构造长方体巧解三视图问题_张夏强
第12期o 短文集锦o
构造长方体巧解三视图问题
张夏强 邱 云
(福建省闽清二中, 350811) (福建省宁化一中, 365400)
G #波利亚在5怎样解题6中说:/画一个假设图形, 假设它的各个部分都满足题目条件, 也许是迈出解题的重要一步. 05普通高中数学课程标准(实验) 6指出:/人们通常采用直观感知、操作确认、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质. 0操作确认、图形变形来认识图形越来越引起专家与老师们的重视, 改变后的图形更揭示问题本质, 并且能把条件集中起来, 从而使问题得到解决.
长方体是空间图形中特殊且内涵丰富的几何体, 采用构造长方体的方式去处理一些复杂的三视图问题, 往往能起到化难为易、化繁为简的效果.
例1 (2008年广东高考题) 将正三棱柱截去三个角(如图1所示, A, B, C 分别是&GH I 三边的中点) 得到几何体如图2, 则该几何体按图1所示方向的侧视图(或称左视图) 为(
)
的长方体中, 以长方体的右侧面为投影面, 点A, B, E, F 的投影点分别为A c , B c , D, F c , 所以图2的侧视图为直角梯形, 选A
.
评注 本题考查同学们是否领会了三视图的定义与内涵, 在解决三视图问题中, 我们可以考虑从空间几何体的整体入手, 以某些特殊的几何体为载体, 构造相应的空间图形, 直观认识和理解空间图形的三视图. 由此可见, 以长方体为载体, 可以使一些立体几何问题顺利地得到解决, 并使人有寓娱乐于解题之中的美感.
例2 (2008年海南、宁夏高考题) 某几何体, 在该几何体的正视图中, 这条7
的线段, 在该几何体的侧视图与俯视图中, 这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段, 则a +b 的最大值为( )
(A ) 2 (B) 2 (C) 4 (D ) 2解 以为对角线长构造长方体, 如图4所示, 设长方体的长、宽、高分别为m, n, k , 借助长方体的对角线在三个面的投影可得
+n +k =+k =
(下转第44页)
解 如图3所示, 将图1镶嵌在一个相应
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高中数学教与学2008年
解 因为开语句p 的真值集为{-1, 2},开语句q 的真值集为{2},所以命题P x (x+2=x y P x (
2
4p (x);
q (x) y p (x) =4p (x ) y 4q(x). 必须注意, /若p (x ), 则q (x) 0的四种形式都是全称命题, 只不过在表述时都省略了全称量词. 因此如果要写出命题/若p (x ) 则q (x) 0的否定, 就必须把全称量词添上, 然后再加上否定, 即有
4P x (p(x ) y q (x) ) =v x (4(p(x ) y q (x) ) =v x (p (x) C 4q(x ) ) (注:命题p y q 的否定是p C 4q ).
例4 写出命题/若x
解 2) (真)
逆命题:P x (若x
注意, 在用语言表述时, 前四种命题的全称量词可以省略, 但原命题的否定中的存在量词不可省.
2
2
2
2
2
=x ) 是假命题, 而命题
2
=x y x +2=x ) 是真命题, 所
以, p 是q 的必要条件.
注 必须注意, 例3与例1不一样. 尽管p, q 不是命题, 但问题最终是判别由这两个开语句构成的命题P x (x+2=x y x ), P x (
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=
=x y x +2=x ) 的真假性.
我们知道, 具有/若p 则q 0形式的命题有四种不同的形式. 同样, 把命题/若p (x ), 则q(x ) 0中的p (x ) 、q(x) 换位换质, 也可以得到其它几种命题形式:
原命题p (x) y q(x ):它是真命题当且仅当A A B ;
逆命题q (x) y p (x ):它是真命题当且仅当B A A;
否命题4p (x) y 4q(x ):它是真命题当且仅当U A A U B;
逆否命题4q (x) y 4p (x ):它是真命题当且仅当U B A U A.
由于A A B Z U B A U A; B A A Z U A A U B, 所以, 有
结论5 p (x) y
q(x ) =
4q (x) y
原命题:P x (若x
2
2) (假), 即/存在大于2的数, 其平方却小40,
(上接第45页)
解得 n =1, 2
2
1+k =a , 1+m =b .
从而(a -1) +(b -1) =6, 即
a +b =8.
又^(a +b) =a +2ab +b 号, 选C .
评注 本题出现在选择压轴题的位置, 难度大, 其创新之处在于巧妙建立数学模型, 将三视图与不等式交融, 综合考查同学们空
间想象和分析、解决问题的能力. 通过/补形转换0, 使抽象、复杂的几何问题变得直观、明了. 为此, 教师应增强学生对空间几何体三视
2
2
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=8+2ab [8+a +b =16,
图的认识与理解, 提高数学建模能力.
构造法是数学的一种重要思想方法, 通过构造图形、构造函数、构造方程等来解决问题, 常常使一些难以解决的问题迎刃而解, 其丰富的内涵对培养与发展学生的创新思维能力、分析判断能力、解题能力极为有用. 因此, 中学数学教学中加强灵活运用构造法的指导和训练是培养学生创造能力的一条有效途径.
_a +b [4, 当且仅当a =b =2时取等