等差数列.等比数列知识点梳理
等差数列和等比数列知识点梳理
第一节:等差数列的公式和相关性质
1、等差数列的定义:对于一个数列,如果它的后一项减去前一项的差为一个定值,则称这个数列为等差数列,记:a n -a n -1=d (d 为公差)(n ≥2,n ∈N *)注:下面所有涉及n ,n ∈N *省略,你懂的。
2、等差数列通项公式:
a n =a 1+(n -1) d ,a 1为首项,d 为公差
推广公式:a n =a m +(n -m ) d
变形推广:d =3、等差中项
(1)如果a ,A ,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:b 成等差数列,
A =
a +b
2
a n -a m
n -m
或2A =a +b
(2)等差中项:数列{a n }是等差数列
⇔2a n =a n -1+a n +1(n ≥2) ⇔2a n +1=a n +a n +2
4、等差数列的前n 项和公式:
S n =
n (a 1+a n ) n (n -1)
=na 1+d 22d 2
12
=n 2+(a 1-d ) n =An 2+Bn
(其中A 、B 是常数,所以当d ≠0时,S n 是关于n 的二次式且常数项为0)
特别地,当项数为奇数2n +1时,a n +1是项数为2n+1的等差数列的中间项
S 2n +1=
(2n +1)(a 1+a 2n +1)=
2
(2n +1)a n +1(项数为奇数的等差数列的各项
和等于项数乘以中间项)
5、等差数列的判定方法
(1) 定义法:若a n -a n -1=d 或a n +1-a n =d (常数n ∈N *) ⇔ {a n }是等差数列.
(2)等差中项:数列{a n }是等差数列
⇔2a n =a n -1+a n +1(n ≥2) ⇔2a n +1=a n +a n +2
(3)数列{a n }是等差数列⇔a n =kn +b (其中k , b 是常数)。
(4)数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn , (其中A 、B 是常数)。 6、等差数列的证明方法
定义法:若a n -a n -1=d 或a n +1-a n =d (常数n ∈N *) ⇔ {a n }是等差数列.
7、等差数列相关技巧:
(1)等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:a 1、
d 、n 、a n 及S n ,其中a 1、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中
的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)设项技巧:
①一般可设通项a n =a 1+(n -1) d
②奇数个数成等差,可设为„,a -2d , a -d , a , a +d , a +2d „(公差为d );
③偶数个数成等差,可设为„,a -3d , a -d , a +d , a +3d , „(注意;公差为2d )
8、等差数列的性质:
(1)当公差d ≠0时,等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d 是关于n 的一次函数,且斜率为公差d ;前n 和
S n =na 1+
n (n -1) d d
d =n 2+(a 1-) n 是关于n 的二次函数且常数项为222
0。
(2)若公差d >0,则为递增等差数列,若公差d
(3)当m +n =p +q 时, 则有a m +a n =a p +a q ,特别地,当m +n =2p 时,则有a m +a n =2a p 。(注:a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2=⋅⋅⋅,)当然扩充到3项、4项„„都是可以的,但要保证等号两边项数相同,下标系
数之和相等。
(4){a n }、{b n }为等差数列,则{λa n +b },{λ1a n +λ2b n }都为等差数列 (5) 若{a n }是等差数列,则S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ,„也成等差数列
(6) 数列{a n }为等差数列, 每隔k(k∈N *) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ⋅⋅⋅) 仍为等差数列
(7){a n }、{b n }的前n 和分别为A n 、B n ,则a n =A 2n -1
b n
B 2n -1
(8)等差数列{a n }的前n 项和S m =n ,前m 项和S n =m ,则前m+n项和S m +n =-(m +n ),当然也有a n =m , a m =n ,则a m +n =0
(9)求S n 的最值
法一:因等差数列前n 项和是关于n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性n ∈N *。
法二:(1)“首正”的递减等差数列中,前n 项和的最大值是所有非负项之和
即当a 1>0,d
⎧a n ≥0
可得S n 达到最大值时的n 值. a ≤0⎩n +1
(2) “首负”的递增等差数列中,前n 项和的最小值是所有非正项之和。
即 当a 10, 由⎨
⎧a n ≤0
可得S n 达到最小值时的n 值. a ≥0⎩n +1
或求{a n }中正负分界项
法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数,故n 取离二次函数对称轴最近的整数时,S n 取最大值(或最小值)。若S p = S q则其对称轴为n =
注意:S n -S n -1=a n (n ≥2) ,对于任何数列都适用,但求通项时记住讨论当n =1的情况。
p +q
2
解决等差数列问题时,通常考虑两类方法:
①基本量法:即运用条件转化为关于a 1和d 的方程; ②巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量。(以上加上蓝色的性质希望读者能够自己证明,不是很难,并能够学会运用)
第二节:等比数列的相关公式和性质
1、等比数列的定义:2、通项公式:
a n =a 1q n -1,a 1为首项,q 为公比
a n
=q (q ≠0)(n ≥2),q 为公比 a n -1
推广公式:a n =a m q n -m , 从而得q n -m =3、等比中项
a n
a m
(1)如果a , A , b 成等比数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:
A 2=
ab 或A =注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项
有两个(两个等比中项互为相反数)
(2)数列{a n }是等比数列⇔a n 2=a n -1⋅a n +1 4、等比数列的前n 项和S n 公式: (1) 当q =1时, S n =na 1 (2) 当q ≠1时,S n = =
a 1(1-q n )1-q
=a 1-a n q
1-q
a 1a
-1q n =A -A ⋅B n =A ' B n -A (' A , B , A ', B ' 为常数) 1-q 1-q
5、等比数列的判定方法
(1)用定义:对任意的n, 都有a n +1=qa n 或为等比数列
a n +1
=q (q 为常数,a n ≠0) ⇔{a n }a n
(2) 等比中项:a n 2=a n +1a n -1(a n +1a n -1≠0)⇔{a n }为等比数列 (3) 通项公式:a n =A ⋅B n (A ⋅B ≠0)⇔{a n }为等比数列 (4) 前n 项和公式:
S n =A -A ⋅B n 或S n =A ' B n -A ' (A , B , A ', B ' 为常数)⇔{a n }为等比数列
6、 等比数列的证明方法 依据定义:若
a n
=q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)或a n +1=qa n ⇔{a n }为等比数列 a n -1
7、等比数列相关技巧:
(1)等比数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:a 1、
q 、n 、a n 及S n ,其中a 1、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中
的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)为减少运算量,要注意设项的技巧,一般可设为通项:
a n =a 1q n -1
如奇数个数成等比,可设为„,
a a 2
„(公比为q ,中间项, , a , aq , aq 2
q q
用a 表示);注意隐含条件公比q 的正负 8、等比数列的性质: (1) 当q ≠1时
①等比数列通项公式a n =a 1q n -1=
a 1n
q =A ⋅B n (A ⋅B ≠0)是关于n 的带有系q
数的类指数函数,底数为公比q ②前n 项和S n =
a 1(1-q n )1-q
a 1-a 1q n a 1a =-1q n =A -A ⋅B n =A ' B n -A ' ,系1-q 1-q 1-q
数和常数项是互为相反数的类指数函数,底数为公比q
(2) 对任何m,n ∈N *, 在等比数列{a n }中, 有a n =a m q n -m , 特别的, 当m=1时, 便得到等比数列的通项公式。因此, 此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
(3) 若m +n =s +t (m , n , s , t ∈N *), 则a n ⋅a m =a s ⋅a t 。特别的, 当m +n =2k 时, 得a n ⋅a m =a k 2
注:a 1⋅a n =a 2⋅a n -1=a 3a n -2⋅⋅⋅
(4) 列{a n }, {b n }为等比数列, 则数列{, {k ⋅a n }, {a n k }, {k ⋅a n ⋅b n }{n (k为非零常数) 均为等比数列。
(5) 数列{a n }为等比数列, 每隔k(k∈N *) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ⋅⋅⋅) 仍为等比数列
(6) 如果{a n }是各项均为正数的等比数列, 则数列{loga a n }是等差数列 (7) 若{a n }为等比数列, 则数列S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n , ⋅⋅⋅,成等比数列 (8) 若{a n }为等比数列, 则数列a 1⋅a 2⋅⋅⋅⋅⋅a n , a n +1⋅a n +2⋅⋅⋅⋅⋅a 2n ,
a 2n +1⋅a 2n +2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a 3n 成等比数列
k a n a b n
(9) ①当q >1时, ②当0
a 1>0,则{a n }为递减数列1>0,则{a n }为递增数列
{a {a 1
③当q=1时, 该数列为常数列(此时数列也为等差数列); ④当q
(10)在等比数列{a n }中, 当项数为2n (n∈N *) 时,
S 奇S 偶
=1
, 。 q
(11)若{a n }是公比为q 的等比数列, 则S n +m =S n +q n ⋅S m
注意:在含有参数的数列时,若是等比数列,一定要考虑到公比q =1的特殊情况。
解决等比数列问题时,通常考虑两类方法:
①基本量法:即运用条件转化为关于a 1和q 的方程; ②巧妙运用等比数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量。
关于等差、等比两个引申:a n =ka n -1+b 模式(其中k , b 为常数,;a n =pa n -1+p n 模式(其中p 为常数,n ≥2) n ≥2)
在这里我们以具体的例子给出,使其更容易理解:
例1 已知数列{a n },有a n =3a n -1+4(n ≥2),则求该数列的通项公式
解题大致思路:先设a n +b =3(a n -1+b ) ,则对于a n =3a n -1+4⇒a n +2=3(a n -1+2) ,那么我们就可以构造数列{a n +2}为等比数列,利用等比的相关性质去解决,注意:构造新数列的首项和公比分别是多少?还有你考虑到当n =1的这种情况了吗?
例2 已知数列{b n },有b n =2b n -1+2(n ≥2),求该数列的通项公式
n
解题的大致思路:b n =2b n -1+2(n ≥2)⇒
n
b n 2b n -1b n b n -1
=+1=n -1+1,相信你已⇒n n n 2222
经知道构造什么数列了吧,这两个模式考试中喜欢考,也比较基础,当然也希望通过这两个
模式能让你意识到求数列中的构造思想。