三角形性质
三角形性质
1.重心定理:三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。 2.外心定理:三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。设三角形ABC的外心为O,垂心为H,从O向BC边引垂线,设垂足为L,则AH=2OL. 3.垂心定理:三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。 4.内心定理:三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。内切圆的半径公式:r=(s-a)(s-b)(s-c)s,s为三角形周长的一半 。
5.旁心定理:三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。
每一题中三角形均为ABC 一. 中垂线交点(外心)
分别作AB,BC的中垂线,交于点O,则OA=OB,OB=OC,所以OA=OC,所以点O在AC中垂线上,所以三角形三条中垂线交于一点。
二.三高所在直线交点(垂心)
分别过A,B,C作对边的平行线,交于3点,与A,B,C三点所对应的三点记作D,E,F,则三条高线所在直线为三角形DEF的三条中垂线,由“一”知,三角形三条中垂线交于一点,,所以三角形三条高线所在直线交于一点。
三.三条内角平分线交点(内心)
设∠A平分线与∠B平分线交于O点,则O点到AB,AC的距离相等;O点到BC,BA距离相等,所以O点到AC,BC距离相等,所以点O在∠C的角平分线上,所以三角形三条角平分线交于一点。
四.三角形其中两条外角平分线与另一个角的内角平分线交于一点(旁心)(有3
点) 证明方法与“三”内心相似 (略)
五.三角形三条中线交于一点(重心)
找AB中点F,AC中点E,连接这两条中线交于点O,连接AO并延长,交BC于点D,可得S三角形ABE=S三角形ACF=1/2×S三角形ABC,得S三角形BOF=S三角形COE(两三角形同减S四边形AEOF),得S三角形AOB=S三角形AOC(都为上面两三角形面积的两倍),得B到AD和C到AD的距离相等(面积相等,底相等),所以S三角形BOD=S三角形COD(同底等高),所以BD=CD(面积相等,高相等),即D为BC中点,所以三角形三条中线交于一点。
六.三角形中心
只有正三角形才有中心(四心合一)
一般题目中一般三角形有中心的说法都错误(不过多是指重心)
三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理,外心定理,垂心定理,内心定理,旁心定理的总称。
一、 三角形重心定理
三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明,十分简单。(重心原是一个物理概念,对于等厚度的质量均匀的三角形薄片,其重心恰为此三角形三条中线的交点,重心因而得名) 重心的性质:
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其重心坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3。
二、 三角形外心定理
三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心。 外心的性质:
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点,该点即为该三角形外心。 2、若O是△ABC的外心,则∠BOC=2∠A(∠A为锐角或直角)或∠BOC=360°-2∠A(∠A为钝角)。
3、当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部;当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部;当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量:d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2;c=c1+c2+c3。重心坐标:( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c )。 5、外心到三顶点的距离相等
三、 三角形垂心定理
三角形的三条高(所在直线)交于一点,该点叫做三角形的垂心。 垂心的性质:
1、三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线,且OG∶GH=1∶2。(此直线称为三角形的欧拉线(Euler line))
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 定理证明
已知:ΔABC中,AD、BE是两条高,AD、BE交于点O,连接CO并延长交AB于点F ,求证:CF⊥AB 证明:
连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC
∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB 因此,垂心定理成立!
四、三角形内心定理
三角形内切圆的圆心,叫做三角形的内心。 内心的性质:
1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。 2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 3、P为ΔABC所在平面上任意一点,点I是ΔABC内心的充要条件是:向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).
五、三角形旁心定理
三角形的旁切圆(与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆)的圆心,叫做三角形的旁心。 旁心的性质:
1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点即为三角形的旁心。
2、每个三角形都有三个旁心。 3、旁心到三边的距离相等。
如图,点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心,而且一定在三角形外。
附:三角形的中心:只有正三角形才有中心,这时重心,内心,外心,垂心,四心合一。
有关三角形五心的诗歌
三角形五心歌(重外垂内旁)
三角形有五颗心,重外垂内和旁心, 五心性质
很重要,认真掌握莫记混. 重 心
三条中线定相交,交点位置真奇巧, 交点命名
为“重心”,重心性质要明了, 重心分割中线段,
数段之比听分晓; 长短之比二比一,灵活运用掌
握好. 外 心
三角形有六元素,三个内角有三边. 作三边的中垂线,三线相交共一点. 此点定义为外心,用它可作外接圆. 内心外心莫记混,内切外接是关键. 垂 心
三角形上作三高,三高必于垂心交. 高线分割三角形,出现直角三对整, 直角三角形有十二,构成六对相似形, 四点共圆图中有,细心分析可找清. 内 心 三角对应三顶点,角角都有平分线, 三线相交定共点,叫做“内心”有根源; 点至三边均等距,可作三角形内切圆, 此圆圆心称“内心”如此定义理当然
三 角 形 的“四 心”
所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时,四心重合为一点,统称为三角形的中心。
一、三角形的外心
定 义:三角形三条中垂线的交点叫外心,
ABC即外接圆圆心。的重心一般用字母O表示。
性 质:
1.外心到三顶点等距,即OA。 OBOC
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边,即
. ODBC,OEAC,OFA
3.。 ,,AOB
二、三角形的内心
定 义:三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,即内切圆圆心。的内心一ABC般用字母I表示,它具有如下性质:
性 质:
1.内心到三角形三边等距,且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积=1212121三角形的周长内切圆的半径. 2
3.AE; AF,BFBD,CDC
三角形的周长的一半。 AEBFCD
4.,BIC90A,CIA90B1
2
1。 AIB90C212
三、三角形的垂心
定 义:三角形三条高的交点叫重心。的重心一般用字母H表示。 ABC
性 质:
1.顶点与垂心连线必垂直对边,
即AH。 BC,BHAC,CHA
2.△ABH的垂心为C,△BHC的
垂心为A,△ACH的垂心为B。
四、三角形的“重心”:
定 义:三角形三条中线的交点叫重心。的重心一般用字母G表示。 ABC
性 质:
1.顶点与重心G的连线必平分对边。
2.重心定理:三角形重心与顶点的距离等于它与对
边中点的距离的2倍。
即GA 2GD,GB2GE,GC2G
3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值. A即xGxxxyyyBCABC. ,yG33
4.向量性质:(1); (2)。 (PAPBPC),5.SSSSBGCCGAABC
五、三角形“四心”的向量形式:
结论1:若点O为所在的平面内一点,满足, ABC
则点O为的垂心。 ABC
结论2:若点O为△ABC所在的平面内一点,满足OA, BCOBCAOCAB 则点O为的垂心。 ABC
结论3:若点G满足GA,则点G为的重心。 GBGC0ABC21313
ABC结论4:若点G为所在的平面内一点,满足, ()
ABC 则点G为的重心。 13
bcABC结论5:若点I为所在的平面内一点,并且满足a
(其中a,b,c为三角形的三边),则点I为△ABC的内心。
结论6:若点O为
所在的平面内一点,满足ABC
,则点O为的外心。 ABC(OAOB)BA(OBOC)CB(OCOA)AC
结论7:设则向量,0, 则动点P的轨迹过的内心。 ,ABC