专注学习第五课时 等差数列的概念及性质
专注学习第五课时 等差数列的概念及性质
【专注考点】1. 等差数列的概念及运算;2. 等差数列的性质. 具体要求:(1)理解等差数列的概念;(2)掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式;(3)能在具体的问题情境中识别等差数列关系,并能用有关的知识解决相应的问题. (4)了解等差数列与一次函数的关系. 【专注基础】必背知识:1. 等差数列的基本公式: (1)等差数列的定义:a n -a n -1=d (d 为常数)(n ≥2); (2)等差数列通项公式:
a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *) , 首项:a 1,公差:d,末项:a n 推广: a n =a m +(n -m ) d . 从而d =(3)等差中项
(1)如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:A =
(2)等差中项:数列{a n }是等差数列⇔2a n =a n -1+a n +1(n ≥2) ⇔2a n +1=a n +a n +2
(4)等差数列的前n 项和公式:
a +b
或2A =a +b 2
a n -a m
;
n -m
S n =
n (a 1+a n ) n (n -1) d 1
=na 1+d =n 2+(a 1-d ) n =An 2+Bn 2222
(其中A 、B 是常数,所以当d ≠0时,S n 是关于n 的二次式且常数项为0)
2. 等差数列的常用性质:
(1)当m +n =p +q 时, 则有a m +a n =a p +a q ,特别地,当m +n =2p 时,则有a m +a n =2a p . 注:a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2=⋅⋅⋅,
(2)若数列{a n }是等差数列,公差为d ,则{a 2n }也是等差数列,公差为2d ; (3)若{a n }、{b n }为等差数列,则{λa n +b },{λ1a n +λ2b n }都为等差数列; (4)若{a n }是等差数列,则S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ,„也成等差数列
(5)数列{a n }为等差数列, 每隔k(k∈N ) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ⋅⋅⋅) 仍为等差数列. 3. 等差数列与等差数列各项和的性质 (1)若数列{a n }是等差数列,则数列⎨
*
1⎧S n ⎫
⎬也是等差数列,其首项与{a n }相同,公差是{a n }的;
2⎩n ⎭
(2)S m , S 2m , S 3m , 分别为{a n }的前m 项,前2m 项,前3m 项的和,则S m , S 2m -S m , S 3m -S 2m 成等差数列; (3)关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质. .a 若项数为2n ,则S 奇-S 偶=nd ;
S 奇a
=n ;
S 偶a n +1
S 奇n
=;
S 偶n -1
.b 若项数为2n-1,则S 奇=na n ,-S 偶=(n -1) a n ; S 奇-S 偶=a n ; (4){a n }、{b n }的前n 和分别为A n 、B n ,且
A n a (2n -1) a n A 2n -1
=f (n ) ,则n ===f (2n -1) . B n b n (2n -1) b n B 2n -1
(5)等差数列{a n }的前n 项和S m =n ,前m 项和S n =m ,则前m+n项和S m +n =-(m +n )
注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法:
①基本量法:即运用条件转化为关于a 1和d 的方程;
②巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量.
【专注讲解】等差数列的基本运算(知三求二)
例1. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 5=8, S 3=6, 则a 9=; 变式训练:
(1)(2014福建高考理)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2, S 3=12, 则a 6=( ) A.8 B.10 C.12 D14
(2)在等差数列{a n }中,已知a 3+a 8=10, 则3a 5+a 7=; (3)在递增等差数列{a n }中,已知a 1=1, a 3=a 2-4, 则a n = ;
2
(4)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和且a 1=1, a 4=7, 则S 5=例2. 在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16, 则该数列的前11项之和S 11= ( ) A.58 B.88 C.143 D.176 变式训练:
(1)在等差数列{a n }中,已知a 1+a 5=10, a 4=7, 则d = ; (2)在等差数列{a n }中,a 4+a 6+a 10=1,则a 3+a 9= ;
(3)等差数列{a n }中,若a 1-a 5+a 9-a 13+a 17=117,则a 3+a 15= ; (4)已知等差数列{a n }中,a 1+a 4+a 7=15, a 2a 4a 6=45,求此数列的通项公式.
等差数列前n 项和及最值问题
例3. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,且a 1>0, S 3=S 11, 则当n 为多少时,S n 最大?
变式训练:
(1)(2014北京高考理)若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0, a 7+a 100, 3a 8=5a 13, 则部分和S n 中最大的是 ( ) A.S 10 B.S 11 C.S 20 D.S 21
等差数列的综合问题
例4. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=10, a 2为整数,且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =
变式训练:已知函数f (x ) =x 2-2(n +1) x +n 2+5n -7
(1)设函数y =f (x ) 的图像的顶点的纵坐标构成数列{a n },求证:{a n }是等差数列; (2)设函数y =f (x ) 的图像的顶点到x 轴的距离构成数列{b n },求{b n }的前n 项和S n .
【专注难题】
例5. 设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,已知2a 2=a 1+a 3, 数列(1)求数列{a n }的通项公式(用n,d 表示);
(2)设c 为实数,对满足m =n =3k 且m ≠n 的任意正整数m , n , k , 不等式S m +S n >cS k 都成立, 求证:c 的最大值为
1
,求数列{b n }的前n 项和T n . a n a n +1
S }是公差为d 的等差数列.
n
9. 2
【专注练习】历届高考中的“等差数列”试题精选(自我检测)
一、选择题:
1. (2007安徽文) 等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=1, a 3=3, 则S 4=( ) (A )12 (B )10 (C )8 (D )6
2. (2008重庆文) 已知{a n }为等差数列,a 2+a8=12,则a 5等于( )
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
3. (2006全国Ⅰ卷文)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若S 7=35,则a 4=( )
A .8 B.7 C.6 D.5
4.(2008广东文) 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=4,S 4=20,则该数列的公差d=( ) A.7 B. 6 C. 3 D. 2
5.(2003全国、天津文,辽宁、广东)等差数列{a n }中,已知a 1=
1
,a 2+a 5=4,a n =33, 3
则n 为( )
(A )48 (B )49 (C )50 (D )51
6. (2007四川文)等差数列{a n }中,a 1=1,a 3+a 5=14,其前n 项和S n =100,则n =( )
(A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7.(2004福建文)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若
A .1 B.-1 C.2 D.
a 55S
=, 则9=( ) a 39S 5
1
2
8. (2000春招北京、安徽文、理)已知等差数列{an }满足α1+α2+α3+„+α101=0则有( )
A .α1+α101>0 B.α2+α100<0 C.α3+α99=0 D.α51=51
9. (2005全国卷II 理)如果a 1,a 2,„,a 8为各项都大于零的等差数列,公差d ≠0,则( ) (A )a 1a 8>a 4a 5 (B )a 8a 1a 4+a 5 (D )a 1a 8=a 4a 5
10. (2002春招北京文、理)若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有( )
(A )13项 (B )12项 (C )11项 (D )10项 二、填空题:
11(2001上海文)设数列{a n }的首项a 1=-7, 且满足a n +1=a n +2 (n ∈N ) ,则
a 1+a 2+ +a 17=_____________.
12.(2008海南、宁夏文) 已知{an }为等差数列,a 3 + a8 = 22,a 6 = 7,则a 5 = __________
13. (2007全国Ⅱ)已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = .
14. (2006山东)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 4=14,S 10-S 7=30,则S 9=.
三、解答题: 15.(2004全国Ⅰ卷)等差数列{a n }的前n 项和记为S n . 已知a 10=30, a 20=50.
(Ⅰ)求通项a n ; (Ⅱ)若S n =242,求n.