函数的几种表示方法
1. 2.2 函数的表示方法 第一课时 函数的几种表示方法
【教学目标】
1.掌握函数的三种主要表示方法
2.能选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系 3.会画简单函数的图像 【教学重难点】
教学重难点:图像法、列表法、解析法表示函数 【教学过程】 一、复习引入:
1.函数的定义是什么?函数的图象的定义是什么? 2.在中学数学中,画函数图象的基本方法是什么?
3.用描点法画函数图象,怎样避免描点前盲目列表计算?怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征?
二、讲解新课:函数的表示方法
表示函数的方法,常用的有解析法、列表法和图象法三种.
⑴解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式.
222
例如,s=60t ,A=πr ,S=2πrl ,y=ax +bx+c(a≠0),y=x -2(x≥2) 等等都是用解析
式表示函数关系的.
优点:一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值. 中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.
⑵列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系.
用列表法来表示函数关系的. 公共汽车上的票价表
优点:不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. ⑶图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系.
例如,气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线,课本
中我国人口出生率变化的曲线,工厂的生产图象,股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.
优点:能直观形象地表示出自变量的变化,相应的函数值变化的趋势,这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.
三、例题讲解
例1某种笔记本每个5元,买 x ∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y
(元),试写出以x 为自变量的函数y 的解析式,并画出这个函数的图解:这个函数的定义域集合是{1,2,3,4},函数的解析式为 y=5x,x ∈{1,2,3,4}.
它的图象由4个孤立点A (1, 5) B (2, 10) C (3, 15) D (4, 20) 组成,如图
变式练习1 设f (x +x -1) =x 3+x -3, g (x +x -1) =x 2+x -2 求f [g (x )]。
111
解:f (x +) =(x +) 3-3(x +) ∴f (x ) =x 3-3x
x x x 11
g (x +) =(x +) 2-2 ∴g (x ) =x 2-2
x x
∴f [g (x ) ]=x 6-6x 4+9x 2-2
y =x +
例2作出函数列表描点:
1
x 的图象
变式练习2 画出函数y =∣x ∣与函数y=∣x -2∣的图象
四、小结 本节课学习了以下内容:函数的表示方法及图像的作法 【板书设计】 一、 函数的表示方法 二、 典型例题
例1: 例2: 小结:
【作业布置】
课本第56习题2.2:1,2,3,4
1.2.2 函数的表示方法 第一课时 函数的几种表示方法
一 、 预习目标
通过预习理解函数的表示
二 、预习内容 1. 列表法:通过列出与对应 的表来表示的方法叫做
列表法
2. 图象法:以为横坐标,对应的为纵坐标的点函数y=f(x )的图象,这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法.
3. 解析法(公式法):用y=f(x )(x ∈A )中的f (x ),这种表达函数的方法叫解析法,也称公式法。
4. 分段函数:在函数的定义域内,对于自变量x 的不同取值区间,有着 ,这样的函数通常叫做 。
三、提出疑惑
课内探究学案
一 、学习目标
1.掌握函数的三种主要表示方法
2.能选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系 3.会画简单函数的图像
学习重难点:图像法、列表法、解析法表示函数 二 、 学习过程
表示函数的方法,常用的有解析法、列表法和图象法三种.
⑴解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式.
222
例如,s=60t ,A=πr ,S=2πrl ,y=ax +bx+c(a≠0),y=x -2(x≥2) 等等都是用解析
式表示函数关系的.
优点:一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值. 中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.
⑵列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系.
例如,学生的身高 单位:厘米
数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表,银行里的利息表,列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的. 公共汽车上的票价表
优点:不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. ⑶图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 例如,气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线,课本中我国人口出生率变化的曲线,工厂的生产图象,股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.
优点:能直观形象地表示出自变量的变化,相应的函数值变化的趋势,这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.
三、例题讲解
例1某种笔记本每个5元,买 x ∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y
(元),试写出以x 为自变量的函数y 变式练习1 设f (x +x -1) =x 3+x -3, g (x +x -1) =x 2+x -2 求f [g (x )]。
y =x +
例2作出函数
1
x 的图象
变式练习2 画出函数y =∣x ∣与函数y=∣x -2∣的图象
三 、当堂检测
课本第56页练习1,2,3
课后练习与提高
1. 在股票买卖过程中, 经常用到两种曲线, 一种是即时价格曲线y =f(x)(实线表示), 另一种是平均价格曲线y =g(x)(虚线表示) 〔如f(2)=3是指开始买卖后两个小时的即时价格为3元;g(2)=3表示两个小时内的平均价格为3元〕, 下图给出的四个图象中, 其中可能正确的是(
)
2. 函数f(x+1)为偶函数, 且x <1时,f(x)=x +1,则x >1时,f(x)的解析式为( )
A.f(x)=x 2-4x+4 B.f(x)=x 2-4x+5 C.f(x)=x 2-4x-5 D.f(x)=x 2+4x+5
2
3. 函数f (x ) =
x x
·a (a >1) 的图象的大致形状是(
) |x |
4. 如图, 设点A 是单位圆上的一定点, 动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周, 点P 所旋转过的
的长为l, 弦AP 的长为d, 则函数d =f(l)的图象大致是(
)
5. 用一根长为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗), 要使这个窗户通过的阳光最充足, 则框架的长与宽应分别为_________.
6. 已知定义域为R 的函数f(x)满足f [f(x)-x2+x]=f(x)-x2+x. (1)若f(2)=3, 求f(1);又若f(0)=a, 求f(a);
(2)设有且仅有一个实数x 0, 使得f(x0) =x 0, 求函数f(x)的解析表达式. 解答:
1 解析:解答该题要注意平均变化率是一个累积平均效应, 因此可以得到正确选项为C. 答案:C
2 解析:因为f(x+1)为偶函数,
所以f(-x+1)=f(x+1),即f(x)=f(2-x).
当x >1时,2-x <1, 此时,f(2-x)=(2-x)2+1,即f(x)=x 2-4x+5. 答案:B
x ⎧x x ⎪a , x >0,
a (a >1) =⎨x 3 解析:该函数为一个分段函数, 即为f (x ) =当x >0时函数|x |⎪⎩-a , x
f(x)=a x 的图象单调递增; 当x <0时, 函数f(x) =-a x 的图象单调递减. 故选B.
答案:B
4 解析:函数在[0,π]上的解析式为
d =2+12-2⨯1⨯1⨯cos l =2-2cos l =4sin 2
在[π,2π]上的解析式为d =
l l =2sin . 22
2-2cos(2π-l ) =2sin
l
,l ∈[0,2π]. 2
l , 2
故函数d =f(l)的解析式为d =2sin 答案:C
5 解析:由题意可知, 即是求窗户面积最大时的长与宽, 设长为xm, 则宽为(3-
1
x )m, 2
11
x ) =-x 2+3x (0
9
解得当x =3时, S m ax =.
2
∴S =x (3-∴长为3m, 宽为1.5m. 答案:
3m,1.5m