圆锥曲线光学性质几何证明法
利用反证法证明圆锥曲线的
光学性质
迤山中学 数学组
贾浩 2014.1.1
利用反证法证明圆锥曲线的光学性质
反证法又称归谬法，是高中数学证明中常用的一种方法。利用反证法证明问题的思路为：首先在原命题的条件下，假设结论的反面成立，然后推理出明显矛盾的结果，从而说明假设不成立，则原命题得证。
在光的折射定律中，从点P发出的光经过直线l折射后，反射光线的反向延长线经过点P关于直线l的对称点。
下面结合光的折射定律，利用反证法证明圆锥曲线的光学性质。
一、椭圆的光学性质
从椭圆的一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点上。
该命题证明如下：
已知椭圆的两个焦点分别为F1、F2，P为椭圆上的一个点，过点P作椭圆的切线l，F2关于切线l的对称点为F2'，证明：F1、P、F2'三点共线。
证明 假设F2'不在F1、P所在的直线上，连接F1、F2'，交椭圆于M。 则F1F2'=MF1+MF2'，
F1F2'
由PF1+PF2=2a，PF2=PF2'得
PF1+PF2'=2a，则F1F2'
又由MF1+MF2=2a，
MF22a，则
F1F2'
二、双曲线的光学性质
从双曲线的一个焦点出发的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点。
该命题证明如下：
已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上的一个点，过点P作双曲线的切线l，F2关于切线l的对称点为F2'，证明：F1、P、F2'三点共线。
证明 假设F2'不在F1、P所在的直线上，连接F1、F2'，交椭圆于M。 则F1F2'=MF1-MF2'，
F1F2'>PF1-PF2'
由PF1-PF2'=2a得
F1F2'>2a。
又由MF1-MF2=2a，MF2
三、抛物线的光学性质
从抛物线的焦点出发的光线，经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的轴。
该命题证明如下：
P为抛物线上的一个点，已知抛物线焦点分别为F，直线m为抛物线的准线，
过点P作直线m的垂线，垂足为P'。过点P作抛物线的切线l，F关于切线l的对称点为F'，证明：F'、P、P'三点共线。
证明 假设F'、P、P'三点不共线，由
PF'=PF，PF=PP'得PF'=PP'。又因
为直线PP'⊥m，故F'在直线m右侧。
过F'作直线m的垂线，交抛物线于点
M，交直线m于N，则MN>MF'，由抛物
线的定义得MN=MF，则MF>MF'
由M在切线l右侧得MF
在上述的证明过程中，没有利用圆锥曲线的方程，只利用了教材中圆锥曲线的定义，这样就避免了大量的代数计算。借助于反证法，大大的简化了证明的过程。