三角函数部分高考题(带答案)

04年到13年三角函数高考题

1. 为得到函数y =cos 2x +A ．向左平移

⎛⎝

π⎫

⎪的图像，只需将函数y =sin 2x 的图像（ A ） 3⎭

5π

个长度单位 125π

C ．向左平移个长度单位

65π

个长度单位 125π

D．向右平移个长度单位

6

B ．向右平移

2. 若动直线x =a 与函数f (x ) =sin x 和g (x ) =cos x 的图像分别交于M ，N 两点，则

MN 的最大值为（ B ）

A ．1

B

C

D ．2

4.

若0≤α≤2π,sin α>α，则α的取值范围是：( C ) （Ａ）

⎛ππ⎫⎛π⎫⎛π4π, ⎪ （Ｂ） , π⎪ （Ｃ） , ⎝32⎭⎝3⎭⎝33⎫⎛π3π

（Ｄ）⎪ , ⎭⎝32

⎫

⎪ ⎭

5. 把函数y =sin x （x ∈R ）的图象上所有点向左平行移动上所有点的横坐标缩短到原来的

π

个单位长度，再把所得图象3

1

倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是C 2

πx π

（A ）y =sin(2x -) ，x ∈R （B ）y =sin(+) ，x ∈R

326π2π

) ，x ∈R （C ）y =sin(2x +) ，x ∈R （D ）y =sin(2x +

33

7. 将函数y =sin(2x +

π

3

) 的图象按向量α平移后所得的图象关于点(-

π

12

,0) 中心对称，则

向量α的坐标可能为（ C ） A ．(-

π

12

,0)

B ．(-

π

6

,0) C ．(

π

,0) 12

D ．(

π

6

,0)

10.

函数f (x ) =sin 2x x cos x 在区间⎢

⎡ππ⎤

, ⎥上的最大值是( C ) ⎣42⎦

A.1

C.

3

2

12. 函数f (x )=cosx (x )(x ∈R) 的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y =-f ′(x ) 的图象，则m 的值可以为A

A.

π 2

B. π

C. －π

D. －

π 2

13. 在同一平面直角坐标系中，函数y =cos(

1x 3π

+)(x ∈[0，2π])的图象和直线y =的交

222

点个数是C

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4

15. 已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=（ B ）

A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/3 π

17. 函数f (x ) ＝3sin x +sin(+x ) 的最大值是 2

218. 已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量

m ＝（, -1），n ＝（cos A ,sin A ）. 若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝

π. 6

19. f (x )=cos ωx -

⎛⎝

π⎫

6⎭

⎪的最小正周期为

π

，其中ω>0，则ω= ．10 5

20. 已知函数f (x ) =(sinx -cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x ) 的最小正周期是 ．π 22．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且a cos B -b cos A =（Ⅰ）求tan A cot B 的值； （Ⅱ）求tan(A -B ) 的最大值．

解析：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理及a cos B -b cos A =可得sin A cos B -sin B cos A =

3

c ． 5

3c 5

3333

sin C =sin(A +B ) =sin A cos B +cos A sin B 5555

即sin A cos B =4cos A sin B ，则tan A cot B =4； （Ⅱ）由tan A cot B =4得tan A =4tan B >0

tan A -tan B 3tan B 33

tan(A -B ) ===≤ 2

1+tan A tan B 1+4tan B cot B +4tan B 4

1

当且仅当4tan B =cot B , tan B =, tan A =2时，等号成立，

2

31

故当tan A =2, tan B =时，tan(A -B ) 的最大值为.

42

54

23. 在△ABC 中，cos B =-，cos C =．

135

（Ⅰ）求sin A 的值；

33

（Ⅱ）设△ABC 的面积S △ABC =，求BC 的长．

2

解：

（Ⅰ）由cos B =-

512，得sin B =，

1313

由cos C =

43，得sin C =． 55

33

． ··········· 5分 65

所以sin A =sin(B +C ) =sin B cos C +cos B sin C =（Ⅱ）由S △ABC =

33133得⨯AB ⨯AC ⨯sin A =， 22233

由（Ⅰ）知sin A =，

65

故AB ⨯AC =65， ···························· 8分

AB ⨯sin B 20

=AB ， 又AC =

sin C 13

1320

AB 2=65，AB =． 故

213

AB ⨯sin A 11

=． ························ 所以BC =10分

sin C 2

25. 求函数y =7-4sin x cos x +4cos 2x -4cos 4x 的最大值与最小值。 【解】：y =7-4sin x cos x +4cos 2x -4cos 4x

=7-2sin 2x +4cos 2x (1-cos 2x )

=7-2sin 2x +4cos 2x sin 2x =7-2sin 2x +sin 22x =(1-sin 2x )+6

由于函数z =(u -1)+6在[-11，]中的最大值为

22

z max =(-1-1)+6=10 最小值为

z min =(1-1)+6=6

故当sin 2x =-1时y 取得最大值10，当sin 2x =1时y 取得最小值6 26. 知函数f (x ) =2co s （Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求函数f (x ) 的最大值，并且求使f (x ) 取得最大值的x 的集合．

（17）本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数

2

2

2

ωx +2s in ωx cos ωx +1（x ∈R , ω>0）的最小值正周期是

π

． 2

y =A sin(ωx +ϕ) 的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．

（Ⅰ）解：

f (x )=2⋅

1+cos 2ωx

+sin 2ωx +12

=sin 2ωx +cos 2ωx +2

ππ⎫ ⎛

=2 sin 2ωx cos +cos 2ωx sin ⎪+2

44⎭⎝π⎫⎛

=2sin 2ωx +⎪+2

4⎭⎝

由题设，函数f (x )的最小正周期是（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f (x )=

2πππ

=，所以ω=2． ，可得

2ω22

π⎫⎛

2sin 4x +⎪+2．

4⎭⎝

π

16+

k ππ⎫(k ∈Z )时，sin ⎛4x + ⎪取得最大值1，所以函数24⎭⎝

当4x +

π

4

=

π

2

+2k π，即x =

πk π⎧⎫

f (x )的最大值是2+2，此时x 的集合为⎨x |x =+, k ∈Z ⎬．

162⎩⎭

29. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角α, β，它们的终边分别与

单位圆相交于A,B 两点，已知A,B

（Ⅰ）求tan(α+β) 的值； （Ⅱ）求α+2β的值．

． 由条件的cos α=

β=β=，因为α, β为锐角，所以sin α

1

2

因此tan α=7, tan β=（Ⅰ）tan(α+β)=

tan α+tan β

=-3

1-tan αtan β

（Ⅱ） tan 2β=

2tan β4tan α+tan 2β

=tan α+2β==-1 ，所以()

1-tan 2β31-tan αtan 2β

3π3π

，∴α+2β= 24

∵α, β为锐角，∴0

30. 在∆ABC 中，角A , B , C 所对应的边分别为a , b , c

，a =，tan

A +B C

+tan =4, 22

2sin B cos C =sin A ，求A , B 及b , c

A +B C C C

+tan =4得cot +tan =4 2222

C C cos sin

1+=4 ∴∴=4

C C C C sin cos sin cos

22221

∴sin C =，又C ∈(0,π)

2π5π∴C =，或C =

66

解：由

tan

由2sin B cos C =sin A 得 2sin B cos B =sin(B +C ) 即sin(B -C ) =0 ∴B =C

B =C =

π

6

2π

3a b c

==由正弦定理得

sin A sin B sin C

1

sin B

b =c =a ==2

sin A 2x x 2x +． 32.

已知函数f (x ) =2sin cos -444A =π-(B +C ) =

（Ⅰ）求函数f (x ) 的最小正周期及最值；

（Ⅱ）令g (x ) =f x +

⎛⎝

π⎫

⎪，判断函数g (x ) 的奇偶性，并说明理由． 3⎭

x x x x ⎛x π⎫+

-2sin 2) =sin +=2sin +⎪． 2422⎝23⎭

解：

（Ⅰ）

f (x ) =sin

∴f (x ) 的最小正周期T =

2π

=4π． 2

当sin

⎛x π⎫⎛x π⎫

+⎪=-1时，f (x ) 取得最小值-2；当sin +⎪=1时，f (x ) 取得最大值2．

2323⎝⎭⎝⎭

π⎫⎛x π⎫⎛

+⎪．又g (x ) =f x +⎪．

3⎭⎝23⎭⎝

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f (x ) =2sin

x ⎡1⎛π⎫π⎤⎛x π⎫

∴g (x ) =2sin ⎢ x +⎪+⎥=2sin +⎪=2cos ．

23⎭3⎦⎝22⎭⎣2⎝

x ⎛x ⎫

g (-x ) =2cos -⎪=2cos =g (x ) ．

2⎝2⎭

∴函数g (x ) 是偶函数．

34. 已知向量m =(sinA ,cos A ), n

=-1) ，m ·n ＝1，且A 为锐角.

（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数f (x ) =cos 2x +4cos A sin x (x ∈R ) 的值域. 本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函

数的最值等基本知识，考查运算能力. 满分12分. 解：（Ⅰ）由题意得m n =A -cos A =1,

1

. 2

πππ

由A 为锐角得A -=, A =.

663

1

（Ⅱ）由（Ⅰ）知cos A =,

2

2sin(A -) =1,sin(A -) =

π6π6

3. 231

因为x ∈R ，所以sin x ∈[-1,1]，因此，当sin x =时，f (x ) 有最大值.

22

所以f (x ) =cos 2x +2sin x =1-2sin x +2sin s =-2(sinx -) +

2

2

1

2

当sin x =-1时，f (x ) 有最小值-3，所以所求函数f (x ) 的值域是⎢-3, ⎥.

2

⎡⎣

3⎤⎦

00，

312⎛π1⎫⎛π⎫

（1）求f (x ) 的解析式；（2）已知α，β∈ 0⎪，且f (α) =，f (β) =，M ⎪．

513322⎝⎭⎝⎭

求f (α-β) 的值．

（1）依题意有A =1，则f (x ) =sin(x +ϕ) ，将点M (

π1

π1

, ) 代入得sin(+ϕ) =，而3232

π5π

+ϕ=π，∴ϕ=，故f (x ) =sin(x +) =cos x ；

2362

312π

（2）依题意有cos α=,cos β=，而α, β∈

(0,)

，

5132

0

π

45

∴sin α=,sin β==，

513

3124556

f (α-β) =cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β=⨯+⨯=。

51351365

36. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c =2，C =（Ⅰ）若△

ABC a ，b ；

（Ⅱ）若sin C +sin(B -A ) =2sin 2A ，求△ABC 的面积．

本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．

解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，a +b -ab =4， 又因为△

ABC

2

2

π

． 3

1

ab sin C =ab =4． ······· 4分 2

⎧a 2+b 2-ab =4，

联立方程组⎨解得a =2，b =2． ·············· 6分

⎩ab =4，

（Ⅱ）由题意得sin(B +A ) +sin(B -A ) =4sin A cos A ，

即sin B cos A =2sin A cos A ， ······················· 8分 当cos A =0时，A =

ππ，B =

，a =

b =， 2633

当cos A ≠0时，得sin B =2sin A ，由正弦定理得b =2a ，

⎧a 2+b 2-ab =4，联立方程组⎨解得a =

b =

⎩b =2a ，

所以△

ABC 的面积S =

1ab sin C = ················· 12分 2