柯西准则及其应用 毕业论文
柯西准则及其应用
摘 要：柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础．它的应用贯穿于数学分析课程学习始终．一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就x →x 0一种情形来讨论，本文将补给并详细证明其它五种情形函数极限的柯西准则，同时探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方面的灵活应用．
关键词：柯西准则；应用；极限存在；优越性
引言：柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础．它的应用非常广泛，贯穿于数学分析课程学习始终．一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就x →x 0一种情形来讨论，即
设函数f (x ) 在U 0(x 0; δ') 内有定义，lim f (x 0) 存在的充要条件是：任给ε>0，存在正数
x →x 0
δ(
+-
事实上，当x →x 0，x →x 0，x →+∞，x →-∞，x →∞五种情形函数极限存在的柯西
准则可以类比，它们的应用也非常广泛．本文将详细叙述并证明其它五种情形函数极限的柯西准则，同时探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方面的灵活应用，充分展示其在解决上述几个方面问题的优越性和博大精深之处．
1 柯西准则的其它五种形式
定理1.1 设函数f 在U 0+(x 0; δ') 内有定义．lim f (x 0) 存在的充要条件是：任给ε>0，存
x →x 0+
在正数δ(
证 必要性 设lim f (x ) =A ，则对任给的ε>0，存在正数δ(
+
x →x 0
∀x ∈U 0+(x ) 有f (x ) -A
ε
2
．于是对∀x '，有 x ''∈U 0+(x 0; δ) ，
=ε．
22
充分性 设数列{x n }⊂U +(x 0; δ) 且lim x n =x 0，按假设，对任给的ε>0，存在正数δ(
+
n →∞
f (x ') -f (x '') ≤f (x ') -A +f (x '') -A
εε
使得对任何x '，x ''∈U 0+(x 0; δ) ，有f (x ') -f (x '')
由于x n →x 0(n →∞) ，对上述的δ>0，存在N >0，使得当n ，m >N 时有x n ，x m ∈U 0+(x 0; δ)
从而有
f (x n ) -f (x m )
于是，按数列极限的柯西收敛准则，数列{f (x n ) }的极限存在，记为A ，即lim f (x n ) =A ．
n →∞
设另一数列{y n }⊂U 0+(x 0; δ') 且lim y n =x 0，则如上所证，lim f (y n ) 存在，记为B ．现证
n →∞
n →∞
B =A ，为此，考虑数列
{z n }：x 1, y 1, x 2, y 2,
n →∞
, x n , y n ,
易见{z n }⊂U 0+(x 0; δ') 且lim z n =x 0，故仍如上面所证，{f (z n ) }也收敛．于是，作为{f (z n ) }的两个子列，{f (x n ) }与{f (y n ) }必有相同的极限，所以由归结原则推得lim f (x ) =A ．
+
x →x 0
证毕
定理1.2 设函数f 在U 0-(x 0; δ') 内有定义．lim f (x 0) 存在的充要条件是：任给ε>0，
-
x →x 0
存在正数δ(
以下利用定理1.2和致密性定理证明数列极限的柯西准则的充分性．
证 充分性 设数列{a n }满足柯西条件，先证明{a n }是有界的．为此，取ε=1，则存 正整数N ，当m =N +1及n >N 时有
a n -a m
由此得
a n =a n -a N +1+a N +1≤a n -a N +1+a N +1
令
M =max {a 1a 2，，a N ，a N +1+1}．
则对一切正整数n 均有a n ≤M ．
于是，由致密性定理可知，有界数列{a n }必有收敛子列a n k ，设lim a n k =A ．对任给的
k →∞
{}
ε>0，存在K >0，当m ，n ，k >K 时，同时有
a n -a m
ε
2
(由柯西条件) ， （由lim a n k =A ）．
k →∞
ε
2
因而当取m =n k (≥k >K ) 时，得到
a n -A ≤a n -a n k +a n k -A
ε
2
+
ε
2
=ε．
这就证明了lim a n =A ．
n →∞
有归结原则：lim -f (x ) =A ⇔对任何x n →x 0(n →∞) 有lim f (x n ) =A ．
x →x 0
n →∞
充分性即证．
必要性 设lim a n =A ．有数列极限定义，对任给的ε>0，存在N >0
n →∞
当m ，n >N 时有
a m -A
22
εε
因而
a m -a n ≤a m -A +a n -A
ε
2
+
ε
2
=ε．
由归结原理知，即可证得．
证毕
注 归结原则的意义在于实现函数极限和数列极限的相互转化，从而可以应用归结原则和数列极限的有关性质解决函数极限问题．
定理1.3 充分大的M >0，设函数f 在U (+∞) 内有定义．lim f (x ) 存在的充要条件是：
x →+∞
任给ε>0，存在正数M 1(>M ) ，使得对任何x '>M 1，x ''>M 1，均有f (x ') -f (x '')
证 先证必要性．设lim f (x ) =A ，按照定义，∀ε>0，∃M 1>0，M 1>M ，∀x '，x ''>M 1
x →+∞
f (x ') -A
ε
ε
，f (x '') -A
于是
f (x ') -f (x '') ≤f (x ') -A +f (x '') -A
再证充分性．设∀ε>0，∃M 1>0，M 1>M ，∀x '，x ''>M 1
f (x ') -f (x '')
任意选取数列{x n }，lim x n =+∞．则对上述M 1>0，∃N >0，∀n ，m >N ，x n ，x m >M 1．有
n →∞
f (x n ) -f x (m
x →+∞
这说明函数值数列{f (x n ) }是基本数列，因而必定收敛．根据相应的归结原则，可知lim f (x ) 存在而且有极限．
注 上述证明过程中用到了基本数列，下面介绍基本数列的定义 如果数列{x n }具有以下特征：∀ε>0，∃N >0，∀n ，m >N
x n -x m
则称数列是一个基本数列．
定理1.4 充分大的M >0，设函数f 在U (-∞) 内有定义．lim f (x ) 存在的充要条件是：
x →-∞
任给ε>0，存在正数M 1(>M ) ，使得对任何x '
证 必要性 设lim f (x ) =A ，则对任给的ε>0，存在正数M 1(>M ) ，使得对任何x
x →-∞
有f (x ) -A
于是对任何x '，x ''
ε
2
．
f (x ') -f (x '') ≤f (x ') -A +f (x '') -A
n →∞
ε
2
+
ε
2
=ε．
充分性 设数列{x n }⊂(-∞, -M 1]且lim x n =-∞．按假设，对任给的ε>0，存在正数
M 1(>M ) ，使得对任何x '，x ''
f (x ') -f (x '')
由于x n →-∞(n →∞) ，对上述的M 1>0，存在N >0使得当n ，m >N 时有x n ，x m
f (x n ) -f (x m )
于是，按数列的柯西收敛准则，数列{f (x n ) }的极限存在，记为A ，即
lim f (x n ) =A ．
n →∞
设另一数列{y n }⊂(-∞, -M ]且lim y n =-∞，则如上所证，lim f (y n ) 存在，记为B ．现证B =A ，
n →∞
n →∞
为此，考虑数列
{z n }：x 1, y 1, x 2, y 2,
n →∞
, x n , y n ,
易见{z n }⊂(-∞, -M ]且lim z n =-∞，故仍如上面所证，lim f (z n ) 也收敛．于是，作为
n →∞
f (x ) =A ． {f (z n ) }的两个子列，{f (x n ) }与{f (y n ) }必有相同的极限，所以由归结原则推得x lim
→-∞
定理1.5 充分大的M >0，设函数f 在U (∞) 内有定义．lim f (x ) 存在的充要条件是：任
x →∞
给ε>0，存在正数M 1(>M ) ，使得对任何x 'x ''>M 1，均有f (x ') -f (x '')
定理1.5的证明可以类似前面4个定理的证明． 2 归纳柯西准则在数学分析中的应用． 2.1柯西准则在实数完备性理论中的应用
实数完备性是数学分析的基础，其六大定理即确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西准则，建立了实数完备性理论的骨架．作为六大定理之一的柯西准则，起着至关重要的作用，由该准则入手，可依次推出其它五个定理．
2.1.1 用数列的柯西收敛准则证明确界原理．
证 设S 为非空有上界数集．由实数的阿基米德性，对任何正数α，存在整数κα，使得 λα=καα为S 的上界，而λα-α=(κα-1) α不是S 的上界，即存在α'∈S ，使得α'>(κα-1) α．
1
2，，分别取α=，n =1，则对每一个正整数n ，存在相应的λn ，使得λn 为S 的上界，而
n
1
λn -不是S 的上界，故存在a '∈S ，使得
n
1
a '>λn -． （1）
n
11
又对正整数m ，故有λm ≥a '．结合（1）式得λn -λm
n m
而得
于是，对任给的ε>0，存在N >0，使得当m ，n >N 时有
λm -λn
11m n
λm -λn
由柯西收敛准则，数列{λn }收敛．记
lim λn =λ． （2）
n →∞
现在证明λ就是S 的上确界．首先，对任何a ∈S 和正整数n 有a ≤λn ，由(2)式得a ≤λ，即λ是S 的一个上界．其次，对任何δ>0，由
1
→0(n →∞) 及(2)式，对充分大的n 同时有 n
1δδλ-． n 22
11
又因λn -不是S 的上界，故存在a '∈S ，使得a '>λn -．结合上式得
n n
δδ
a '>λ--=λ-δ．
22
这说明λ为S 的上确界．
同理可证：若S 为非空有下界数集，则必存在下确界． 2.1.2 用平面点列收敛的柯西准则证明闭区间套定理
证 在闭域套{D n }的每一个闭域D n 内任取一点P n ，构成一个各点各不相同的平面点列
{P n }，则对一切自然数P ，由于D n +p ⊂D n ，以P n , P n +p ∈D n ,0
因此lim ρ(p n , p n +p ) =0．由定义任给ε>0，存在正整数N ，使得当n >N 时，对一切自然数P ，
n →∞
都有ρ(p n , p n +p )
n →∞
现证P 为此任意取定n ，则因为对一切自然数p =1，都有2，，，2，，0∈D n ，n =1
P n +p ∈D n D ，=l i m P P 0是D n 的聚点，而闭域D n 必为闭集，所以它的聚点+⊂p n 0P +，由定义知n p
p →∞
P ，2，，0∈D n ，n =1
2，，最后证明P 0的唯一性，若还有P 0'∈D n ，n =1，则由于0≤ρ(P ．(n →∞) ，n , P n +1) ≤d n →0
所以ρ(P 0', P 0) =0，P 0'=P 0．
2.2 柯西准则是极限论的基础，许多敛散性判别法都由它导出． 2.2.1 柯西准则在数列收敛性判定中的应用
数列{a n }收敛⇔∀ε>0，∃N ∈N '，∀m ，n >N 有a m -a n 0，∀N ∈N '，∃m '，n '>N ，使得a m '-a n '≥ε0．
例1 应用柯西收敛准则，证明数列{a n }收敛
a n =1+
11++2232
+1 n 2
⎡2⎤
证 对∀ε>0，取N =⎢⎥，则对∀n ≥m >N ，有
⎣ε⎦
a n -a m =
11
++22
(m +1) (m +2)
+
1 2n
+
1121
=-
(n -1) n m n m
≤
11
++
m (m +1) (m +1)(m +2)
而由m >
2
ε
知
2
2.2.2 柯西准则在函数极限存在性判定中的应用
x →x 0
lim f (x 0) 不存在的充要条件是：∃ε0>0，对∀δ>0，都存在x '，x ''∈U (x 0; δ) ，使得
f (x ') -f (x '') ≥ε0． 例2 证明极限lim sin
x →0
1
不存在． x
1
证 可取ε0=1，对任何δ>0，设正整数n >
δ
，令
x '=
11
，x ''=．n πn π+2
则有x '，x ''∈U 0(0;δ) ，而sin
111
-sin =1=ε0．于是按照柯西准则，极限lim sin 不存在．
x →0x x 'x ''
2.2.3 柯西准则在无穷积分与瑕积分收敛性判定中的应用 因为无穷积分⎰
x →+∞
+∞
a
f (x ) dx 的敛散性是由变上限函数lim ⎰f (t ) dt 存在与否确定的．因此，
t →+∞a +∞
t
可由函数极限lim f (x ) 存在的柯西准则导出无穷积分⎰f (x ) dx 收敛的柯西准则：
a
无穷积分⎰
+∞a
f (x ) dx 收敛⇔∀ε>0，∃G ≥a ，∀u 1，u 2>G 有
⎰
t →t 0
u 2
u 1
f (x ) dx
b a
同理，由函数极限lim f (x ) 存在的柯西准则可直接推出瑕积分⎰f (x ) dx （a 为瑕点）收敛的柯西准则：
瑕积分⎰f (x ) dx （a 为瑕点）收敛⇔∀ε>0，∃δ>0，∀u 1，u 2∈(a , a +δ)有
a b
⎰
其中C 为一常数．试证：lim f (x ) =0．
x →+∞
u 2
u 1
f (x ) dx
+∞
例3 设f (x ) 在[0, +∞)上连续可微，并且⎰
f 2(x ) dx 0时) ，
证 （反证）假设lim f (x ) ≠0，则∃ε0>0，使对∀G >0，总有x A >
G f (x A )
x →+∞
因为f (x ) 在[0, +∞)上连续可微，f '(x ) ≤c ．故f 在[0, +∞)上一致连续，于是∃δ>0，使当x '，x ''∈[0, +∞)x '-x ''
f (x ') -f (x '')
又因⎰
+∞
x 2
f 2(x ) dx 收敛，故∃M >0时，当x 1，x 2>M 时，⎰f 2(x ) dx
x 1
ε0δ
，
2
对该M ，存在x 0，故(x 0-δ, x 0+δ) ⊂(M , +∞
) ，f (x 0) ≥
当x ∈(x 0-δ, x 0+δ) 时
f (x ) -f (0x
f (x ) =f (x ) -f (x 0) +f (x 0) ≥f (x 0) -f (x ) -f (x 0) ≥∴f 2(x ) ≥
x →+∞
=
ε0
4
． ∴
⎰
x 0+δ
x 0-δ
f 2(x ) dx ≥
ε0
4
⋅2δ=
ε0δ
2
矛盾．
∴lim f (x ) =0．
2.2.4 柯西准则在级数收敛性判定中的应用
⎧n ⎫
因为级数∑u n 的敛散性是由其前n 项和数列{S n }=⎨∑u k ⎬的敛散性确定的．所以，由
n =1⎩k =1⎭
{S n }收敛的柯西准则直接可得级数∑u n 收敛的柯西准则：
n =1
∞
∑u
n =1
∞
n
收敛⇔∀ε>0，∃N ∈N '，m >N ，∀p ∈N '有
u m +1+u m +2+
+u m +p
例4 级数
lim (a n +1+a n +2+
n →∞
∑a
n =1
∞
n
收敛的充要条件是：对任意的正整数序列r 1，r 2，，r n ，都有
+a n +r n ) =0．
∞
证 必要性 因为∑a n 收敛，所以对当∃N ∈N ', n >N 及∀p ∈N '有
n =1
a n +1+a n +2++a n +p
特别地a n +1+a n +2+所以lim (a n +1+a n +2+
n →+∞
+a n +r n ) =0．
充分性 用反证法．若∑a n 发散，则∃ε0>0，∀N >0，∃n >N 及自然数p ，使
n =1
∞
a n +1++a n +p ≥ε0．
特别N 1=1，∃n 1>1及自然数r 1使
a n 1+1+
+a n 1+r 1≥ε0．
N 2=max {n 1，2}，∃n 2>N 2，及自然数r 2，使
a n 1+1+
+a n 2+r ≥ε0．
这与lim (a n +1+a n +2+
n →+∞
+a n +r n ) =0矛盾．
所以级数∑a n 是收敛的．
n =1
∞
例5 应用级数收敛的柯西准则证明级数∑证 由于
u m +1+u m +2+
+u m +p
1
收敛． 2n
=
1
(m +1)
2
+
1
(m +2)
2
++
1
(m +p )
+
2
11
++
m m +1m +1m +2111
m m +p m
1
(m +p -1m +p =
⎡1⎤
因此，对任给ε>0，取N =⎢⎥，使当m >N 及对任意正整数p ，由上式就有
⎣ε⎦
u m +1+u m +2+
+u m +p
1
依级数收敛的柯西准则推得级数∑
1
是收敛的． n 2
2.2.5 柯西准则在函数列与函数项级数一致收敛性判定中的应用 由数列收敛的柯西准则易推得函数列{f n (x ) }一致收敛的柯西准则： 函数列{f n (x ) }在D 上一致收敛∀ε>0，∃N ∈N '，∀m ，n >N ，∀x ∈D 有
f m (x ) -f n (x )
又因为函数项级数∑
n =1
∞
⎧n ⎫
f n (x ) 的一致收敛性是由其部分和函数列{S n (x ) }=⎨∑f k (x ) ⎬的一
⎩k =1⎭
致收敛性确定的．所以，可用函数列一致收敛的柯西准则直接推出函数项级数一致收敛的柯西准则：
∑f
n =1
∞
n
当n >N 时，∀p ∈N '，∀x ∈D 有 (x ) 在D 上一致收敛⇔∀ε>0，∃N ∈N '，
u n +1(x ) +u n +2(x ) +
+u n +p (x )
进一步易推出判断函数项级数一致收敛常用的魏尔斯特拉斯判别法．
例6 证明：若对∀n ∈N '，∃a n >0，∀x ∈I ，有f n +1(x ) -f n (x ) ≤a n 且∑a n 收敛，则函数
n =1∞
列{f n (x ) }在区间上一致收敛．
'，∀x ∈，证 ∀n ，p ∈N I
f n +p (x ) -f n (x ) ≤f n +p (x ) -f n +p -1(x ) +
+f n +1(x ) -f n (x )
≤a n +p -1+
∞
+a n ．
因为∑a n 收敛，故有∀ε>0，∃N ∈N '，∀n >N ，∀p ∈N '
n =1
a n +p -1++a n
∀ε>0，∃N ∈N '，∀n >N ，∀p ∈N '，∀x ∈I 有
f n +p (x ) -f n (x ) ≤a n +p -1+
=a n +p -1+
+a n +a n
所以函数列{f n (x ) }在区间上一致收敛．
例7 设u n (x )(n =1,2, ) 是[a , b ]上的单调函数，证明：若∑u n (a ) 与∑u n (b ) 都绝对收敛，则∑u n (x ) 在[a , b ]上绝对且一致收敛．
证 因为∑u n (a ) 与∑u n (b ) 绝对收敛⇒对∀ε>0，∃N ∈N +，当n >N 时，对∀p ∈N +有
u n +1(a ) +u n +2(a ) +u n +1(b ) +u n +2(b ) +
+u n +p (a )
又因为u n (x )(n =1,2, ) 是[a , b ]上的单调函数，所以对∀x ∈[a , b ]．有u n (a ) ≤u n (x ) ≤u n (b ) 或u n (a ) ≥u n (x ) ≥u n (b ) ．
⇒u n +1(x ) +u n +2(x ) +⇒u n (x ≤m a {u n ) u n (，) }b =n ，，1 2++u n +p (x ) ≤(u n +1(a ) +u n +1(b ) ) +(u n +2(a ) +u n +2(b ) ) +
(u n +p (a ) +u n +p (b ) )
∴u n +1(x ) +u n +2(x ) ++u n +p (x )
由一致收敛的柯西准则可推出函数项级数∑u n (x ) 在[a , b ]上绝对且一致收敛．
柯西准则的优越性
柯西准则的优越性是显然的，在数学分析中，凡涉及到“收敛”与“一致收敛”概念都有内容相应的柯西收敛（或一致收敛）准则，其最大的优点是不需借助于数列（或函数）以外的任何信息，只依据各项的具体特点来解决相应的问题，使得看似复杂的问题变的简单易懂．它具有整齐完美的形式，充分体现了数学美，使得许多抽象的数学理论形象可见．在数学分析中有非常重要的理论价值，所以深刻理解柯西准则很重要．
参考文献
[1] 责任编辑高尚华，华东师范大学数学系，数学分析，高等教育出版社，2001年，第三版
[2] 崔万臣，谈柯西准则在数学分析中的作用，唐山师专学报，1993年，第21卷，第2期
[3] 王安斌、宾红华，用柯西准则证明几个相关命题，数学理论与应用，2004年，第24卷，第4期
[4] 陈祥平，对柯西准则教学的体会，济宁师专学报，1998年，第19卷，第6期
[5] 薛怀玉，R 上完备性定理的等价，咸阳师范专科学校学报（自然学版），1998年，第13卷，第6
期
[6] 钱吉林，数学分析题解精粹，湘北长江出版集团，2009年，第二版
[7] 刘玉链、傅沛仁，数学分析讲义，高等教育出版社，2003年，第三版
[8] 陈纪修、於崇华、金路，数学分析，高等教育出版社，2004年，第二版 2
Cauchy criterion and its application
Abstract: The Cauchy criterion is one of the six theorems which is about the completeness of real numbers. it is the foundation of the limit. Throughout the course of mathematical analysis, its application has always been. In general, During the curriculum materials of the mathematical analysis, when it discusses the Cauchy criterion, only a situation that x x 0is discussed. This article will supply proofs of the other five cases of the Cauchy criterion of the limits of function. At the same time, it will discuss and sum the flexibility application of Cauchy criterion in the limits, the series , Points and so on.
Keywords: Cauchy criterion; applications; limit exists; superiority