华东理工大学概率论答案-13,14
华东理工大学
概率论与数理统计 作业簿(第五册)
学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________
第十三次作业
一. 填空题:
1.已知二维随机变量(ξ, η) 的联合概率分布为
则
π⎫1. 05E η=0. 5E ⎛0. 25E (max(1. 2 E ξ=______,____,sin (ξ+η) ⎪=_______,ξ, η) )=_______,
2⎝⎭
0. 36。 D (max(ξ, η) )=_______
2. 设随机变量ξ1, ξ2, ξ3相互独立,ξ1~U (0, 6) ,ξ2~N (0, 4) ,ξ3~E (3) ,则:
E (ξ1-2ξ2+3ξ3) ,D (ξ1-2ξ2+3ξ3) 。
3. 已知X ~N (-2, 0. 42) ,则E (X +3) 2 。
4. 设X ~N (10, 0. 6), Y ~N (1, 2) ,且X 与Y 相互独立,则D (3X -Y ) = 7.4 。
二. 选择题:
1) 设ξ~N(0, 1) ,η~N (0, 4) ,ς=ξ+η,下列说法正确的是( B )。
A. ς~N (0, 5) B. E ς=0 C. D ς=5 D. D ς=3
1
2)设X 1, X 2, X 3相互独立同服从参数λ=3的泊松分布,令Y =(X 1+X 2+X 3) ,
3
则E (Y 2) =( C )
A. 1. B. 9. C. 10. D. 6. 3)设X ~P (λ) ,且E [(X -1)(X -2) ]=1,则λ= ( A )
A. 1, B. 2, C. 3, D. 0 三. 计算题:
1. 设二维随机变量(ξ, η) 的联合概率密度函数为
⎧1
⎪(x +y ) 0
p (x , y ) =⎨8
⎪其他⎩0
求E ξ, E η, E (ξη) 。 解:E ξ=⎰⎰xp (x , y ) d x d y =
D
2127
d x x (x +y ) d y ==E η ⎰⎰0086
2124
E (ξη) =⎰⎰xyp (x , y ) d x d y =⎰d x ⎰xy (x +y ) d y =
0803D
2. 二维随机变量(ξ, η) 服从以点(0, 1),(1, 0),(1, 1) 为顶点的三角形区域上的均匀分布,试求E (ξ+η) 和D (ξ+η) 。 解
:
⎧2, (x , y ) ∈G ,
(ξ, η) ~p (x , y ) =⎨
0, (x , y ) ∉G , ⎩
E (ξ+η) =⎰dy ⎰2(x +y ) dx =
1-y 1
1
4
, 3
11,
01-y 6
11161
D (ξ+η) =E (ξ+η) 2-[E (ξ+η)]2=-=
6918
3. 有10个人同乘一辆长途汽车,沿途有20个车站,每到一个车站时,如果没有人下车,则不停车。设每位乘客在各站下车是等可能的,且各乘客是否下车是相互独立的,求停车次数的数学期望。 E (ξ+η) =⎰dy ⎰
2
1
1
2(x +y ) 2dx =
⎧1, 第i 站有人下车,
解:设ξi =⎨
⎩0, 第i 站没人下车,
则
P {ξi
1⎫
=0}=P {10个人在第i 站都不下车}=⎛ 1-⎪,
⎝20⎭
10
10
1⎫⎛
从而P {ξi =1}=1- 1-⎪
⎝20⎭
1⎫⎛
于是E ξi =0⨯P {ξi =0}+1⨯P {ξi =1}=1- 1-⎪,
20⎝⎭
长途汽车停车次数ξ=ξ1+ξ2+ +ξ20,故
10
E ξ=E ξ1+E ξ2+ +E ξ20
⎛⎛19⎫10⎫
=20 1- ⎪⎪
⎝20⎭⎪⎝⎭
第十四次作业
一.填空题:
1.已知D ξ=4, D η=9,则当D (ξ-η) =12时,ρξη
17. 8
D (ξ+η) =_______。
1
12;当ρ=____
ξη
=0. 4时,
2. 设D (X ) =25, D (Y ) =36, ρxy =0. 4,则D (X +Y ) =
ξ, ζ) = 23. 设二维随机变量(ξ, η) ~N (1, 4; 1, 4; 0. 5) ,ζ=ξ-η,则cov(.
二. 选择题:
1. 已知随机变量X 与Y 独立同分布,记U =X +Y ,V =X -Y ,则U 与V 必
( D )
A. 独立 B. 不独立 C. 相关 D. 不相关 2. 设随机变量ξ与η的方差存在且不等于0,则D (ξ+η) =D ξ+D η是ξ与η
( C )
A. 独立的充要条件 B. 独立的充分条件,但不是必要条件 C. 不相关的充要条件 D. 不相关的充分条件,但不是必要条件
3. 对于任意两个随机变量X 和Y ,若E (XY ) =E (X ) ⋅E (Y ) ,则 (B )
A )D (XY ) =D (X ) ⋅D (Y ) B )D (X +Y ) =D (X ) +D (Y ) C )X 和Y 独立 D )X 和Y 不独立
三. 计算题:
1. 已知二维随机变量(ξ, η) 的联合概率分布为
(1)求ρξη;(2) ξ与η是否独立?说明理由。
解:
于是,
31313313
E ξ=1⨯+3⨯=, E η=0⨯+1⨯+2⨯+3⨯=,
44288882
3319
再由联合分布得E ξη=1⨯1⨯+1⨯2⨯+3⨯3⨯=,
8884
933
从而cov(ξ, η) =-⋅=0, 故ρξη=0
422
3
(2)由于P (ξ=1) ⋅P (η=0) =, 而P (ξ=1, η=0) =0, 故ξ, η不独立.
32
2. 设二维随机变量(ξ, η) 的联合概率密度函数为
⎧3x 0
p (x , y ) =⎨
0其他⎩求ξ与η的相关系数。
解: 先分别求出
11113332
, E ξ=⎰dy ⎰3x dx =, E η=⎰dy ⎰3xydx =,
0y 0y 0y [1**********]32
E ξ=⎰dy ⎰3x dx =, E η=⎰dy ⎰3xy 2dx =,
0y 0y 55
E ξη=⎰dy ⎰3x 2ydx =
11
33331⎛3⎫193⎛3⎫3
cov(ξ, η) =-⋅=, D ξ=- ⎪=, D η=- ⎪=,
10481605⎝8⎭3205⎝4⎭80
故
22
ρξη=
=
3
. =
57
3. 设二维随机变量(X , Y ) 的相关系数为ρXY ,而ξ=aX +b , η=cY +d ,其中
a , b , c , d 为常量,并且已知ac >0,试证ρξη=ρXY 。
证明:ρξη=
cov(aX +b , cY +d ) D (aX +b ) ⋅D (cY +d )
=
ac cov(X , Y ) DX ⋅DY
=ρXY
4. 设两个随机变量ξ, η,E ξ=-2, E η=4, D ξ=4, D η=9, ρξη=-0. 5,求
E (3ξ2-2ξη+η2-3) 。 解
E (3ξ2-2ξη+η2-3) =3E (ξ2) -2E (ξη) +E (η2) -3
=3D ξ+(E ξ) -2(cov(ξ, η) +E ξE η)+D η+(E η) -3=68
2
2
()()