[物理学基本教程]课后答案 第十八章 波动光学

第十八章 波动光学

18-1 由光源S 发出的λ=600nm的单色光，自空气射入折射率n =1.23的一层透明物质，再射入空气(如图18-1) ，若透明物质的厚度为d =1.00cm,入射角θ=30ο，且S A=BC=5.00cm.求:（1）θ1为多大? （2）此单色光在这层透明物质里的频率、速度和波长各是多少？(3)S到C 的几何路程为多少？光程为多少？

分析 光在不同介质中传播的频率相同，但波长和波速不相同．而要把光在不同介质中所走的路程都折算为光在真空中的路程，以便比较光在不同介质中所走的路程——这就引入了光程．介质中某一几何路程的光程，相当于光在走这段路程的时间内在真空中走过的路程．

解 （1）由折射定律

n 空sin θ1

= n sin θ

得 sin θ1=

n 空111sin θ=⨯= n 1. 2322. 46

θ1=24ο

(2)分别以 v 1 、ν1、λ1表示光在透明物质中传播的速度、频率和波长，则

c 3⨯108

m/s=2. 44⨯108m/ v 1==

n 1. 23

又光在不同介质中传播的频率相同，即

3⨯108

ν=ν1==Hz =5⨯1014 Hz _10

λ6000⨯10

c

2. 44⨯108_7

λ1==m =4. 88⨯10 m 14

ν5⨯10

v 1

(3)从S 到C 的几何路程为

SA +

d 1+BC =5cm +cm +5cm =11. 1 cm cos θ1cos 24ο

S 到C 的光程

n 空S A +

n d cos θ1

+n 空BC =1⨯5cm +1. 23⨯1⨯

1

cm +1⨯5cm =11. 3cm ο

cos 24

18-2 在杨氏双缝干涉实验中，双缝间距d =0.500mm,缝与屏相距

D =50.0cm,若以白光入射，(1)分别求出白光中λ1=400nm 和λ2=600nm 的两种光干涉条纹的间距；（2）这两种波长的干涉明纹是否会发生重叠？如果可能，问第一次重叠的是第几级明纹？重叠处距中央明纹多远？

分析 本题的难点在于如何理解“重叠”——若屏上某一位置同时满足两种波长明纹出现条件，则发生明纹重叠.

解 （1）据（18-3）式，λ1 和λ2 所产生的干涉明纹的间距各为

D 500⨯400⨯10-6

mm =0. 4mm Δx 1=λ1=

d 0. 5

D 500⨯600⨯10-6

Δx 2=λ2=mm =0. 6 mm

d 0. 5

(2) 据（18-1）式，杨氏双缝实验中，明纹到屏中心的距离为 x =±k

D

λ (k =0, , 1, 2 ) d

在x 处两种波长的明纹重叠，即 x =

D D

k 1λ1=k 2λ2 d d

k 1λ2

=

k 2λ1

由已知

λ26003== λ14002

k 13= k 22

故

所以在k 1=3n , k 2=2n (n =1, 2, )处都可能发生重叠.

当n =1，即k 1=3, k 2=2 时发生第一次重叠，重叠处距中央明纹的距离为

D 500⨯3⨯400⨯10-9

x =k 1λ1=mm =1. 2 mm

d 0. 5

18-3 在劳埃德镜中，光源缝S 0 和它的虚象S 1 位于镜左后方20.0cm 的平面内(如图18-3) ，镜长30.0cm, 并在它的右边缘放一毛玻璃屏幕. 如果从S 0 到镜的垂直距离为2.0mm, λ=720nm , 试计算从右边缘到第一最亮纹的距离. 分析 讨论劳埃德镜还有一个重要意义，就是验证光从光密介质表面反射时有半波损失. 劳埃德镜实验中，相邻明纹的间距也为∆x =

D

λ ，平面镜右d

边缘与毛玻璃屏接触处为暗纹.

解 据（18-3）式，劳埃德镜实验中相邻明纹或相邻暗纹的间距为

D λ. d

据题意，平面镜右边缘与毛玻璃屏

接触处为暗纹，其到第一级明纹中心的距离为

1D 150⨯7. 2⨯10-5

Δx =λ=⨯cm =4. 5⨯10-3cm -1

2d 24⨯10

18-4 在菲涅耳双镜中，若光源离两镜交线的距离是1.00m, 屏距交线

2.00m, 所用光波的波长为500 nm，所得干涉条纹的间距为1.00mm, 试计算两反射镜的夹角ε.

ε c o s ε≈1 解 ε≈s i n ∴ d =2r ε由(18-4)式, 干涉条纹间距 ∆x =故 ε=

D =L +r

D L +r

λ=λ d 2r ε

L +r 2+1

⋅λ=⨯500⨯10-9rad =7. 5⨯10-4rad 2r ⋅∆x 2⨯1⨯0. 001

18-5 如图18-5(a)所示的杨氏双缝实验中, P 点为接收屏上的第2级亮斑所在. 假设将玻璃片（n =1.51）插入从S 1发出的光束途中，P 点变为中央亮斑，求

射率乘以光在该介质中的几何路程. 光连续通过几种介质时的光程，等于在各种介质中光程之和. 讨论在S 1P 中加入玻片条纹上移还是下移时可以这样分析：以中央明纹为研究对象，不加玻片时，中央明纹出现在P 点，有S 1P =S 2P ，加了

玻片中央明纹出现在P '点，也应有S 1到P '的光程等于S 2到P '的光程. 加玻片后，欲维持S 1→P '与S 2→P '的光程相等，只有缩短S 1→P '的几何路程. 所以中央明纹上移，从而推出整个条纹上移.

解 据题意，整个装置放在空气中. 设未加玻璃片时S 1、S 2到 P 点几何路程分别为r 1 、r 2，如图(b)所示，据相干条件, 第2级亮纹出现的条件是

δ=r 2-r 1=2λ (1) 如图(c),加上厚度为l 的玻璃片时，S 1到P 点的光程差为 r 1'+nl +r 1''=r 1-l +nl

S 2到 P 点光程仍为r 2. 二者的光程差

δ2=r 2-(r 1-l +nl )=(r 2-r 1)-(n -1)l

据题意，加上玻璃片后P 点变为中央亮斑，根据相干条件即

δ2=(r 2-r 1)-(n -1)l =0 (2)

由(1)式-(2)式得

(n -1)l =2λ

2λ2⨯632⨯10-9

=m =2. 48⨯10-6m ∴玻片厚度 l =

n -11. 51-1

且条纹上移.

18-6 观察肥皂膜的反射光时，皂膜表面呈绿色. 若膜的法线与视线间夹角约为30ο，试估算膜的最小厚度. 设肥皂水的折射率为1.33，绿光波长为500nm.

分析

反射产生的双光束实现干涉. 膜上下两表面反射后干涉加强. 需考虑反射光是否有半波损. n =1.33,周围介质为空气n '=1, 皂膜上表面反射的反射光有半波损. 膜的法线与视线间间有夹角i =30 ，即入射光以i =30 入射到薄膜上，因而需利用（18-8）式.

解 如图18-6, 从膜上表面反射的反射光有半波损失，现 n =1. 33, n ' =1, i =30 , λ=500nm

据（18-8）式反射加强条件为

2d n 2-n ' 2sin 2i +

λ

2

=k λ （k =1，2，…）

d 为最小值时k =1，得

d min

λ

250⨯10-9-7==m =1. 01⨯10m 22︒

12n -sin 30

2. 332-

4

18-7 在空气中有一厚度为500nm 的薄油膜（n=1.46）, 并用白光垂直照射到此膜上，试问在300nm 到700nm 的范围内，哪些波长的光反射最强？

分析 此题与上题类似，只是考虑的波长范围更宽些，且为垂直入射

i =90︒，因而反射光干涉加强的条件为 2nd +

λ

2

=k λ （k =1，2，…）.

解 在油膜上表面反射的光有半波损，垂直入射i =90︒, 据(18-8)式, 反射光

加强的条件为

2nd +∴入射光波长为

4nd 4⨯1. 46⨯500⨯10-92920⨯10-9

== λ= 2k -12k -12k -1

λ

2

=k λ （k =1，2，…）

当k =3时，λ3=584nm, k =4时λ4=417nm, k =5时λ5=324nm ，k =6时λ6=266nm, 所以在300-700nm 范围内波长为584nm ，417nm ，324nm 的光反射最强.

18-8 白光透射到肥皂水薄膜(n =1.33)的背面呈黄绿色(λ=590nm),若这

时薄膜法线与视线间的角度为i =30 , 问薄膜的最小厚度是多少?

分析

射，透射光的强度相应减弱. 亦然. 皂膜置于空气中，要使590nm 光的透射最大，其等价的讨论是光反射最小的条件. 出的光无半波损失, λ=590nm减弱对应的膜厚；二是直接求透射光加强对应的膜厚.

解 如图18-8, 直接从下表面透射出的光无半波损失, 经下、上表面两次反射后又从下表面透射出的光也无半波损失. 透射光的相干条件为

2

2d 2' 2s i n =k λ (k =1,2…) 加强

2d n 2-n ' 2sin 2i =(2k +1)

λ

2

(k =0,1,2…) 减弱

透射光加强k =1时, d 有最小值, 为

d min =

λ

2n 2-sin 230︒

=

590⨯10-92. 332-

14

m =2. 39⨯10-7m

18-9 激光器的谐振腔主要由两块反射镜组成，射出激光的一端为部分反射镜，另一端为全反射镜. 为提高其反射能力，常在全反射镜的玻璃面上镀一层膜，问为了加强反射，氦氖激光器全反射镜上镀膜层的厚度应满足什么条件？膜的最小厚度为多少？（设激光器发射的激光波长 λ=632.8nm，玻璃的折射率n 1 =1.50，膜的折射率为n 2 =1.65）

分析 如图18-9, n 2 =1.65材料组成薄膜, 薄膜上方为空气n =1，薄膜下方为玻璃n 1 =1.50.需仔细分析从膜的上下表面反射的反射光半波损失情况.

解 如图18-9, n n 1∴只有在空气与膜的分界面反射的反射光有半波损失.

设膜厚为d ，在膜上下表面反射的双光束反射加强的条件是

2n 2d +

λ

2

=k λ (k =1,2,…)

解出

d =(2k -1)

λ

4n 2

=(2k -1) ⨯

632. 8

=(2k -1) ⨯95. 9

4⨯1. 65

k =1时膜最薄，最小膜厚为

d min =95. 9nm

18-10 可见光谱中心可视为波长为550nm 黄绿光. 若想提高照相机镜头对该波段的透射率，可在镜头表面镀氟化镁薄膜. 已知氟化镁折射率为1.38, 玻璃折射率1.50, 镀膜的最小厚度需为多少？

分析 与18-8题类似. 注意薄膜由氟化镁构成，从薄膜上、下表面反射的两束光都有半波损失.

解 在膜的上下表面反射的光均有半波损失，所以两反射光的光程差为

2nd . 使反射最小即透射最强的条件为

2nd =(2k +1)

λ

2

（k =0,1,2…）

令k =0

d m i n =

λ/2

2n

=9. 96⨯10-5mm

18-11 ，利用劈尖空气气隙造成的等厚干涉条纹，可以测量精密加工工件表面的极小纹路的深度. 测量方法是：把待测工件放在测微显微镜的工作台上（使待测表面向上），在工件上面放一平玻璃（光学平面向下），以单色光垂直照射到玻璃片上，在显微镜中可以看到等厚干涉条纹. 由于工件表面不平，在某次测量时，观察到干涉条纹弯曲如图18-11（a ）所示. 试根据弯曲的方向，说明工件表面上的纹路是凹还是凸，并证明纹路深度H 可用下式表示: H =

b 'λ

⋅ b 2

分析 从条纹局部的弯曲方向判断工件表面缺陷，要抓住等厚条纹是劈尖等厚点的轨迹. 条纹局部弯向棱边，表明条纹弯的部分和直的部分对应同一膜厚，所以工件表面有缺陷的地方膜厚度增加, 故工件的缺陷为凹痕.

图18-11

解 相邻两明纹(暗纹) 对应的空气劈尖厚度差为

∆d =

由图18-11（b ）知

λ

2=

H

b b 'b 'b 'λ

∴ 纹路深度为 H=∆d =⋅

b b 2

∆d

条纹局部弯向棱边，故工件的缺陷为凹痕.

18-12 在两叠合的玻璃片的一端塞入可被加热膨胀的金属丝D 使两玻璃片成一小角度，用波长为589nm 的钠光照射，从图18-12（a ）所示之劈尖正上方的中点处（即L /2处），观察到干涉条纹向左移动了10条，求金属丝直径膨胀了多少？若在金属丝D 的上方观察又可看到几条条纹移动？

分析 金属丝直径膨胀时迫使空气劈形膜厚度增加，干涉条纹向左移动, 这样原来出现在膜较厚处的条纹自然要向棱边移动（左移）.

图18-12

解 如图18-12（b ），设在L /2处，膨胀前膜厚为d , 膨胀后膜厚为d '. d ' -d =10⋅

又因三角形相似

∴ 金属丝直径的膨胀为

l ' -l =2(d '-d ) =2⨯10⨯

λ

2

l ' -l L

=

d ' -d L 2

λ

2

=5890nm=5. 89⨯10-3mm

D 处劈尖厚度每增加λ（即直径每膨胀λ），条纹移过一条, 金属丝直径

膨胀了5. 89⨯10-3mm ，所以在D 上方看到的条纹移动为20条.

18-13 块规是一种长度标准器，为一钢质长方体，两端面经过磨平抛光精确地相互平行. 图18-13（a ）中A 是一块合格块规，两端面间距离为标准长度.B 是与A 同一规号的待校准块规. 校验时将A 、B 置于平台上，用一平玻璃盖住，平玻璃与块规端面间形成空气劈尖. （1）设入射光的波长为589.3nm, 两组干涉

条纹的间距都是L =0.55mm,A、B 间距d =5.00cm,试求两块规的高度差；（2）如何判断B 比A 长还是短？（3）现观察到平玻璃与A 、B 形成的干涉条纹间距分别为L =0.55nm和L =0.30nm,这表明B 的加工有什么缺陷？如B 加工合格应观察到什么现象？

尖干涉作一总结.

图18-13

解 （1）如图18-13（b ），因两组条纹间距相等为L =0. 55mm

λ

∆h ∴ =

L d

589. 3⨯10-9⨯5⨯10-2-5

Δh =m =2. 68⨯10m -3

0. 55⨯10

(2)如图18-13(b)，两块规有可能与平玻璃接触的位置分别标以a 、b 、c 、

d ．轻压平玻璃, 如b 、d 两处暗纹位置不变, 则B 比A 短; 如a 、c 两处暗纹位置不变，则B 比A 长.

(3)如图18-13（c ），据题意有

L 1sin θ1=L 2sin θ2=

∵ L 1>L 2 ∴ θ2>θ1

λ

2

表明B 与平玻璃间的间隙较大，B 的上端面有向左下斜的缺陷，如图18-13（c ）. B加工合格，在平玻璃上方将看不干涉条纹.

18-14 当牛顿环装置的透镜与平面玻璃间充以某种折射率小于玻璃的液体时，某一级暗环的直径由1.40cm 变为1.27cm, 求液体的折射率.

分析 牛顿环也是等厚干涉，与劈尖比较，形成牛顿环的薄膜等厚点的轨迹是以接触点为圆心的同心圆. 故干涉条纹为同心圆环. （18-12）、（18-14）式给出充以空气时环的直径和半径. 若充以某种流体，可推出第k 级暗环半径r ∝(n 为所充流体的折射率).

解 当透镜与平面玻璃间介质的折射率为n （小于玻璃的折射率）时，从介质上下表面反射的光的光程差为δ=2nd +件为

2nd +

k

n

λ

2

，据（18-9）式出现第k 级暗环条

λ

2

=(2k +1)

λ

2

r 2

将（18-13）式 d = 代入上式，得第k 级暗环半径为

2R

r =

kR n

设空气折射率为n 1, 第k 级暗环直径为D 1，充以折射率为n 2的液体，第k 级暗环直径为D 2，则

D 12n 2

=2

D 2n 1

⎛D 1

∴ n 2= D

⎝2⎫⎛1. 40⎫⎪⋅n = ⎪⨯1=1. 22 1⎪1. 27⎝⎭⎭

2

2

18-15 如图18-15（a ），平玻璃与柱面凹透镜组成空气隙. 若用波长为λ的平面单色光垂直照射，在空气隙上下表面反射的反射光形成等厚干涉条纹，设隙间最大高度为7λ4（1）试画出干涉暗纹的形状、疏密情况，并标明级次；（2）若把柱面凹透镜换为球面凹镜，气隙高

度仍为7λ4又如何？

图18-15

分析 圆柱面透镜沿母线切开，取其凸面为柱面凸透镜，取其凹面为柱面凹透镜，也可两柱面都是圆柱形. 解本题要抓住以下几点：(1)干涉条纹的形状：平玻璃与柱面凹透镜组成空气隙，空气隙等厚点的轨迹是与柱面凹透镜母线平行的直线，所以干涉条纹也是与母线平行的直线. 把柱面凹透镜换成球面镜，显然条纹应为同心圆；(2)考虑从空气隙上下表面反射的两束光是否有半波损；(3)判明膜厚d =0处为明纹还是暗纹. 现只有一束反射光有半波损失，所以d =0处（左右棱边）为暗纹. 这三条对解劈尖干涉题同样重要.

解 （1）截面图如图18-15(b). 从空气隙上表面反射的光无半波损，从空气隙下表面反射的光有半波损失，所以在气隙厚度为d 处反射的双光束的光程差为

δ=2nd +

相干条件为

2nd +

λ

2

=±k λ

(k =1, 2, ) 明纹

λ

2

2nd +

λ

2

=±(2k +1)(k =0, 1, 2, ) 暗纹

7

λ处对应的级次为 47λ82n ⨯λ+=λ=4λ

422

∴左右棱边d =0处为暗纹. d =

为k =±4的明纹.

可见，k 的取值由两棱边向中央气隙厚度最大处递增.

与牛顿环的讨论相仿，知干涉条纹到气隙最厚处的距离r 与气隙厚度d 的

d 成正比，即r 的增加速率小于气隙厚度的增加速率, 因此条纹内疏外密. 干涉条纹是平行棱边的直线, 条纹示意图如图18-15(c).

(2)换成球面镜时，球面镜与平玻璃所成空气隙等厚点的轨迹是同心圆，所以干涉条纹是以

7

λ为中心的同心圆，其余讨论与柱透镜同. 4

18-16在牛顿环实验中，两平凸透镜按图18-16（a ）配置，上面一块是标准件，曲率半径为R 1 =550.0cm,下面一块是待测样品. 入射光是波长为632.8nm 的氦氖激光，测得第40级暗环的半径为1.0cm, 求待测样品的曲率半径.

分析 实为两个曲率半径不等的凸透镜叠合. 空气隙的厚度为两个平凸透镜分别与平玻璃组成的气隙厚度之和.

解 牛顿环第k 级暗环出现的条件为 2d +

λ

2

=(2k +1)

λ

2

即 2d =k λ

（1）

如图18-16（b ），从（18-13）式得膜厚

d 1=

r r

d 2=

2r 1 2r 2

r

2

2k

2k 2k

d =d 1+d 2=

⎛11⎫ + R R ⎪⎪

2⎭ ⎝1

1⎫2⎛1 ⎪2d =r + （2）

k ∴ R R ⎪ 2⎭⎝1（2）式代入（1）式得

⎛11⎫r k 2⋅ + R R ⎪⎪=k λ 2⎭⎝1

待测样品的曲率半径为

1

R 2==m -9

40⨯632. 8⨯101--r k 2R 1550⨯10-21⨯10-22 =5. 838m

18-17 如果迈克耳孙干涉仪中M 2反射

1

镜移动距离0.233mm, 则数得的条纹移动数为792，求所用的光波的波长. 分析 迈克耳孙干涉仪是利用分振幅法产生双光束以实现干涉. 在书p.120图18-17中，M 2垂直M 1可演示等倾干涉，M 2与M 1不严格垂直可演示等厚干涉. 因而前面关于等倾干涉、等厚干涉的讨论对迈克耳孙干涉仪都适用.

解 M 2每移动λ2 , 条纹平移过一条.

λd =n ⋅∴M 2移过的距离

所用的光波的波长为

λ=

2d 2⨯0. 233

=mm =5. 884⨯10-4mm =588.4nm

n 792

18-18 迈克耳孙干涉仪的两臂中，分别放入长0.200m 的玻璃管，一个抽成真空，另一个充以1atm 的氩气. 今用汞绿线λ=546nm照明，在将氩气徐徐抽出最终也达到真空的过程中，发现有205个条纹移过视场，问

分析 参阅18-5题，再考虑到光是来回两次通过臂，所以从充氩气到抽完氩气过程中，光程的改变为2(n -1) l .

解 设玻璃管长为l , 并忽略两端管壁的厚度. 由迈克耳孙干涉仪原理知，抽气前后光程的改变为2(n -1) l ，据题意有2(n -1) l =N λ，氩气在1atm 时的折射率为

N λ205⨯546⨯10-9

n =+1=+1 =1.0028

2l 2⨯0. 2

18-19 波长为700nm 的红光正入射到一单缝上，缝后置一透镜，焦距为0.700mm. 在透镜焦距处放一屏，若屏上呈现的中央明条纹的宽度为2.00mm, 问该缝的宽度是多少？假定用另一种光照射后，测得中央明条纹的宽度为1.50 mm, 求该光的波长.

分析 正入射是指光源在透镜的焦平面上，线光源平行于缝长方向，且经过透镜的主焦点. 参阅书p.127图18-26, 用菲涅耳半波带法处理单缝衍射时，经过宽为b 的单缝上下边缘两束光的光程差为AC = b sin ϕ (ϕ 为衍射角). 要体会用半波长分割AC 后，过分点作平行BC 的平面，单缝上的波阵面便被分为等数的面积相等的波带称为半波带. 半波带上各点为新的子波源，相邻半波带上对应

点发出的相干光到达屏时相位差为π. 书p.129图18-28又提示，中央明纹的宽度为正负一级暗纹间距离，第一级明纹宽度为第一级暗纹与第二级暗纹间距离，以此类推.

ϕ很小, 解 中央明纹的宽度为l 0, 为正负一级暗纹之间的距离. 又因级次低，有

l 0

sin ϕ≈tan ϕ=

f

对第一级暗纹

ϕ=λ b s i n

代入上式

2λf 2⨯700⨯10-9⨯0. 7-4

==4. 9⨯10m =0.49 mm b =-3l 02⨯10对应另一种光, 中央明纹宽度为l ' 0=1. 5 mm 时

λ'=

al ' 00. 49⨯1. 5-4

==5. 25⨯10 mm =525nm 3

2f 2⨯0. 7⨯10

18-20 一单缝用波长为λ1 和λ2 的光照明，若λ1的第一级衍射极小与λ2的第二级衍射极小重合. 问：（1）这两种波长的关系；（2）所形成的衍射图样中，还有哪些极小重合？

分析 题目练习两条：(1)不同波长、不同级次的衍射条纹, 在它们的衍射角相同时重合；(2)单缝衍射出现极大值、极小值的条件. 解 （1）单缝衍射产生极小值的条件是

ϕ=±k λ (k =1,2,…) b s i n

设重合时衍射角为ϕ，则

b s i n ϕ=λ1

b s i n ϕ=2λ2

(1)式(2)式联立, 解出

λ1=2λ2

（2）设衍射角为ϕ时，λ1的k 1级衍射极小与λ2的k 2级衍射极小重合，则

'

b sin ϕ'=k 1λ1b sin ϕ'=k 2λ2

由第一问得出λ1=2λ2，代入得

2k 1λ2=k 2λ2 ∴ 2k 1=k 2 即当2k 1=k 2时两种光的衍射极小重合.

18-21在单缝衍射实验装置中，用细丝代替单缝成为衍射细丝测径仪. 已知光波波长为630nm ，透镜焦距为50.0cm. 今测得中央明纹的宽度为1.00 cm，试求细丝的直径.

分析 衍射是波前进过程中, 遇

现象. 单缝衍射的障碍物是缝屏, 的细丝也是障碍物. 与光波波长可以比较，宽.

解 如图18-21，于单缝宽b . 设x 1

心点P 0的距离, 中央明纹宽度为

ϕ1 l 0=2x 1=2f t a n

对低级次ϕ1很小，有

sin ϕ1≈tan ϕ1

ϕ1=2f ⋅∴ l 0≈2f s i n

λ

b

2f λ2⨯0. 5⨯630⨯10-9

=mm =0. 063mm 细丝直径为 b =l 00. 01

18-22 波长为500nm 的单色光，以30º 入射角入射到光栅上，发现正入射时的中央明纹位置现变为第二级光谱的位置. 若光栅刻痕间距

d =1. 0⨯10-3mm. （1）求光栅每毫米有多少条刻痕？（2）最多可能看到几级光谱？（3）由于缺级，实际又看到哪几条光谱线？

分析 斜入射是指光源在透镜的焦平面上，线光源平行缝长方向，但光源不经过透镜的主焦点. 这样光栅相邻两缝对应光线到达屏的光程差还应包含入射光的那部分. 本题涉及衍射光栅几个基本问题：光栅方程；当衍射角ϕ=90ο时，对应最高级次k max ；光栅衍射图样的缺级现象.

解 （1）由例题18-6，入射角为30 时光栅相邻两缝对应光线到达屏的光程差为

'(b +b ) sin 30+(b +b ') s i n ϕ

对于第二级光谱

'(b +b ) sin 30+(b +b ') s i n ϕ=2λ

因该光谱位置为原正入射时中央明纹位置，则 ϕ=0

2λ

∴ b +b '=

sin 30

光栅刻痕数为

1sin 30 0. 5N ===条/m m =500条/mm 4 b +b '2λ2⨯5⨯10

又最高级次对应衍射角ϕ=90 . 设最高级次为k max ，即

(b +b ') sin 30 +(b +b ') sin 90 =k max λ

k max

(b +b ')(sin 30=

λ

=

+sin 90 )

sin 30 +sin 90 = N λ

0. 5+1

=6 -4

500⨯5⨯10

最多可能看到6级光谱.

1⨯10-3

m =2⨯10-6m （3）光栅常数 b +b '=

500

k 满足下式为缺级

k =

b +b '

k 'b

(k ' =±1, ±2, )

而

b +b '2⨯10-6

==2 b 1⨯10-6

即 k =2k '

k =±2, ±4, ±6为缺级 ∴

故实际可以看到光谱线是0, ±1, ±3, ±5 共7条 .

18-23一平面单色光投射于衍射光栅，其方向与光栅的法线成θ 角. 法线两侧与法线分别成11ο和53ο角的方向上出现第一级光谱线. （1）求θ角；（2）用衍射角表示中央明纹出现的位置；（3）计算斜入射时在光栅法线两侧有可能看到的最高级次.

分析 本题也是斜入射问题. 题目没有给出两衍射光与入射光在光栅平面法线的异侧还是同侧，可分别假设一种配置，判断所得θ角是否合理, 从而决定取舍. 第三问的计算表明与入射光同侧的光谱项有可能获得更高级次. 在实际工作中，通过加大入射角以期获得光栅较高的分辨率.

解 （1）先设衍射角为11 和53 的衍射光位置如图18-23，此时11 的衍射光与入射光在光栅平面法线的同侧，11 衍射角为正；53 衍射角的衍射光与入射光在光栅平面法线的两侧，53 衍射角为负（参考书p.139例题18-6关于正负号的说明）. 又入射角为θ，据已知光栅方程写为

(b +b ' )(sin θ-sin 53)=-λ

(b +b ' )(sin θ+sin 11)=λ

(2)

(1)

(1)式(2)式联立, 解出

1

sin θ=(sin 53 -sin 11 )≈0. 3039

2

θ=17. 7

再设衍射角为53 的衍射光与入射光在法线同侧，从相应光栅方程解出

sin θ=

1

sin 11 -sin 53 ，这样θ

()

与入射光在法线同侧, 入射角θ=17. 7 .

（2）中央明纹对应的衍射角为ϕ ，有

(sin θ+sin ϕ)=0

ϕ0=-θ=-17. 7

即入射光与中央明纹分列在法线两侧.

（3）当衍射角为90 时，对应最高级次.

如图18-23，与入射光同侧的光谱项的最高级次k 满足下式

(b +b ' )(sin 17. 7 +sin 90 )=k λ

(b +b ' )(sin θ+sin 11)=λ

sin 17. 7 +sin 90

=2. 64≈2 解出 k ≤

sin 17. 7+sin 11

与入射光异侧的光谱项的最高级次k '满足下式

(b +b ' )(sin 17. 7-sin 90)=-k 'λ

(b +b ' )(sin θ-sin 53)=-λ

sin 17. 7 -sin 90

=1. 41≈1 解出 k ' ≤

sin 17. 7-sin 53

∴ 在入射光同侧有可能获得更高级次光谱项.

18-24 一束光线正入射到衍射光栅上，当分光计转过角ϕ时，在视场中可看到第三级光谱内λ=440nm 的条纹. 问在同一角ϕ上可看见波长在可见光范围内的其他条纹吗？（可见光的波长范围为400nm-760nm ）

分析 题目“在视场中可看到第三级光谱内λ=400nm的条纹”一句给出

(b +b ' )sin ϕ值，现寻求在400nm-760nm 范围内满足光栅方程的k 和λ值.

ϕ=k λ 解 据光栅方程 (b +b ' )s i n

nm 得 (b +b ' )sin ϕ=3⨯440=1320

若k =2, 则 λ2=1320÷2=660nm 若 k =1, 则 λ1=1320÷1=1320nm >700nm

∴可见到第二级λ=660nm 的条纹.

18-25 宇航员瞳孔直径取为5.0mm ，光波波长λ=550nm.若他恰能分辨距其160km 地面上的两个点光源. 只计衍射效应，求这两点光源间的距离.

分析 根据瑞利准则，当两个物点刚能被分辨时，这两物点的艾里斑中心对透镜光心的角距θ0恰好等于艾里斑的角半径. 人的瞳孔如同一透镜.

解 恰能分辩时，两点光源对瞳孔的张角θ0为 θ0=1. 22

λ d

∴地面两点光源的距离

∆l ≈f θ0=1. 22

f λ-3

=1. 22⨯1. 6⨯103⨯550⨯10-95⨯10m =21. 4m d

18-26 如图18-26（a ）所示，在透镜L 前50m 处有两个相距6.0mm 的

中心的距离为艾里斑半径. 本题给出物距和焦距，必然用到成像公式

111

+= . u v f

解 如图18-26（b ）， 在恰能分辨时，两个艾里斑中心的距离等于各个艾里斑半径. 设衍射光斑直径为d ，艾里斑半径为

s ' =

d

2

根据薄透镜成像公式

111+= u v f

s u

u =50m f =0. 2m θ≈∴

v ≈f =0. 2m 衍射光斑直径为

∴ s ' ≈θv

2sf 2⨯6. 0⨯10-3⨯0. 2

=m =4. 8⨯10-5m 2s '=2θv =u 50

18-27 以波长为0.11nm 的X 射线照射岩盐晶面，实验测得在X 射线与晶面的夹角（掠射角）为11ο30' 时获得第一级极大的反射光，问：（1）岩盐晶体原子平面之间的间距d 为多大？（2）如以另一束待测的X 射线照射岩盐晶面，测得X 射线与晶面的夹角为17ο30'时获得第一级极大反射光，则待测的X 射线的波长为多少？

分析 晶体构成光栅常数很小的空间衍射光栅.X 射线通过晶体时，将部分地被晶体中的原子散射. 强度最大的散射光线的相互干涉，服从布拉格公式. 本题第（1）问是在做X 射线结构分析实验.

解 据布拉格公式

ϕ=k λ (k =1, 2 ) 2d s i n

(1) 当ϕ=11 30' k =1时 岩盐晶体原子平面之间的间距为

k λ1. 1⨯10-8-8

d ==cm =2. 759⨯10cm 2sin ϕ2⨯sin 1130'

(2)当ϕ' =17 30' k ' =1时，待测的X 射线的波长为

-8

'λ=2d sin ϕ' =2⨯2. 759⨯10⨯sin 1730' nm =0. 1659nm

18-28 对于同一晶体，分别以两种X 射线实验，发现已知波长λ1=0.097nm的 X 射线在与晶体面成30ο 的掠射角处给出第一级极大，而另一未知波长的X 射线在与晶体面成60ο 的掠射角处给出第三级反射极大. 试求此未知X 射线的波长为多少？

分析 同18-27题分析. 解 据布拉格公式

ϕ=k λ (k =1, 2 ) 2d s i n

当k 1=1 ϕ1=30 得

d =

k 1λ10. 097

==0. 097nm

2sin ϕ12⨯sin 30

又由k 2=3 ϕ2=60 得

2d sin ϕ22⨯0. 097⨯sin 60

λ2===0. 056nm

k 23

18-29 两偏振片A 和B 如图18-29放置，两者的偏振化方向成45 角，设入射光线是线偏振光，它的振动方向与A 的偏振化方向相同，试求：同一强度入射光分别从装置的左边及右边入射时，透射光的强度之比.

分析 显然本题要用到马吕斯定律. 马吕斯定律给出入射到偏振片的偏振光与出射的偏振光强度间的关系.

解 设入射偏振光的强度为I 0.

从左边入射时，通过A 和B 透射光的强度分别为

I A =I 0cos 20 =I 0 I B =I A cos 245 =

1I 0 2

从右边入射时，通过B 和A 透射光的强度分

别为

I ' B =I 0cos 245 =

1

I 0 2

12

'I ' =I cos 45=I 0 B A

4

1I I B 0

==2 两种情况下透射光强度之比为

1I A '

I 04

18-30 使自然光通过两个偏振化方向成60 夹角的偏振片，透射光强为I 1. 今在这两个偏振片之间再插另一偏振片，它的偏振化方向与前两个偏振片均成

30 角，则透射光强为多少？

分析 本题也要用马吕斯定律，但注意入射光是自然光. 强度为I 0的自然光

1

通过起偏器成为偏振光，强度变为I . 这是因为自然光的光矢量可以用两个振

2幅相等振动方向互相垂直的分振动表示，经过偏振片时只有与偏振片振动方向平行的分振动可以通过.

解 如图18-30(a)，自然光通过一个偏振片后，其光强减为原来的2, 即

1

'=I 0 I 0

2

据马吕斯定律，当两偏振化方向相 交60 时, 有

2

'cos I 1=I 0

'=4I 1 I 0

如图18-30(b),当中间又插入一偏振片时

'cos 230 =I 1'=I 0

399'=I 1 I 1'=I 0

4164

3

'I 04

'=I 1'cos 230 =I 2

9

所以此时透射光光强为I 1.

4

18-31 一束平行的自然光，以58ο 角入射到一平面玻璃的表面上，反射光是全偏振光. 问：（1）折射光的折射角是多少？（2）玻璃的折射率是多少？

分析 反射光是全偏振光时，入射角为布儒斯特角，且折射光与反射光垂直.

解 （1）因入射角是布儒斯特角，入射角与折射角互为余角

折射角=90-58=32

（2）据布儒斯特定律

n 玻=tan 58 =1. 60

18-32 一束光以起偏角i 0入射到平板玻璃的上表面，试证明玻璃下表面的反射光亦为偏振光.

分析 本题论证了用玻璃片堆在折射光方向获得光的原理. 可参阅第三册p.152.

证 在上表面应用折射定律得

sin i 0n 2

=

sin r 0n 1

∴

s i n r 0=

n 1

s i n i 0 n 2

上式两边同除以cos r 0, 得

sin r 0n 1sin i 0

=

cos r 0n 2cos r 0

又因i 0是起偏角，入射角与折射互为余角，即

sin i 0=cos r 0

∴s i n r 0i 0n 1n s i n

=1=

c o s r 0n 2s i n i 0n 2

t a n r 0=

n 1

n 2

表明折射光以 r 0=因而反射光亦为偏振光.

n 1

的角入射在下表面上. 对玻璃与空气分界面, r 0是起偏角, n 2

∴

18-33 布儒斯特定律提供了一种测定透明电介质折射率的方法. 今测得一电介质的布儒斯特角为59ο15'，试求该电介质的折射率.

n 介

解 据布儒斯特定律 t a n i =

n 空

n 介=n 空tan i 0=tan 5915' =1. 681

18-34 如图18-34，自然光入射到水面上入射角为i 1时，反射光是全偏振

光. 今有一块玻璃浸入水中，且从玻璃面反射的光也是全偏振光，求水与玻璃面间的夹角α. （玻璃折射率n 3=1.517,水的折射率n 2 =1.333）

分析 注意题目点出自然光入射到水面上时，在空气与水的分界面上，反射光是全偏振光，说明入射角i 1是起偏角. 又指出从玻璃面反射的光也是全偏振光，说明光入射到水与玻璃分界面上，入射角也是起偏角. 剩下的问题就是搞清角之间的关系.

解 由布儒斯特定律

tan i 1=

n 2

=1. 333n 1

∴

设光射到玻璃上的入射角为i 2

i 1=53. 12

n 31. 517=

n 21. 333

tan i 2=

∴

i 2=48. 69

据折射定律 n 1s i n i 1=n 2s i n r

s i n r =

s i n i 1

=0. 6001n 2

∴ r =36. 88

∴ α=i 2-r =48. 69 -36. 88 =11. 81

从图18-34 90 -α=r +(90 -i 2)

18-35 如第三册图18-57所示，一束偏振光沿晶体主截面入射，偏振光的

振动方向与方解石光轴成30º角，求o 光和e 光的强度之比.

分析 o 光和e 光都是偏振光.o 光的偏振化方向垂直自己的主平面，e 光的偏振化方向在自己的主平面内. 现入射光在主截面内，o 光和e 光的主平面以及主截面重合.

解 .据已知, 偏振光沿晶体主截面入射, o 光和e 光的主平面以及主截面重合. 如图18-35, 设入射光的振幅为A ，o 光、e 光的振幅分别为A o 、A e ，

强度分别为I o 、I e . I o A A cos 601

==2= 2 I e A A sin 303

2

2

2

o 2e

18-36 如图18-36(a),用方解石割成一个正三角形棱镜，其光轴与棱镜的棱边平行，亦即与棱镜的正三角形横截面相垂直，如图18-36(a).今有一束自然

光射入棱镜，为使棱镜内e 光折射线平行于棱镜的底边，该入射光的入射角i 应为多少？并在图中画出o 光的光路. 已知n =1. 66, n e =1. 49.

分析 当光线以入射角投射到双折射晶体表面时，晶体内有两条折射光，遵守折射定律的是o 光，不遵守折射定律的是e 光，究其产生原因，是o 光在晶体中各个方向传播速度相同，而e 光的传播速度却随方向而变化. 在与光轴垂直的平面，沿各个方向e 光的传播速度相等，在这种情况e 光满足折射定律（. 可参阅书p.156-157）

解 n e =

c

为e 光在垂直光轴方向的折射率. 现e 光沿垂直光轴方向传v e

播，满足折射定律

s i n i

=n e s i n r e

据已知，在三棱镜内e 光与棱镜底边平行，如图18-36（b ）. 据几何关系

∴ r e =30 代入上式

∴ sin i =n e sin r e =1. 49⨯ i =48 40' 又因n 0=

c

为晶体对o 光的折射率，有 v 0

1

=0. 7452

s i n i

=n o

s i n r o

sin i sin 48 10'

sin r o ===0. 449

n 1. 66o

∴ r o =26 40' o 光的光路图如图18-36（c ）所示 .

18-37 参看偏振光干涉的实验装置第三册图18-63，若将晶片C 换成夹角

α=0. 33ο的石英劈尖（其光轴平行于棱边），用λ=656. 3nm 的光照射可看到干

涉条纹. 试计算相邻两条纹间距离. 已知对该波长石英的折射率n ο=1.542,

n e =1.551.

分析 劈尖干涉是从劈形膜上下表面反射的两束光产生干涉. 本题入射光在石英劈形膜中发生双折射. 因为o 光、e 光在石英中的传播速度不一样，所以从劈形膜射出时，o 光、e 光有一定相差，相位差的大小与光通过处劈形膜之厚度有关. 从偏振片N 射出时，o 光、e 光是同方向、同频率、相位差恒定的相干光，产生干涉，干涉条纹是与劈尖棱边平行的等厚条纹.

解 设劈形膜距劈尖顶l 处厚度为d ，有

d ≈l α

经厚度为d 处, 从N 穿出的o 光、e 光的光程差为

δ=(n e -n o )d

那末与d 对应处出现明暗条纹的条件分别是

(n (n

e

-n o )⋅l α=k λ-n o )⋅l α=(2k -1)

λ (k =1, 2, )

2

e

两式相减, 得

(l k +1-l k )α⋅(n e -n o )=λ 所以, 相邻两暗（或明）纹间距为

l k +1-l k =

λαn e -n o =

656. 3⨯10-9

0. 33

π⨯(1. 551-1. 542)180

cm =1. 266 cm