介质折射率的测定
用分光计测三棱镜折射率的几种方法
摘要:本文首先介绍了分光计的调节与使用方法，然后介绍了用自准直法测量棱镜顶角的过程。得到顶角的度数后，详细阐述了用最小偏向角法、略入射法和寻找偏向角随入射角变化最大位置的方法来测量棱镜折射率，并做了完善的数据处理、误差分析和讨论。对三棱镜折射率的测量具有一定的参考意义。 关键词：折射率 分光计 最小偏向角 掠入射
在普通物理实验中，测定介质材料折射率常用的方法有两类[1]：一类是几何光学的方法，即根据折射定律，通过测定有关角度来得到折射率，如插针作图法、最小偏向法、极限法、位移法、掠入法等。另一类是物理光学的方法，即根据光波通过介质后，其相位的变化或偏振状态的变化来得到折射率，如布儒斯特角法、干涉法、衍射法等。
本文介绍的方法主要使用的是最小偏向角法、掠入射法、寻找偏向角随入射角变化最大位置的方法测量三棱镜的折射率。实验主要用到的仪器有分光计，双平面玻璃，毛玻璃，光源为钠灯。
1. 分光计的调整[2]
为了精确测量角度，必须使待测角平面平行于刻度圆盘平面。由于制造仪器时已使刻度圆盘平面垂直于中心转轴，因而也必须使待测角平面垂直于中心转轴，为满足此要求，测量前必须对分光计进行调节，以达到三个要求： 1） 平行光管出射平行光 2） 望远镜能接受平行光
3） 经过待测光学元件的光线( 如入射、折射、反射光线等) 构成的平面应 与仪器的中心转轴垂直，即要求: (a)平行光管光轴垂直于中心转轴 (b)望远镜光轴垂直于中心转轴
(c)待测元件的光学面应平行于中心转轴
为保证这些条件，必须对分光计进行下述调节。其中尤以望远镜的调节最为重要，其他调节均以望远镜为准。 首先进行目测粗调，使望远镜、平行光管大致位于同一水平线上。然后对分光计进行精细调节，其先后步骤如下:将双面镜按左图所示方位放置在载物台上。这样放置是出于这样的考虑：若要调节平面镜的俯仰，只需要调节
载物台下的螺丝a 2或
a 3
即可，而螺丝a 1 的
调节与平面镜的俯仰无关。
(1)调整望远镜光轴垂直与分光计的中心转轴，使望远镜轴线的回转平面与刻度盘平面平行。
平行光管与望远镜的光轴各代表入射光和出射光的方向。为了测准角度，
必
须分别使它们的光轴与刻度盘平行。刻度盘在制造时已垂直于分光计的中心轴。因此，当望远镜与分光计的中心轴垂直时，就达到了与刻度盘平行的要求。
具体调整方法为：平面镜仍竖直置于载物台上，使望远镜分别对准平面镜前后两镜面，利用自准法可以分别观察到两个亮十字的反射像。如果望远镜的光轴与分光计的中心轴相垂直，而且平面镜反射面又与中心轴平行，则转动载物台时，从望远镜中可以两次观察到由平面镜前后两个面反射回来的亮十字像与分划板准线的上部十字线完全重合，如下图所示。
若望远镜光轴与分光计中心轴不垂直，平面镜反射面也不与中心轴相平行，则转动载物台时，从望远镜中观察到的两个亮十字反射像必然不会同时与分划板准线的上部十字线重合，而是一个偏低，一个偏高，甚至只能看到一个。这时需要认真分析，确定调节措施，切不可盲目乱调。重要的是必须先粗调：即先从望远镜外面目测，调节到从望远镜外侧能观察到两个亮十字像；然后再细调：从望远镜视场中观察，当无论以平面镜的哪一个反射面对准望远镜，均能观察到亮十字时，如从望远镜中看到准线与亮十字像不重合，它们的交点在高低方面相 差一段距离如图(a)所示。•此时调整望远镜高低倾斜螺丝使差距减小为h/2，如图(b)所示。再调节载物台下的水平调节螺丝，消除另一半距离，使准线的上部十字线与亮十字线重合，如图(c)所示。之后，再将载物台旋转180o ，使望远镜 对着平面镜的另一面，采用同样的方法调节。如此反复调整，直至转动载物台时，从平面镜前后两表面反射回来的亮十字像都能与分划板准线的上部十字线重合为止。这时望远镜光轴和分光计的中心轴相垂直，常称这种方法为逐次逼近各半调整法。
(2)调整平行光管，并使其光轴在望远镜轴线回转面内，出射平行光。 用前面已经调整好的望远镜调节平行光管。当平行光管射出平行光时，则狭缝成像于望远镜物镜的焦平面上，在望远镜中就能清楚地看到狭缝像，并与准线无视差。
①调整平行光管产生平行光。取下载物台上的平面镜，关掉望远镜中的照明小灯，用钠灯照亮狭缝，从望远镜中观察来自平行光管的狭缝像，同时调节平行光管狭缝与透镜间的距离，直至能在望远镜中看到清晰的狭缝像为止，然后调节缝宽使望远镜视场中的缝宽约为1 m m 。
②调节平行光管的光轴与分光计中心轴相垂直。望远镜中看到清晰的狭缝像后，转动狭缝（但不能前后移动）至水平状态，调节平行光管倾斜螺丝，使狭缝水平像被分划板的中央十字线上、下平分，如图（a ）所示。这时平行光管的光轴已与分光计中心轴相垂直。再把狭缝转至铅直位置，并需保持狭缝像最清晰而且无视差，位置如图(b)所示。
(3)待测元件的调节，使经过待测光学元件的光学面与中心转轴平行。
将待测棱镜如左图所示位置放于载物平台上，让棱镜的一光学面垂直于平台下的三螺钉的连线之一，与此同时，另一光学面也垂直于另一连线。转动载物平台，使望远镜对准棱镜的光学
面A B ，微调螺钉a 1，a 2，使在望远镜中能看到反射回来的亮十字线与分划板上方十字线重合。转动平台使光学面A C正对望远镜，微调
a 3
，再
次从望远镜中看到亮十字线与分划板上方十字线
重合。反复进行上述调试，直到从A B 、A C 两光学面反射回来的亮十字线均为上述成像位置，此时A B 、A C 两光学面便平行于中心转轴。至此分光计已全部调整好，使用时必须注意分光计上除刻度圆盘制动螺丝及其微调螺丝外，其它螺丝不能任意转动，否则将破坏分光计的工作条件，需要重新调节。
2用自准法测量三棱镜顶角A [3]
2.1原理
利用望远镜自身的平行光及阿贝自准系统来进行测量的，测量光路如图1所示，使望
'
θθ远镜光轴垂直于AB 面, 读出角度1和1，再将' θθ2望远镜垂直于AC 面读出角度和2。望远镜
转过角度
ϕ=[|(θ1-θ2) |+|(θ1' -θ2' ) |]
1
2
。
由几何关系可得：三棱镜顶角A=180o-φ. 图（1） 2.2结果与讨论 2.2.1实验数据
根据实验原理，我们有如下数据:
顶角A =601' 20' '
2.2.2不确定度分析[4]
根据不确定度理论，在相同条件下，对x 进行多次测量时，待测量x 的标准不确定度u (x ) 由A 类不确定度u A (x ) 和仪器不确定度u B 2(x ) 合成，即
u (x ) =2A (x ) +u 2B 2(x )
（1）
n (n -1) （2）
式中的t 称为“t 因子”，为了方便起见，一般取1。 仪器不确定度u B 2(x ) 是由仪器本身的特性所决定的。譬如在这个试验中我们，我们很难判断游标上哪根线与游标主尺对的最齐，只能大概判断。我们这里就取他的最小分度，也就是1' 所以，根据（1）式
u A (x ) =t
∑(x -x )
i
i =1
n
2
u A (x ) =0. 3'
又因为
u B 2(x ) =1'
所以
u (x ) =u 2A (x ) +u 2B 2(x ) =0 1' 3' '
所以顶角
A =(60 1' 20' ' ±1' 3' ' )
由于分光计的读数只能精确到一分，故后面的秒对数据的准确度没有实际意义，所以顶角应为
A =(601' ±1' )
3.三棱镜折射率的测量
3.1用最小偏向角法测三棱镜材料的折射率[5]
3.1.1实验原理
如图2所示，一束单色光以i 1角入
射到AB 上，经棱镜两次折射后，从AC 面上射出，出射角为i 2。入射光和出射光之间的夹角δ称为偏向角。当棱镜顶角A 一定时，偏向角δ的大
图2 小随入射角i 1的变化而变化。可以证明当i 1=i 2时，δ为最小。这时的偏向角称为最小偏向角，记为 从图2中可以看出，这时
δmin 。
i ' =
1
(δmin +A ) 2 δmin A
=i 1-i ' =i 1-
2 2
设棱镜材料的折射率为n ，则
A
sin i 1=n sin i ' =n sin
2
i 1=
A
2
n =
sin i 1
='
sin i
sin
δmin +A
A sin
2
故
由此可知，要求得棱镜材料的折射率n ，必须测出其顶角A 和最小偏向角
δmin 。
折射率n =1. 648。 3.1.3不确定度分析
根据不确定度理论，A 类不确定度
=0. 00058
由于不确定度的取值已在小数点后四位，超过平均值的精度，故此不确定度对原数据的进一步精确意义不大。所以，通过寻找最小偏向角测得的三棱镜折射率为为1.648。
3.2用掠入射法测三棱镜的折射率[6] 3.2.1实验原理
如图3所示，用单色面扩展光源（钠光灯源前加一块毛玻璃）照射到棱镜AC 面上。当扩展光源出射
m (m -1)
的光线从各个方向射向AB 面时，以90入射的光线1的内折射角最大，为i 2max ，其出射角最小为i 1min ；入射角小于90时，折射角必小于i 2max ，出射角必大于
i ' 1min ；大于900的入射光线不能进入棱镜。这样，在
u A (n ) =t
∑(n -n )
i
i =1
m
2
' '
'
AC 面用望远镜观察时，将出现半明半暗的视场（如
i =901图2所示）。明暗视场的交线就是入射角为的
光线的出射方向。
图3
设棱镜材料的折射率为n ，则
cos A +sin i min 2
)
sin A
由此可知，必须要求测出半明半暗的视场时出射光线的角度。 3.2.2实验数据
n =+(
得到n =1. 668 3.2.3不确定度分析
根据不确定度理论，A 类不确定度
=0. 00058
由于不确定度的取值已在小数点后四位，超过平均值的精度，故此不确定度对原数据的进一步精确意义不大。所以，通过掠入射法测得的三棱镜折射率为1.668。
3.3通过寻找偏向角随入射角变化最大的位置, 测三棱镜的折射率[7] 3.3.1实验原理
m (m -1)
物理光学实验人眼的判断对测量结果有很大影响。前面用最小偏向角δmin 测折射率的方法中, 主要误差来源于最小偏向角的位置不容易判断准确(偏向角随入射角的变化太小) ,导致测量折射率的数据相差较大, 为此我们可以考虑寻找偏向角随入射角变化最大的位置, 测出此时入射角即可计算折射率。 原理
折射光路图如图4所示，根据折射率公式有： δ=i +i ' -A （1） sin i =n sin r （2） sin i ' =n sin r ' （3） r
u A (n ) =t
∑(n -n )
i
i =1
m
2
+r ' =A （4）
对（2）（3）（4）微分有：
di n cos r
=
cos i （5） dr
di ' n cos r ' =dr ' cos i ' （6） 图4
由（5）（6）（7）可推出
(7) dr
=-1dr '
di ' cos i cos r ' =-
cos i ' cos r （8） di
再由（1）式
d δdi ' cos i cos r '
=+1=-+1
cos i ' cos r di di
所以
d δcos i n 2-sin 2i '
=-+1
22
cos i ' n -sin i di （9）
d δ
di 反映的是偏向角δ随入射角i 变化的变化率。
d δ=0
i =i ' , r =r ' 当，δ为最小偏向角时，变化率di 。人眼观察时其位置不容易确定，造成测得的i 角相差较大。又：
d 2δd 2i ' di ' d ⎡di ' ⎤
==ln(-) ⎥d 2i d 2i di di ⎢di ⎣⎦
di ' ⎡sin i sin r ' dr ' sin r ' dr ⎤=⎢--+
di ⎣cos i cos r ' di cos r di ⎥⎦cos i cos r ⎡sin i sin r ' cos i sin r cos i sin i ' cos i cos r ' ⎤=-++-cos i ' cos r ' ⎢⎣cos i cos r ' n cos r cos r n cos r cos r ' cos i ' cos r ⎥⎦=
cos i cos r ⎡sin i sin r ' cos i sin r cos i sin i ' cos i cos r ' ⎤
-++-2⎥cos i ' cos r ' ⎢⎣cos i cos r ' n cos r cos r n cos r n cos r ' cos i ' cos r ⎦
cos i cos r ⎡sin i ⎛cos 2i ⎫sin r ' cos i ⎛cos 2r ' ⎫⎤
⎪+ =1-2-1⎪⎢-⎥2⎪2 cos i ' cos r ' ⎣cos i ⎝n cos r ⎭cos r ' n cos r ⎝cos i ' ⎪⎭⎦由于
900>i >r , 900>i ' >r ' , n >1
则：
cos i cos r cos 2i cos 2r '
-0, -1>0 22cos i ' cos r ' n cos r cos i '
所以：
d 2δ
>0di 2
d 2δd δ
2
这表明di 随i 角增大而单调增大，亦即表明di 随i ' 角减小而单调减小。由式d 2δ
i ' →90, cos i ' →0时，变化率di 2最大。 i （9），显然当入射角为某一值使
由（2）（3）（4）可推出折射率
sin 2i +sin 2i ' +2cos A sin i sin i '
n =
sin A （10） 当i ' ≈90时，（10）式可近似写成
sin 2i +1+2cos A sin i
n ' =
sin A
3.3.2实验数据
我们利用实验室所提供的三棱镜，，在顶角A 经过测量已知的情况下，我们在i ' ≈90区间进行了多次测量，我们设主线位置所对应的角度为θ0，观察到出射
光的位置为θ1，用之准直法测出射方三棱镜准线位置为θ2，用自准直法测入射方三棱镜准线位置为
θ3，结果如下表：
实验结果表明n 与n ' 相差不大，且一致性相当好。
3.3.3分析讨论
i ' 变化大的原因:由于三棱镜表面的加工精度, 当i ' →90时狭缝会变形, 操作时同时转动三棱镜和望远镜(方向相反) 使变形的狭缝刚好消失, 记录数据, 由于每次判断刚好消失的位置有所差别导致测量的δ或i 相差较大。笔者还对不同三棱镜样品进行了多次测量, 狭缝刚好消失的i ' 最大范围为8903'
大) 两组数据代入分别计算变化率:
d δcos i n 2-sin 2i '
=-+1=-25. 4
22di min cos i ' n -sin i
di ' d δcos i cos r '
=-1=-=-26. 4di min di cos i ' cos r
同理：
d δcos i n 2-sin 2i '
=-+1=-149. 8
22di max cos i ' n -sin i
di ' d δcos i cos r '
=-1=-=-150. 8di max di cos i ' cos r
这表明：
δ变化25. 4~149. 8或i ' 变化26. 4~150. 8，而入射角i 的变化只有1' 。 3.3.4 n 的不确定度
n =1. 645
A 类不确定度
由于不确定度的取值已在小数点后四位，超过平均值的精度，故此不确定度对原数据的进一步精确意义不大。 所以，通过寻找偏向角随入射角变化最大的位置测三棱镜的折射率，测得的值为1.645，与用最小偏向角和掠入射法测得的折射率有较高的一致性。
u A (n ) =t
∑(n -n )
i
i =1
m
2
m (m -1)
=2⨯10-4
4. 实验总结
在这一系列实验中，分光计的准确调整是完成后续实验的基础。所以要扎实掌握分光计调整的方法，按照步骤，合理调整。用自准直法测顶角利用的是介质
平面对光线的反射，只要分光计调整恰当，就能清楚的得到实验现象。
用最小偏向角测棱镜折射率的方法，操作简单，现象明显。实验的难点在于如何确定最小偏向角的位置，其需要反复调整才能观察到现象。用掠入射法测折射率的的方法，利用光线由光密介质向光疏介质出射时在特定情况下会出现全反射这一原理。实验中要用到毛玻璃，且钠灯要放在恰当位置，保证通过毛玻璃后有不同角度的出射光。
用寻找偏向角随入射角变化最大的位置测折射率的方法，合理可行，不过由于出射角接近于九十度，出射光线的观察受到三棱镜界面的平整度，全反射定律的制约，所以越接近直角时，现象越难观察。用这种方法的意义在于对任意偏向角法[8]公式的化简。若不受出射角接近九十度这一约束条件，则此方法自然退化到任意偏向角法测介质折射率，同样可较准确的测量。
参考文献：
[1]陈良锐 彭力 蔡招换 余桂国 测量三棱镜折射率的一种新方法[J] 大学物理 实验 22（2） P19-21
[2]袁哲封 分光计测量三棱镜折射率的误差分析[J] 科技资讯 2006 P3-4
[3]张文辉 分光计测三棱镜折射率的探讨[J] 福州大学学报 2007 8 P88-91
[4]张卫红 三棱镜折射率测量的不确定度评定[J] 科技信息
[5]孙甫照 用最小偏向角法测三棱镜折射率的误差分析[J] 天中学刊 15（2）
[6]沈金州 朱世昆 对于用掠入射法测定玻璃三棱镜折射率实验中一种假象分析 物理实验[J] 19（4） P46
[7]赵斌 何雄韬 测量棱镜折射率的一种新方法[J] 武汉工业学院学报 22（1） P101-105
[8]韩胜阳 吴殿红 侯晓波 用任意偏向角测量三棱镜折射率[J] 大学物理实验 8（4） P4-7