），B （﹣1，0），与y

轴交于点C ．若点P ，Q 同时从A 点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB ，AC 边运动，其中

一点到达端点时，另一点也随之停止运动． （1）求该二次函数的解析式及点C 的坐标；

（2）当点P 运动到B 点时，点Q 停止运动，这时，在x 轴上是否存在点E ，使得以A ，E ，Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E 点坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当P ，Q 运动到t 秒时，△APQ 沿PQ 翻折，点A 恰好落在抛物线上D 点处，请判定此时四边形APDQ 的形状，并求出D 点坐标．

2

【分析】（1）将A ，B 点坐标代入函数y=x +bx+c中，求得b 、c ，进而可求解析式及C 坐标． （2）等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ．借助垂直平分线，画圆易得E 大致位置，设边长为x ，表示其他边后利用勾股定理易得E 坐标． （3）注意到P ，Q 运动速度相同，则△APQ 运动时都为等腰三角形，又由A 、D 对称，则AP=DP，AQ=DQ，易得四边形四边都相等，即菱形．利用菱形对边平行且相等等性质可用t 表示D 点坐标，又D 在E 函数上，所以代入即可求t ，进而D 可表示

【解】：（1）∵二次函数y=x +bx+c的图象与x 轴交于A （3，0），B （﹣1，0），

2

2

∴，解得

，∴

y=x ﹣x ﹣4．∴C （0，﹣4）．

2

（2）存在．如图1，过点Q 作QD ⊥OA 于D ，此时QD ∥OC ，

∵A （3，0），B （﹣1，0），C （0，﹣4），O （0，0） ∴AB=4，OA=3，OC=4， ∴AC=∵QD ∥OC ，∴∴QD=

，AD=

． =5，AQ=4．

，∴

，

①作AQ 的垂直平分线，交AO 于E ，此时AE=EQ，即△AEQ 为等腰三角形， 设AE=x，则EQ=x，DE=AD﹣AE=

﹣x ，

∴在Rt △EDQ 中，（∴OA ﹣AE=3﹣

﹣x ）+（

2

）=x，解得 x=

22

，

=﹣，∴E （﹣，0）．

②以Q 为圆心，AQ 长半径画圆，交x 轴于E ，此时QE=QA=4， ∵ED=AD=

，∴AE=

，∴OA ﹣AE=3﹣

=﹣，∴E （﹣，0）．

③当AE=AQ=4时，∵OA ﹣AE=3﹣4=﹣1，∴E （﹣1，0）．

综上所述，存在满足条件的点E ，点E 的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣1，0）． （3）四边形APDQ 为菱形，D 点坐标为（﹣，﹣

）．理由如下：

如图2，D 点关于PQ 与A 点对称，过点Q 作，FQ ⊥AP 于F ， ∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ， ∴AP=AQ=QD=DP，

∴四边形AQDP 为菱形， ∵FQ ∥OC ，∴∴

AF=

，FQ=

，∴

，∴Q （3﹣

﹣t ，﹣

，﹣），

=（3﹣t ）﹣（3﹣t ）﹣4，

）．

2

， ），

∵DQ=AP=t，∴D （3﹣

2

∵D 在二次函数

y=x ﹣x ﹣4上，∴﹣∴t=

，或t=0（与A 重合，舍去），∴D （﹣，﹣

【分析】本题考查了二次函数性质、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知识，总体来说题意复杂但解

答内容都很基础，是一道值得练习的题目．

2、（2014•长沙）如图，抛物线y=ax+bx+c（a ，b ，c 是常数，a ≠0）的对称轴为y 轴，且经过（0，0）和（

，

）两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A （0，2）．

2

（1）求a ，b ，c 的值；

（2）求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交； （3）设⊙P 与x 轴相交于M （x 1，0），N （x 2，0）（x 1＜x 2）两 点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．

【分析】（1）根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出a ，b ，c 的值即可； （2）设P （x ，y ），表示出⊙P 的半径r ，进而与x 比较得出答案即可；

（3）分别表示出AM ，AN 的长，进而分别利用当AM=AN时，当AM=MN时，当AN=MN时，求出a 的值，进而得出圆心P 的纵坐标即可．

2

【解】：（1）∵抛物线y=ax+bx+c（a ，b ，c 是常数，a ≠0）的对称轴为y 轴，且经过（0，0）和（两点，

2

∴抛物线的一般式为：y=ax， ∴=a（

），

2

2

，）

解得：a=±，

∵图象开口向上，∴a=， ∴抛物线解析式为：

y=x ， 故a=，b=c=0；

（2）设P （x ，y ），⊙P 的半径r=又∵

y=x ，则r=

2

2

，

，化简得：r=

＞x ，

2

∴点P 在运动过程中，⊙P 始终与x 轴相交；

（3）设P （a ，a ），∵PA=又∵PH=a ，则MH=NH=∴M （a ﹣2，0），N （a+2，0）， 又∵A （0，2），∴AM=当AM=AN时，当AM=MN时，当AN=MN时，

=

，AN=

，

，解得：a=0，

（负数舍去），则a =4+2（负数舍去），则a =4﹣2

22

2

2

，作PH ⊥MN 于H ，则PM=PN=

=2，故MN=4，

，

=4，解得：a=2±2=4，解得：a=﹣2±2

； ；

综上所述，P 的纵坐标为0或4+2或4﹣2．

3、（2014•张家界）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过O 、B 、C 三点，B 、C 坐标分别为（10，0）和（，﹣），以OB 为直径的⊙A 经过C 点，直线l 垂直x 轴于B 点．

（1）求直线BC 的解析式；

（2）求抛物线解析式及顶点坐标；

（3）点M 是⊙A 上一动点（不同于O ，B ），过点M 作⊙A 的切线，交y 轴于点E ，交直线l 于点F ，设线段ME 长为m ，MF 长为n ，请猜想m•n的值，并证明你的结论；

（4）若点P 从O 出发，以每秒一个单位的速度向点B 作直线运动，点Q 同时从B 出发，以相同速度向点C 作直线运动，经过t （0＜t≤8）秒时恰好使△BPQ 为等腰三角形，请求出满足条件的t 值．

【分析】（1）用待定系数法即可求得；

（2）应用待定系数法以及顶点公式即可求得；

（3）连接AE 、AM 、AF ，则AM ⊥EF ，证得Rt △AOE ≌RT △AME ，求得∠OAE=∠MAE ，同理证得∠BAF=∠MAF ，进而求得∠EAF=90°，然后根据射影定理即可求得．

（4）分三种情况分别讨论，①当PQ=BQ时，作QH ⊥PB ，根据直线BC 的斜率可知HB ：BQ=4：5；即可求得，②当PB=QB时，则10﹣t=t即可求得，③当PQ=PB时，作QH ⊥OB ，根据勾股定理即可求得． 【解】：（1）设直线BC 的解析式为y=kx+b，∵直线BC 经过B 、C ，

∴

，解得：，∴直线BC 的解析式为；y=x ﹣．

（2）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过O 、B 、C 三点，B 、C 坐标分别为（10，0）和（，﹣），

∴，解得，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x ；

∴x=﹣=﹣=5，y=x2﹣）；

x=×52﹣×5=﹣，

∴顶点坐标为（5，﹣

（3）m•n=25；如图2，连接AE 、AM 、AF ，则AM ⊥EF ，在RT △AOE 与RT △AME 中

∴Rt △AOE ≌RT △AME （HL ），∴∠OAE=∠MAE ，

同理可证∠BAF=∠MAF ，∴∠EAF=90°，在RT △EAF 中，根据射影定理得AM2=EM•FM， ∵AM=OB=5，ME=m，MF=n，∴m•n=25；

（4）如图3．有三种情况；

①当PQ=BQ时，作QH ⊥PB ，∵直线BC 的斜率为，∴HQ ：BQ=3：5，HB ：BQ=4：5；

∵HB=（10﹣t ）×，BQ=t，∴

②当PB=QB时，则10﹣t=t，解得t=5，

=，解得；t=，

③当PQ=PB时，作QH ⊥OB ，则PQ=PB=10﹣t ，BQ=t，HP=t ﹣（10﹣t ），QH=t ； ∵PQ2=PH2+QH2，

∴（10﹣t ）2=【t ﹣（10﹣t ）]2+（t ）2；解得t=．

【反思】本题考查了待定系数法求解析式，顶点坐标的求法，圆的切线的性质，数形结合分类讨论是本题的关键．

4、（2014年江苏盐城）如图①，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC 的直角顶点A 在y 轴上，坐标为（0，﹣1），另一顶点B 坐标为（﹣2，0），已知二次函数y=x +bx+c的图象经过B 、C 两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A ′D ′∥y 轴且经过点B ，直尺沿x 轴正方向平移，当A ′D ′与y 轴重合时运动停止． （1）求点C 的坐标及二次函数的关系式； （2）若运动过程中直尺的边A ′D ′交边BC 于点M ，交抛物线于点N ，求线段MN 长度的最大值； （3）如图②，设点P 为直尺的边A ′D ′上的任一点，连接PA 、PB 、PC ，Q 为BC 的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当PQ=

时，线段PA 、PB 、PC 之间的数量关系．请直接写出结论，并指出相应的

2

点P 与抛物线的位置关系．

（说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A 在抛物线内，点C 在抛物线上，点D ′在抛物线外．）

【分析】（1）求C 点坐标，考虑作x ，y 轴垂线，表示横纵坐标，易得△CDA ≌△AOB ，所以C 点坐标易知．进而抛物线解析式易得．

（2）横坐标相同的两点距离，可以用这两点的纵坐标作差，因为两点分别在直线BC 与抛物线上，故可以利用解析式，设横坐标为x ，表示两个纵坐标．作差记得关于x 的二次函数，利用最值性质，结果易求．

（3）计算易得，BC=

，因为Q 为BC 的中点，PQ=

2

2

2

恰为半径，则易作圆，P 点必在圆上．此

时连接PB ，PC ，PA ，因为BC 为直径，故BP +CP=BC为定值，而PA 不固定，但不超过BC ，所以易

222

得结论BP +CP≥PA ，题目要求考虑三种情况，其中P 在抛物线上时，P 点只能与B 或C 重合，此时，PA ，PB ，PC 可求具体值，则有等量关系 解：（1）

如图1，过点C 作CD ⊥y 轴于D ，此时△CDA ≌△AOB ， ∵△CDA ≌△AOB ， ∴AD=BO=2，CD=AO=1， ∴OD=OA+AD=3， ∴C （﹣1，﹣3）． 将B （﹣2，0），C （﹣1，﹣3）代入抛物线y=x +bx+c， 解得 b=，c=﹣3，

∴抛物线的解析式为

y=x +x ﹣3．

（2）设l BC ：y=kx+b，∵B （﹣2，0），C （﹣1，﹣3），∴

，解得

，∴l BC ：y=﹣3x ﹣6，

2

2

2

设M （x M ，﹣3x M ﹣6），N （x N ，x N +x N ﹣3）， ∵x M =xN （记为x ），y M ≥y N ，

∴线段MN 长度=﹣3x ﹣6﹣（x +x ﹣3）=﹣（x+）+，（﹣2≤x ≤﹣1）， ∴当x=﹣时，线段MN 长度为最大值．

（3）答：P 在抛物线外时，BP +CP≥PA ；P 在抛物线上时，BP+CP=分析如下：

如图2，以Q 点为圆心，∵OB=2，OA=1， ∴AC=AB=∴BC=

∴BQ=CQ=

， =

=， ，

为半径作⊙Q ，

2

2

2

2

2

AP ；P 在抛物线内，BP +CP≥PA ．

222

∵∠BAC=90°， ∴点B 、A 、C 都在⊙Q 上． ①P 在抛物线外，

如图3，在抛物线外的弧BC 上任找一点P ，连接PB ，PB ，PA ， ∵BC 为直径，

222∴BP +CP=BC，BC ≥PA ，

222∴BP +CP≥PA ． ②P 在抛物线上，此时，P 只能为B 点或者C 点， ∵AC=AB=， ∴AP=， ∵BP+CP=BC=， ∴BP+CP=AP ． ③P 在抛物线内，同理①， ∵BC 为直径，

∴BP +CP=BC，BC ≥PA ，

222∴BP +CP≥PA ．

【反思】本题考查了三角形全等、抛物线图象与性质、函数性质及圆的基础知识，是一道综合性比较强的题目。

5、（2014•宿迁）如图，已知抛物线y=ax+bx+c（a ＞0，c ＜0）交x 轴于点A ，B ，交y 轴于点C ，设过点A ，B ，C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D ． （1）如图1，已知点A ，B ，C 的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）； ①求此抛物线的表达式与点D 的坐标； ②若点M 为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM 面积的最大值；

（2）如图2，若a=1，求证：无论b ，c 取何值，点D 均为顶点，求出该定点坐标．

2

2

2

2

ACD 的外接圆⊙O 交BC 于E 点，连接DE 并延长，交AC 于P 点，交AB 延长线于F ． （1）求证：CF=DB；

（2）当AD=时，试求E 点到CF 的距离．

【分析】（1）连结AE ，由∠ABC=60°，AB=BC可判断△ABC 为等边三角形，由AB ∥CD ，∠DAB=90°得∠ADC=∠DAB=90°，则根据圆周角定理可得到AC 为⊙O 的直径，则∠AEC=90°，即AE ⊥BC ，根据等边三角形的性质得BE=CE，再证明△DCE ≌△FBE ，得到DE=FE，于是可判断四边形BDCF 为平行四边形，根据平行四边形的性质得CF=DB；

（2）作EH ⊥CF 于H ，由△ABC 为等边三角形得∠BAC=60°，则∠DAC=30°，在Rt △ADC 中，根据含30度的直角三角形三边的关系得DC=

AD=1，AC=2CD=2，

则AB=AC=2，BF=CD=1，AF=3，然后利用勾股定理计算出BD=

EF=

DF=，DF=2，所以CF=BD=，，接着根据等边三角形的性质由AE ⊥BC 得∠CAE=∠BAE=30°，根据圆周角定理得∠EDC=∠CAE=30°，而∠DCA=∠BAC=60°，得到∠DPC=90°，在Rt △DPC 中，根据含30度的直角三角形三边的关系得PC=DC=，再证明Rt △FHE ∽Rt △FPC ，利用相似比可计算出EH ．

【解】（1）证明：连结AE ，如图，

∵∠ABC=60°，AB=BC，∴△ABC 为等边三角形，

∵AB ∥CD ，∠DAB=90°，∴∠ADC=∠DAB=90°，

∴AC 为⊙O 的直径，∴∠AEC=90°，即AE ⊥BC ，

∴BE=CE，CD ∥BF ，∴∠DCE=∠FBF ，

在△DCE 和△FBE 中，

，∴△DCE ≌△FBE （ASA ），∴DE=FE，

∴四边形BDCF 为平行四边形，∴CF=DB；

（2）解：作EH ⊥CF 于H ，如图，∵△ABC 为等边三角形，

∴∠BAC=60°，∴∠DAC=30°，在Rt △ADC 中，AD=，

∴DC=AD=1，AC=2CD=2，∴AB=AC=2，BF=CD=1，∴AF=3，

=，在Rt △ADF 中，DF==2， 在Rt △ABD 中，BD=∴CF=BD=，

EF=DF=，∵AE ⊥BC ，∴∠CAE=∠BAE=30°，

∴∠EDC=∠CAE=30°，而∠DCA=∠BAC=60°，∴∠DPC=90°，

在Rt △DPC 中，DC=1，∠CDP=30°，∴PC=DC=，

∵∠HFE=∠PFC ，∴Rt △FHE ∽Rt △FPC ，∴=，即=，

∴EH=，即E 点到CF 的距离为．

【反思】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、等边三角形的性质和平行四边形的判定与性质；会运用三角形全等的知识解决线段相等的问题；会运用勾股定理和相似比进行几何计算．

7、（2014•株洲）如图，PQ 为圆O 的直径，点B 在线段PQ 的延长线上，OQ=QB=1，动点A 在圆O 的上半圆运动（含P 、Q 两点），以线段AB 为边向上作等边三角形ABC ．

（1）当线段AB 所在的直线与圆O 相切时，求△ABC 的面积（图1）；

（2）设∠AOB=α，当线段AB 、与圆O 只有一个公共点（即A 点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）；

（3）当线段AB 与圆O 有两个公共点A 、M 时，如果AO ⊥PM 于点N ，求CM 的长度（图3）．

【分析】（1）连接OA ，如下图1，根据条件可求出AB ，然后AC 的高BH ，求出BH 就可以求出△ABC 的面积．

（2）如下图2，首先考虑临界位置：当点A 与点Q 重合时，线段AB 与圆O 只有一个公共点，此时α=0°；当线段AB 所在的直线与圆O 相切时，线段AB 与圆O 只有一个公共点，此时α=60°．从而定出α的范围．

（3）设AO 与PM 的交点为D ，连接MQ ，如下图3，易证AO ∥MQ ，从而得到△PDO ∽△PMQ ，△BMQ ∽△BAO ，又PO=OQ=BQ，从而可以求出MQ 、OD ，进而求出PD 、DM 、AM 、CM 的值。

【解】：（1）连接OA ，过点B 作BH ⊥AC ，垂足为H ，如图1所示．

∵AB 与⊙O 相切于点A ，∴OA ⊥AB ．∴∠OAB=90°．

∵OQ=QB=1，∴OA=1．∴AB=∵△ABC 是等边三角形，∴AC=AB=

∵sin ∠HAB==，∠CAB=60°． × =． ，∴HB=AB•sin ∠HAB=．

． ∴S △ABC =AC•BH=∴△ABC 的面积为

（2）①当点A 与点Q 重合时，

线段AB 与圆O 只有一个公共点，此时α=0°；

②当线段A 1B 所在的直线与圆O 相切时，如图2所示，

线段A 1B 与圆O 只有一个公共点，

此时OA 1⊥BA 1，OA 1=1，OB=2，∴cos ∠A 1OB==．

∴∠A 1OB=60°．∴当线段AB 与圆O 只有一个公共点（即A 点）时，

α的范围为：0°≤α≤60°．

（3）连接MQ ，如图3所示．∵PQ 是⊙O 的直径，

∴∠PMQ=90°．∵OA ⊥PM ，∴∠PDO=90°．

∴∠PDO=∠PMQ ．∴△PDO ∽△PMQ ．∴==

∵PO=OQ=PQ．∴PD=PM，OD=MQ．同理：MQ=AO，BM=AB．

∵AO=1，∴MQ=．∴OD=．∵∠PDO=90°，PO=1，OD=，

∴PD=

∴AM=．∴PM==

．∴DM=．∵∠ADM=90°，AD=A0﹣OD=， =．

∵△ABC 是等边三角形，∴AC=AB=BC，∠CAB=60°．

∵BM=AB，∴AM=BM．∴CM ⊥AB ．∵AM=

∴BM=

∴CM=∴CM 的长度为，AB=．∴AC==． ． =． ，

【反思】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、直线与圆相切、勾股定理、特殊三角函数值等知识，考查了用临界值法求角的取值范围，综合性较强。

8、(2014年江苏徐州) 如图，矩形ABCD 的边AB=3cm，AD=4cm，点E 从点A 出发，沿射线AD 移动，以CE 为直径作圆O ，点F 为圆O 与射线BD 的公共点，连接EF 、CF ，过点E 作EG ⊥EF ，EG 与圆O 相交于点G ，连接CG ．

（1）试说明四边形EFCG 是矩形；

（2）当圆O 与射线BD 相切时，点E 停止移动，在点E 移动的过程中，

①矩形EFCG 的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由； ②求点G 移动路线的长．

【分析】：（1）只要证到三个内角等于90°即可．

（2）易证点D 在⊙O 上，根据圆周角定理可得∠FCE=∠FDE ，从而证到△CFE ∽△DAB ，根据相似三角形的性质可得到S 矩形ABCD =2S△CFE =．然后只需求出CF 的范围就可求出S 矩形ABCD 的范围．根据圆周角定理和矩形的性质可证到∠GDC=∠FDE=定值，从而得到点G 的移动的路线是线段，只需找到点G 的起点与终点，求出该线段的长度即可．

解答： 解：（1）证明：如图1，∵CE 为⊙O 的直径，∴∠CFE=∠CGE=90°．

∵EG ⊥EF ，∴∠FEG=90°．∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°．∴四边形EFCG 是矩形．

（2）①存在．连接OD ，如图2①，

∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=∠ADC=90°．

∵点O 是CE 的中点，∴OD=OC．

∴点D 在⊙O 上．∵∠FCE=∠FDE ，∠A=∠CFE=90°，

∴△CFE ∽△DAB ．∴=（）．

22∵AD=4，AB=3，∴BD=5，S △CFE =（）•S △DAB

=××3×4=．

．∵四边形EFCG 是矩形，∴FC ∥EG ． ∴S 矩形ABCD =2S△CFE =

∴∠FCE=∠CEG ．∵∠GDC=∠CEG ，∠FCE=∠FDE ，∴∠GDC=∠FDE ．

∵∠FDE+∠CDB=90°，∴∠GDC+∠CDB=90°．∴∠GDB=90°

Ⅰ．当点E 在点A （E ′）处时，点F 在点B （F ′）处，点G 在点D （G ′处，如图2①所示．

此时，CF=CB=4．

Ⅱ．当点F 在点D （F ″）处时，直径F ″G ″⊥BD ，

如图2②所示，

此时⊙O 与射线BD 相切，CF=CD=3．

Ⅲ．当CF ⊥BD 时，CF 最小，此时点F 到达F ″′，

如图2③所示．

S △BCD =BC •CD=BD •CF ″′．

∴4×3=5×CF ″′．∴CF ″′=∴×（2．∴≤CF ≤4．∵S 矩形ABCD =2， ）≤S 矩形ABCD ≤×4．∴≤S 矩形ABCD ≤12．

． ∴矩形EFCG 的面积最大值为12，最小值为

②∵∠GDC=∠FDE=定值，点G 的起点为D ，终点为G ″，

∴点G 的移动路线是线段DG ″．

∵∠GDC=∠FDE ，∠DCG ″=∠A=90°，∴△DCG ″∽△DAB ． ∴

=．∴=．∴DG ″=．∴点G 移动路线的长为．

【点评】：本题是圆的综合题，考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂线段定理等知识，考查了动点的移动的路线长，综合性较强．而发现∠CDG=∠ADB 及∠FCE=∠ADB 是解决本题的关键．

9、（2014•襄阳）如图，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC=∠BPC=60°，过点A 作⊙O 的切线交BP 的延长线于点D ．

（1）求证：△ADP ∽△BDA ；

（2）试探究线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若AD=2，PD=1，求线段BC 的长．

10、（2014•孝感）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分∠ACB ，交AB 于点F ，连接BE ．

（1）求证：AC 平分∠DAB ；

（2）求证：△PCF 是等腰三角形；

（3）若tan ∠ABC=，BE=7，求线段PC 的长．

11、（2014•西宁） 如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆O 的三等分点，过点C 作⊙O 的切线交AD 的延长线于点E ，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，交⊙O 于点H ，连接DC ，AC ．

（1）求证：∠AEC=90°；

（2）试判断以点A ，O ，C ，D 为顶点的四边形的形状，并说明理由；

（3）若DC=2，求DH 的长．