用WKB方法讨论透射系数和反射系数

２００７年第１期

内蒙古石油化工

３５

用ＷＫＢ方法讨论透射系数和反射系数

李根小１，霍海燕２

（１．内蒙古农业大学理学院；２．内蒙古民族高等专科学校）

摘

要

本文用ＷＫＢ近似方法讨论了势垒贯穿问题系数Ｔ和其透射反射系数Ｒ之和恒等为１，即

满足恒等２（Ｔｑ－Ｒ＝Ｉ，并进一步得出这一结论不仅适用于一般势垒贯穿而且在方势垒贯穿中也成立，最

后讨论了势垒贯穿的几种极限情况，例如，ｈ—ｏ（即经典情况），势垒高度ｖ一∞、ｖ—ｏ，势垒宽度ａ一∞、ａ

－－＊０，等几种特殊情况下的Ｔ及Ｒ的取值问题。

关键词准经典近似；一般势垒贯穿；透射系数；反射系数；方势垒贯穿

波函数满足薛定谔方程。一般从薛定谔方程解上图甲Ｖ（ｘ）随ｘ绂馒父化，凼此陈转们点ａ，ｂ以出波函数是很复杂的。为简单起见，我们可以利用准

外，三个区域内，可用ＷＫＢ近似波函数［¨。

经典近似方法解薛定谔方程。经典情况下，薛定谔方

：

程解为甲（ｘ）＝ｅｘｐ［亡ｓ］形式，把这一结论推广到量

９。ｃｘ，一方三Ｐ［Ａｅｘｐ（告』：ｐｄｘ一罢）＋Ｂｅｘｐ

√

、１１

Ｊ

ｘ‘±７

子情况，量子情况下，薛定谔方程解相似地可以写为

（｝加ｘ＋孙

㈤：

币（ｘ）＝ｅｘＰ［ｈＳ（ｒ，ｔ）］形式，两者中在经典情况下的州ｘ）一南［ｃｅｘｐ（ｉ－－１Ｊ；ｂ…ｄｘ）＋ＤｅＸｐ

Ｓ为常量，而量子情况下的Ｓ为坐标和时间的函数，（３）

而且可以用ｈ的幂级数进行泰勒展开

㈦：｜ｐＩｄｘ）］

；

／；＼２

’

ｓ—ｓ。＋亡８，＋【亡』８ｚ＋＾

（１）

州ｘ）一万１［融ｐ（ｈｆ：ｂｐｄＸ一警）＋融ｐ

√Ｄ

、

鼍７

这就是准经典近似方法。本文用准经典近似方

法来计算势垒贯穿系数，证明出在势垒贯穿中透射（寻』：ｐｄｘ＋和

㈤

系数Ｔ和反射系数Ｒ之和恒等于１，当ｖ—ｏ。时Ｔ＝０

设粒子在１Ｋｐｑｌｌｘ轴正方向运动，在ａ点过势

Ｒ＝１，ｖ—ｏ时Ｔ一１Ｒ＝０；当ａ一∞时Ｔ一０Ｒ＝１，

垒后一部分粒子被势垒反射，一部分粒子穿过势垒ａ—，Ｏ时Ｔ＝１Ｒ一０；当ｈ一０时Ｔ一０Ｒ＝１。到第２区，在第３区内只有透射波而没有反射波，故

１一般势垒贯穿问题

Ｆ＝０。第２区的波函数可写为

１．１

一般势垒

㈣

设势垒ｖ（ｘ）如图１所示

以ｘ净击胁ｐｉ．ｆ＂．ｉｎ一）

Ｖ

由连接公式

南ｃ孛ｅｘｏ－－１．…ｂ…ｄｘ）州ｃ・飞ｋｐ

㈦ｌ＿＿。ｂＩⅢｘ）］一去［ｃｌｅ舶ｉ。ｆ＊．ｉｎ一／＋ｃｚｅｘｐ

（寻』：ｐｄｘ＋孙

ｃｅ，

得出相应的系数Ｃ。一Ｅ，Ｃ。＝０则第２区的波函

数可写为

ａ

ｂ

圈１

仇（ｘ）＝锕１。ｖＥ＋２０ｅｘｏ－－１一ｂ…ｄｘ）＿ｉ（Ｅ一

收稿日期：２００６一０７—２５

万方数据

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内蒙古石油化工２００７年第１期．

——————————————————————————————————————————————————————————————————————————一

ｏ）ｅｘｐ（旨』：ｌｐｄｘ）］

一南ｃ詈唧㈢：ｌｐ｜ｄｘ）－ｉ融ｐ

㈨：ｌｐＩｄｘ）］

㈩

再由连接公式

去ｈ唧㈨砖一等）＋ｃｚｅｘｐ

（寻肛ｘ十等卜

而１。ＥＣＩ－１２－Ｃ２ｅｘｐ（Ｔ－－ｉ”Ｘｌｄｘ）一ｉ（ｃｌ－－ｃ２）ｅＸｐ

㈦㈡ｄｘ）］

㈣

得出第１区和第２区的波函数分别为

¨ｘ）＝忑１［№ｐ（ＨｐｄＸ一等）＋胁ｐＰ√

…Ｊ‘

１’

㈦：ｐｄ）（＋和

㈤

纵ｘ，一高ｃ学唧㈤ⅢｘｈＡ—

Ｂ，ｅｘｐ（告』：Ｉｐｌｄｘ）］

＝南［里ｅ南（－１胪ｂ川可。

２…’＼１ｈ恤）唧Ｊａ～／

‘

（音ｊ＇：Ｉｐｌｄｘ）

一ｉＥｅｘｐ

（音ｊ＇：Ｉｐｌｄｘ）ｅｘｐ

（｝肌ｄｘ）］

㈣，

设８一舢ｐｌｄｘ

Ａ＝ｉＥ［－１ｅｘｐ（一ｐ）一ｅｘｐ（Ｂ）］（１１）

Ｂ＝－－ｉＥＥｌｅｘｐ（一Ｂ）＋ｅｘｐ（８）］

（１２）

则入射波、反射波和透射波分别为

吣，＝会…ｐ㈨吣一等）

（１３）

删＝去唧（船ａｘ一等）Ｐ（１４）

√

…Ｊ１

‘’

州２＝媾『≈１－ｅ—ｑ㈣

删一去唧㈨吣一等）Ｐ…ｏ

（１５）

√

ｏ

１’

则反射系数Ｒ为

万方数据

Ｔ＝黔Ｅ［赢卜∥Ⅲ，

故Ｔ＋Ｒ一１

因此在一般势垒贯穿中透射系数Ｔ及反射系数

Ｒ之和恒为１。

１．２

当ｈ—ｏ（在经典情况下）

Ａ）当Ｖ＞Ｅ时，ＩＰＩ一～／２ｍ（Ｖ－－Ｅ）＞０Ｔ＝０

Ｒ一１（ｈ—Ｏ时Ｂ一。。）

Ｂ）当Ｖ＜Ｅ时连接公式不成立，因此不予以讨

论。

１．３

Ｖ的极限情况

Ａ）当Ｖ一∞时，ｉＰＩ一√２ｍ（Ｖ—Ｅ）

ｐ一∞

Ｔ一０

Ｒ＝１

从经典理论的角度来说粒子能量小于势垒高度时粒子全反射没有一个粒子能穿过势垒。

Ｂ）当ｖ—Ｏ时，Ｐ—ｏ

８一ｏ

Ｔ＿－－１

Ｒ＝０

没有势垒时入射粒子全部都透射出去，没有粒

子反射回来。

１．４

ａ的极限情况

Ａ）当ａ—ｏ。时，ｐ一。。Ｔ＝０

Ｒ＝１

势垒宽度无限大时入射粒子无法透射出去。

Ｂ）当ａ—ｏ时，ｄｘ—ｏ

ｐ一旨Ｊ。ＩｐＩｄｘ—ｏ

Ｔ＝１

Ｒ＝０

２方势垒贯穿问题

２．１

方势垒

Ｖｏ

斟２

一般势垒的Ｖ随ｘ缓慢变化，而方势垒中各个区域的Ｖ是常量，如图２所示，因此Ｐ和ｌＰ１分别可表

示为

Ｐ一√２ｍＥ

（１８）ｐ－－－－ｉ

ｌＰＩ—ｉ√２ｍ（Ｖｏ－－Ｅ）

（１９）

ｐ—ｌＩ：＃２ｍ（Ｖｏ－－Ｅ）。ｄｘ：＃—２—ｍ１（Ｖ－ｏ－－一Ｅ）ａ

（２０）

２００７年第１期李根小等用ＷＫＢ方法讨论透射系数和反射系数

３７

则反射系数Ｒ和透射系数Ｔ为

由于一般势垒中Ｖ（ｘ）随Ｘ缓慢变化，因此一般‘。。。●●●●。●＿。●－●●。＿。。。。＿●。。。。。。。。。。。。。。。。。一

势垒贯穿的穿透系数可用ＷＫＢ近似方法计算。本

Ｒ一１－－ｅｘｐｆ～２√２ｍ（Ｖ。－－Ｅ）ａ

———１■一

（２１）

文用ＷＫＢ近似方法讨论了势垒贯穿问题。在一般。。。－●＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＇＿＿。＿＇＿＿。。。。。●。。。。。＿。。。＿——势垒贯穿中Ｔ＋Ｒ一１，当ｈ—ｏ时，Ｔ一０

Ｒ一１（Ｖ、

Ｔ＝ｅｘｐ

一———百—一

２√２ｍ（Ｖｏ－－Ｅ）ａ

（２２）

Ｅ），在经典不允许区内入射粒子出现全反射现象；

故Ｔ＋Ｒ一１。

当Ｖ一∞时，Ｔ＝０

Ｒ一１，当Ｖ—ｏ时，Ｔ＝１

Ｒ一０

方势垒中Ｔ和Ｒ之和为１，与一般势垒不同的是

入射粒子全部透射出去；当ａ一。。时，Ｔ＝ｏＲ一１；

在一般势垒中ｐ为变量而方势垒中是常量。从以上当ａ—ｏ时，Ｔ一１Ｒ—ｏ。在方势垒中恒等式Ｔ＋Ｒ

结论中看出任意势垒贯穿中Ｔ和Ｒ之和恒等于１。

＝１同样成立，而且ｈ—ｏ时Ｅ＞Ｖ。时，Ｔ＝１Ｒ一０。

２．２

ｈ一０时

当Ｅ＜Ｖｏ时，Ｔ＝０

Ｒ＝１，当Ｖｏ－－＋ＯＯ时，Ｔ＝０

Ｒ＝一厂———————一

１；当Ｖｏ—ｏ时，Ｔ一１

Ｒ一０，当ａ—ｏ。时，Ｔ一０

Ｒ

Ａ）当Ｖ。＞Ｅ时，ｐ＝｝√２ｍ（Ｖｏ－Ｅ）一ｏｏ

ｅ＿２８一

一１；当ａ—ｏ时，Ｔ＿－－１Ｒ一０。从以上讨论得知不论

Ｏ］

势垒形状如何其透射和反射系数之和恒等于１。势垒Ｔ一０

Ｒ一１

贯穿系数Ｔ随势垒变宽或变高而减小。在经典情况势垒高于粒子能量时，没有粒子能通过势垒。下，粒子能量大于势垒高度时粒子全部透射过去，反Ｂ）当Ｖ。ｄＥ时，连接公式不成立。

之出现全反射现象。在量子情况下，不论粒子能量大２．３

Ｖ。的极限情况于或小于势垒高度总会有一部分粒子透射过去而有

Ａ）当Ｖ。一∞时，ｐ—，∞

Ｔ一０

Ｒ＝１

一部分反射回来，体现了经典与量子之差异。

。●。－＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿●＿＿＿。＿＿。。。＿－。＿●＿＿－＿●●＿－＿＿＿——

Ｂ）当Ｖ。一。时，ｘ／２ｍ（Ｖ。－－Ｅ）ａ是二阶小量，在撰写本文时，内蒙古师范大学物理系老师们ｈ为一阶小量，可认为Ｂ—ｏＴ一１

Ｒ一０

给于大力支持和帮助，在此表示最诚挚的谢意。

２．４势垒高度ａ的极限情况

Ａ）当ａ一。。时，ｐ＝型垒丛竽一∞

参考文献

●。。。。。。。。●＿＿＿＿＿＿＿●＿＿－●。。●－。。。。。。。。。。。’。‘——

Ｔ—ｏ

［１］高等量子力学．内蒙古大学自编教材，１７～１８．

［２］

周世勋．量子力学基础．高等教育出版社，１９９６．４Ｒ一１

４４—５０。

Ｂ）当ａ—Ｏ时，ｅ－２ｐ一１

Ｔ一１Ｒ一０

［３］

关洪．量子力学基础．高等教育出版社，１９９９．６４１—

从以上讨论得知势垒穿透系数Ｔ随势垒高度的

４４．

增高而减小，随垒高变低而增大；随ａ的加宽而减

［４］曾谨言．量子力学．科学出版社，１９８１．７７４—７９．小，反之增大。［５］

胡诗可，吴邦惠，吕晓夫．高等量子力学．四ＪｌＩ大学出３结果与讨论

版社１９９０．１２２５９—２６８．

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎｏｆｔｈｅｐｅｎｅｔｒａｔｉｏｎａｎｄｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｗｉｔｈ

Ｗ．Ｋ．Ｂ

ｍｅｔｈｏｄ

ＬＩＧｅｎ—ｚｉａｏ，ＨＵｏＨａｉ—Ｙ口豫

（ＩｎｎｅｒＭｏｎｇｏｌｉａａｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙｈｕｈｈｏｔ０１００１８）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｐａｐｅｒｄｉｓｃｕｓｓｅｓ

ｔｈｅ

ｐｒｏｂｌｅｍｓａｂｏｕｔｂａｒｒｉｅｒｐｅｎｅｔｒａｔｉｏｎｗｉｔｈＷ。Ｋ．Ｂａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ

ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅｎｐｒｏｖｅｓｔｈａｔｔｈｅｓｕｍｏｆｔｈｅｐｅｎｅｔｒａｔｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔａｎｄｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔａｌｗａｙｓｍａｋｅ１ｉｎ

ｔｈｅ

ｃｏｕｒｓｅ

ｏｆｇｅｎｅｒａｌｂａｒｒｉｅｒｐｅｎｅｔｒａｔｉｏｎ，ｉｔｍｅａｎｓＴ＋Ｒ一１ｉｓｐｅｒｐｅｔｕａｌ．Ｏｎｔｈｉｓｂａｓｅ，ｗｅｔｅｓｔｉｆｉｅｄｔｈａｔ

ｔｈｅｌａｗｉｓｐｒｏｐｅｒｎｏｔｏｎｌｙｉｎｇｅｎｅｒａｌｂａｒｒｉｅｒｐｅｎｅｔｒａｔｉｏｎｂｕｔａｌｓｏｉｎｓｑｕａｒｅｂａｒｒｉｅｒｐｅｎｅｔｒａｔｉｏｎ．Ｆｉｎａｌｌｙｔａｌｋ

ｏｖｅｒ

ｓｏｍｅｌｉｍｉｔｉｎｇｃａｓｅ

ｏｆｂａｒｒｉｅｒｐｅｎｅｔｒａｔｉｏｎ，ｓｕｃｈ

ａｓ

ｗｈｅｎｈｔｅｎｄ

ｔｏ

ｚｅｒｏ，ｗｈｅｎＶｏｔｅｎｄ

ｔｏ

ｉｎｆｉｎｉｔｉｏｎａｎｄ

ｚｅｒｏ

ａｎｄｗｈｅｎ

ａ

ｔｅｎｄｔｏｉｎｆｉｎｉｔｉｏｎａｎｄｚｅｒｏ．ａｎｄａｎａｌｙｓｅｓＴａｎｄＲｉｎｔｈｉｓｓｐｅｃｉａｌｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｑｕａｓｉ—ｃｌａｓｓｉｃａｌａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ；ｇｅｎｅｒａｌｂａｒｒｉｅｒｐｅｎｅｔｒａｔｉｏｎ；ｐｅｎｅｔｒａｔｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ；ｒｅ—

ｆｌｅｃｔｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ；ｓｑｕａｒｅｂａｒｒｉｅｒｐｅｎｅｔｒａｔｉｏｎ．

万方数据

用WKB方法讨论透射系数和反射系数

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：

李根小， 霍海燕， LI Gen-xiao， HUO Hai-Yan

李根小,LI Gen-xiao(内蒙古农业大学理学院)， 霍海燕,HUO Hai-Yan(内蒙古民族高等专科学校)

内蒙古石油化工

INNER MONGOLIA PETROCHEMICAL INDUSTRY2007,33(1)

参考文献(5条)1. 高等量子力学

2. 周世勋 量子力学基础 19963. 关洪 量子力学基础 19994. 曾谨言 量子力学 1981

5. 胡诗可;吴邦惠;吕晓夫 高等量子力学 1990

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1. 贾春生. 邹霞 超对称WKB近似与一维无限深势阱[期刊论文]-光子学报2001,30(7)2. 林琼桂 若干二维问题的WKB近似能级[期刊论文]-大学物理2002,21(1)

3. 王薇. 马中凡. Wang Wei. Ma Zhongfan 超对称WKB近似简介[期刊论文]-首都师范大学学报（自然科学版）2005,26(4)

4. 谢志堃. Xie Zhikun 传输线方法求解平板介质的反射和透射系数[期刊论文]-绍兴文理学院学报（自然科学版）2001,21(10)

5. 毛凌锋. 卫建林. 穆甫臣. 谭长华. 许铭真 镜像势引起的势垒降低对超薄栅MOS结构的直接隧穿电流的影响[期刊论文]-半导体学报2001,22(8)

6. 张长命. 刘永智. 张晓霞. 甘小勇 反WKB方法的改进[期刊论文]-应用光学2004,25(4)

7. 谢长珍. 周胜海 求解量子力学中微扰问题的迭代变分法[期刊论文]-信阳师范学院学报(自然科学版)1998,11(1)8. 魏明. 吉世印. Wei Ming. Ji Shiyin 量子力学中近似法与递推及迭代计算[期刊论文]-哈尔滨师范大学自然科学学报2006,22(5)

9. 陈立锋. 马玉涛. 田立林 考虑量子力学效应的超薄栅氧nMOSFET's直接隧穿电流二维模型[期刊论文]-半导体学报2002,23(4)

10. 魏明. 吉世印. WEI Ming. JI Shi-yin 量子力学中近似法的递推及迭代计算[期刊论文]-沈阳师范大学学报（自然科学版）2007,25(1)

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