四(6)三角函数的图像及其性质(教师)
模块: 四、三角 课题: 6、三角函数的图像及其性质
教学目标: 理解正弦、余弦、正切函数的概念,会用“五点法”作图;掌握其奇偶性、单
调性、值域及最值;掌握一般正弦函数y =A sin (ωx +ϕ)中参数的物理意义
及对函数图像的影响,掌握其基本函数性质;理解周期与周期函数的性质并会求三角函数的周期.
重难点: 正弦、余弦、正切函数的定义、图像与性质;三角函数的周期性. 一、 知识要点
2、函数y =A sin (ωx +ϕ)的图像
一般的,函数y =A sin (ωx +ϕ)(其中A >0, ω>0)的图像可由“五点法”或图像变换法得到.
(1)“五点法”:先求出当ωx +ϕ为0,
π
3
, π,
π, 2π时相对应的y 值,其次分别求出22
对应的x 值,再列表、描点、连线,最后根据函数的周期性,将图像向左、右无限扩展,即可得y =A sin (ωx +ϕ)在R 上图像. (2)图像变换法:一般可按下述步骤进行:
振幅变换平移变换周期变换
y =sin x −−−−→y =A sin x −−−−→y =A sin (x +ϕ)−−−−→y =A sin (ωx +ϕ)
①振幅变换:当A >1时,图像上各点的纵坐标伸长到原来的A 倍(横坐标不变);当00时,图像上所有点向左平移ϕ个单位;当ϕ
③周期变换:当ω>1时,图像上各点的横坐标缩短为原来的
1
ω
倍(纵坐标不变);当
0
二、 例题精讲
例1、求下列三角函数的定义域:
(1)y =log (1-2cos x )(2sin x +1); 答案:(1) 2k π+
1
ω
倍(纵坐标不变).
(2)y =⎛
⎝
π
3
,2k π+
π⎫⎛
π7π⎫
2k π+,2k π+⎪ ⎪, k ∈Z ; 2⎭⎝26⎭
(2)[-4, -π] ⎢0,
⎡π⎫⎛π⎤
⎪ , π⎥. ⎣2⎭⎝2⎦
例2、求三角函数y =lg (sin x +cos x -sin x cos x +3)的定义域与值域.
答案:{y |≤y ≤lg 4}
例3、求下列函数的值域:
(1
)y =sin 2x +x cos x -1, x ∈⎢0, (2)y =3sin x +cos 2x ;
(3)y =(2+sin x )(2+cos x ), x ∈⎢
⎡π⎤
; ⎥2⎣⎦
⎡ππ⎤, ⎥; ⎣42⎦
(4)y = (5)y =
⎛1⎫⎪⎝2⎭
cos 2x -cos x
;
2sin x -1
, x ∈[0, π];
cos x +2
(6)y =cos (2sin x ), x ∈⎢-
⎡π2π⎤
, ⎥. 63⎦⎣17⎤
答案:(1)(2)(3
)(4
)(5
)6, +;;⎢-⎢-1, 2⎥;⎢⎢⎢-4, 8⎥;
⎣2⎣⎦⎣4⎣⎦⎣(6)cos2,1.
例4、判断下列函数的奇偶性:
⎡1⎤⎡⎡9⎡1⎡
;⎦
[]
sin x +tan x
;
3cot x
1+sin x -cos x
(2)f (x )=;
1+sin x +cos x
(1)f (x )=
(3)f (x )=sin x -cos x +cos2x .
4
4
答案:(1)偶函数;(2)非奇非偶函数;(3)既奇又偶函数.
例5、求下列函数的最小正周期: (1)y =sin 6x +cos 6x ; 答案:(1)
例6、确定函数f (
x )=log 1 x -
2
(2)y =tan x -cot x ; (3)y =
tan x
2
1-tan x
πππ;(2);(3). 222
⎛
⎝
π⎫⎤
⎪⎥的定义域、值域、单调区间、奇偶性、4⎭⎦
周期性.
答案:定义域: 2k π+
⎛⎝
π
4
,2k π+
5π4
⎫
⎪,k ∈Z ; ⎭
值域:⎢-
⎡1⎫
, +∞⎪; ⎣2⎭
⎡
⎣
3π5π,2k π+44
单调区间:增区间:⎢2k π+奇偶性:非奇非偶函数; 周期:2π.
π3π⎤⎫⎛
k ∈Z ; ;减区间:,2k π+,2k π+⎪ ⎥44⎦⎭⎝
例7、已知函数f (x )=a 2sin 2
⎛
⎝x ⎫
+sin x ⎪+b . 2⎭
(1) 当a =1时,求函数f (x )的单调递减区间;
(2) 当a
[][]
⎡⎣
3π7π⎤
,k ∈Z (2
)a =1b =3 , 2k π+
44⎥⎦
例8、如图,已知函数y =A sin (ωx +ϕ)+k
(A >0, ω>0)在一个周期内的图像,求函数的
解析式. 答案:y =2sin
例9、函数y =a sin x +b cos x +c 的图像上有一个最低点 纵坐标不变,横坐标缩短到原来的
π⎫⎛2
x -⎪.
2⎭⎝3
⎛11π⎫
,1⎪,将图像上每点的6⎝⎭
3
π
倍,然后向左平移1个单位得到y =f (x )的图像,
且f (x )=3的所有正根依次为一个公差为3的等差数列,求f (x )的解析式和最小正周期.
答案:f (x )=2sin
三、
π
3
x +3,T =6.
课堂练习
2
1、函数y =2sin x cos x -2sin x +1的最小正周期是. 答案:π
2、函数y =lg (1-2cos x )的定义域为. 答案: 2k π+
⎛⎝
π
3
,2k π+
5π3
⎫
⎪,k ∈Z ⎭
3
、函数y 的奇偶性为. 答案:奇函数
4
、把函数y =cos x x 的图像向左平移m (m >0)个单位所得图像关于y 轴对称,则m 的最小值为. 答案:
2π
3
5、已知函数y =A sin (ωx +ϕ)+n 的最大值为4,最小值是0,最小正周期是线x =
π
,直2
π
3
是其图像的一条对称轴,若A >0,ω>0,0
π
2
,则函数解析式为.
答案:y =2sin 4x +
⎛
⎝
π⎫
⎪+2 6⎭
6、下面有五个命题:①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π; ②终边在y 轴上的角的集合是⎨α|α=
⎧⎩
k π⎫, k ∈Z ⎬; 2⎭
③在同一坐标系中,函数y =sin x 的图像和函数y =x 的图像有三个公共点;
④把函数y =3sin 2x +
⎛
⎝
π⎫
3⎭
⎪的图像向右平移
π
得到y =3sin 2x 的图像; 6
⑤函数y =sin x -
⎛⎝
π⎫
⎪在(0, π)上是减函数. 2⎭
其中真命题的序号是(写出所有真命题的序号). 答案:①④
四、 课后作业 一、填空题
1、函数y =2sin 2x +
⎛⎝
π⎫
⎪, x ∈[-π,0]的单调递减区间是. 6⎭
答案:⎢-
⎡5ππ⎤
, -⎥ 3⎦⎣6
π⎫⎛
2sin x +⎪
ππ6⎭⎝2、若≤x ≤,则函数y =的值域是.
cos x 43
答案:1, 4⎤
⎦
3、函数y =3sin 2x +答案:x =
⎛
⎝
π⎫
⎪图像的一条离直线x =10最近的对称轴方程是. 6⎭
19π
6
4、把函数y =cos 2x 的图像按向量a 平移,得到函数y =sin 2x +1的图像,则a =.