函数值域的求法
函数值域的求法
论文摘要:本篇论文通过对高中常见的函数值域求法的类型题,通过分析、
综合;从分析规律、探讨方法入手,总结出函数值域求法的八种方法,以求在实际应用中化繁为简、指导实践;提高学生的解题能力和解题水平。
关键词:值域 不等式 单调性 导数 判别式
函数是高中课程中的重中之重,更是一个难点。函数是其他知识的基础,所以掌握
好函数知识是学习其他有关知识的关键。刚接触函数定义的学生大多对此迷惑不解;函数定义域和值域问题有特别重要。函数定义域及其求法大多学生能够理解和掌握,但对于函数的值域及其求法,则很多学生觉得难度大不易掌握和熟练应用,而求函数值域类型习题更是高考的一个重点。所以,分析函数值域求法显得异常重要。下面对高中阶段求函数值域的方法总结.分析如下,以便更好地透彻理解函数值域。
一、配方法
对于求二次函数yax2bxc(a0)或可转化为形如
f(x)ag(x)bg(x)c(a0)的函数的值域(最值)一类问题,我们常常可以通过
2
配方法来进行求解。
例1 求二次函数yx24x2(x1,4)的值域。 解:函数的定义域为1,4,
yx24x2(x2)22,
从而函数为对称轴为x2的开口向下的二次函数,此函数定义域包含x=2在内
ymin424422,ymax2。 即函数的值域为2,2。
例2 已知函数f(x)cos2x2sinx2,x0,2,求函数f(x)的值域。 解: f(x)cos2x2sinx21sin2x2sinx2sin2x2sinx1 令tsinx,x0,2,t1,1,则
f(x)g(t)t22t1t1
fxming(t)ming(1)4,f(x)maxg(t)maxg(1)0 ,
2
即f(x)的值域为4,0。
这两个例子都可看做是二次函数在特定区间内的值域。事实上对于二次函数
4acb2
,2
yaxbxc(a0)来说,当a0时,函数值域为4a。当a0时,函数4acb2
,4a
。但对于多数习题来说,常让我们讨论一个二次函数在特定区值域为
间内的值域。
2fxaxbxca0在区间m,n内的值域。 例:讨论二次函数
2
b4acb2bfxaxx2a4a2a。 解析如下:当a>0时,配方得 对称轴为
b
m2a 当时,即区间在对称轴右侧。如图(1)
(1)
可得fx在区间m,n内为增函数,故fmaxxfn fminxfm 即函数值域为fm,fn
bn2a 当时,即区间在对称轴左侧。如图(2)
(2)
可知此时fx在区间m,n内为减函数,故
fmaxxfm fminxfn 即函数值域为fn,fm
m
b
n2a时。即区间包含对称轴在内,如图(3)
当
(3)
bb4acb2
mnfminx
2a2a时,fmaxfm 4a (i)若 由图分析知
4acb2
,fm
4a 即函数值域为
4acb2bb,fnmn
4afxfn2a2a。 (ii)若时,有max,即函数值域为
同理,当a0时,用相同方法,即可推理得到二次函数此时的值域,各种情况刚好相反。
二、不等式法
利用基本不等式来求函数的值域的方法。即有些函数的值域可由一些常见不等式求的。
常见的不等式有:
①x20,x
00;
a2b2
②ab2ab或ab(a、bR);
2
2
2
a2b2c2
③abc3abc或abc(a、b、cR);
3
2
2
2
abab
④ab
或ab(a、bR); 22
22
abab⑤(a、bR);
22
2
2
abcabc
⑥abc
或abc(a、b、cR); 33
222
abcabc⑦(a、b、cR);
33
2
2
⑧(a12a22)b12b22a1b1a2b2(a1、a2、b1、b2R);
2
11
⑨(a12a22)224(a1、a2R且a1、a20);
aa2111
⑩(a1a2)4(a1、a2>0);
a1a2
当我们使用不等式法求函数的值域时,我们特别需要注意等号成立的条件及是否能取得“”。
x22x1
y
x21的值域。 例3 求函数
x22x1x212x2x
y1
x21x21x21 解:
2x
0y12
当x0时,x1
2x2
11x21xx2x2
x,x0 时,xx当x0时, x0时,
1
21
x
x
0
0
21xx
1
11x2x2
xx或
或
0y2且y1, 综合可得0y2,即函数值域为0,2。 x2x2
y
x22的值域。 例4 求函数
xxx2x2
y10222
x2x2 当x0时,x2解: y1
x1
22x22x2x22x22
x,x0时,xx当x0时, x0时
x
22
22x22xx或
2112
00
2244xxxx或
2222
1y11y1
y1444且,综合可得4
221,144。 即函数值域为
例5 求函数
x5x2f(x)
x1
(x1)的值域。
解:
x5x2x27x10(x1)25(x1)4f(x)
x1
x1
x1
4
5 x1
x1
当x10即x
1时,f(x)4即x1时取得59(当x1
x1
“”);
当x10即x
1时,f(x)“”);
f(x)的值域为,19,。
4即x3时取得51(当x1
x1例6
求函数y
解:
y
0,当且仅当x21x20即x0或x1时取得“”,此时函数有最
小值ymin0; 当且仅当x1
x
2
2
1x2(1x2)1y,即x此时函数有最大值ymax;
2221
函数的值域为0,。
2
由此可以看出:借助一些已知不等式可使某些求函数值域问题变得简便、快捷。
三、换元法
通过引入一个或多个新变量或代数式代替原来的变量或代数式或超越式,通过换元,我们常常可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式等,这样我们就能将比较复杂的函数转化成易于求值域的函数进行求解。 例7(整体换元) 已知x0,2,求函数f(x)4解:令t2x,x0,2,t2x1,4,则
f(x)4
x12
x
12
32x5的值域。
32x522x132x5
1x21
232x5t26t10 22
112
t3 22
1
; 2
故当t3即2x3也即xlog23时,f(x)有最小值f(x)minf(3)当t1即2x1也即x0时,f(x)有最大值f(x)maxf(0)
5。 2
15
函数f(x)的值域为,。
22
例8(整体换元)
求函数y3x
2t22
解:函数的定义与我为,,令tt0,x
55
2t211549
y3tt25t6t
555220
当t
517549也即x时,函数有最大值;函数无最小值。
202220
2
49
函数的值域为,。
20
所以:对于形如f(x)axba、b、c、d为常数,ac0)的函数,我们可以利用换元法求其值域。
例9(整体换元) 求函数ysinxcosxsinxcosx的值域。
2
t,且sinxcosx1, 解:令tsinx
cosx,则t2
t211212
ytt2t1t1
1
222
,
当t
即sinxcosx2k(kZ)时,函数有
t4
最大值ymax
12
11
2
1; 2
2k(kZ)时,函数有最小值ymin1。
当t1即sinxcos1也即x
2
1
函数f(x
)的值域为。
2
所以:当函数中sinxcosx和sinxcosx同时出现时,我们往往考虑对sinxcosx进行整体换元从而将函数的值域问题转化为二次函数的值域问题来求解。有些题目也可用整体换元法求解。
sin2x3sinx3y
2sinx例10(整体换元) 求函数的值域。
解:令t2sinx,那么1t3,sinx2t
2
2t32t31yt1
tt
对于函数
yt
1
t来说,在1,内单调递增。
所以,当t1,3时,函数是增函数。t1时,即sinx1时,ymin1
ymax
t3时,即sinx1时,
771,
3; 即函数值域为3
x
的值域。 2
例11(三角换元)
求函数y
解:注意到函数的定义域为1,1,我们不妨令xsin(,),则
22
1ysincos)(arctan2k,kZ)
2y
,即函数的值域为。
例12(三角换元)前面例六也可用三角换元法求值域。解析如下:
2
解:由1x0 得1x1, 令xcosR
则
ycossin
111sin20y22 2
10,
即函数值域为2。
所以:对于形如f(x)pxq
f(x)pxq
f(x)pxq函数也可用三角换元法求值域。
1x2y
1x2的值域。 例13(三角换元)求函数
1tan2
ycos2xtan()2
1tanxR22解:由于,令,则
2 1cos21 ,即1y1
函数值域为1,1。
四、单调性法
对于形如f(x)axba、b、c、d为常数,ac0)或者形如
f(x)g(x)
1
而使用不等式法求值域却未能凑效的函数,我们往往可以考虑使用g(x)
单调性法。
例14
求函数y2x3
解:函数的定义域为1,,显然函数在其定义域上是单调递增的,
当x1时,函数有最小值ymin1,故函数的值域为1,。
例15 求函数yx2x的值域。
11,,
2, 函数x和2x在2内都是减函数。 解:由12x0得定义域为
1111
,y2
2222 内是减函数。yx2x在
1
,2。 即函数值域为例16
求函数f(x)
2(xR)的值域。
解:f(x)
2,
若用不等式法,
那么等号成立的条件为即x23,显然这样的实数
不存在,那么我们就不能使用不等式法来求解了。
t(t2),则函数就转化为
11
yt,t2,,现在我们考查一下函数yt的单调性:
tt
函数在1,0、0,1上都单调递减;而在,1、1,上单调递增。
那么当t2,,函数是单调递增函数,故当t
22也即x0时, 函数有最小值f(x)minf(0)
yx26
55,函数f(x)的值域为,。 22
例17 求函数
1
x25的值域。
解:同样本题不能用不等式法,先进行换元:
1yt12
x5tt5t 该函数在内为增函数。故当t5时, 令 则
31131,ymin515。 55,函数值域为
五、判别式法
一般地,形如f(x)axb
、f(x)ax2bxc
的函数,我们可以将其转化为p(y)x2q(y)xr(y)0f(x)2
dxexf(p(y)0)的形式,再通过q(y)4p(y)r(y)0求得y的范围。但当函数为指定区间上的函数时,用判别式法求出y的范围后,应将端点值代回到原函数进行检验,避免发生错误。
例18
求函数yx
解:将函数变形为yx,两边平方并整理得:x221yx(y21)0
xR,0,即41y4y210,解得y1。
2
2
1
故当x0,,函数有最大值ymax1,函数的值域为,1。
25x28x5
例19 求函数y的值域。
x21
5x28x52
解:y可化为(y5)x8x(y5)0 2
x1
当y50即y5时,方程在实数范围内有唯一解x0;
当y50即y5时,xR,0,即
y50 2644y50
解得1y9,函数的值域为1,9
x2x1y2xx1的值域。 例20 求函数
x2x1y22xx1 得:y1xy1xy10 解:由
当y1时,x0 当y1时,y14y10 22
11,3y3y13解得3且 综上,函数值域为。
六、反函数法
当函数的反函数存在时,我们可以由原函数和反函数的定义域和值域的互换性通过求反函数的定义域来求得原函数的值域。一般地,当原函数的值域比较难求解而其反函数却较易获得的时候,我们常常用反函数法来求函数的值域。反函数法应用极为广泛,一些类指数函数、三角函数的值域皆可用此法求解。
1ax
例21 求函数f(x)的值域。 x1a
解:函数f(x)的反函数为f1(x)loga
所求函数的值域为1,1。
ycosx
2cosx1的值域。 1x1x0得1x1, ,由1x1x例22 求函数
y解:由1ycosxcosx12ycosxyy12y 2 2cosx1可得:
y211y222cosx13或y1 cosx1 即12y即3y4y10
1,1,3即函数值域为。
y1sinx
3cosx的值域。 例23 求函数
y解:由1sinx23cosx得sinxycosx3y1 y1sinx3y1
1
y2sinyy2sinx13y cos这里 ,y21 两边平方解得0y331sinx0,y4,故3cosx的值域为4。
七、数形结合法
通过联想,构造几何模型,以形助数,探求问题的简捷解法。对于形如f(x,y)yb
xa
的最值问题,我们一般可以转化为动直线的斜率问题;对于形如f(x,y)axbyc的最值问题,我们一般可以转化为动直线的截距问题;对于形如
f(x,y)xayb的最值问题,我们一般可以转化为动点到定点的距离问题。 22
例24 若x2y22x,求x2y2的值域。
解:x2y22x可化为x1y21,那么x2y2可以看作圆C:x1y21上的点与原点的距离。如图(4)
22
2(4) 可知,x1y21的点与原点的距离的最大值为2,
即点在A处;最小值为0,即经过原点。
故x2y2的最大值为2,最小值为0。值域为0,2。
例25 如上面例22也可用数形结合法求解。求解如下:
ycosx
112cosc,02,几何意义为点pcosx,cosx到2连线的一半;而解:
1x)pcosx,cosx在线段yx(x1,1且2上,画出图形:图(5)
tcosx
cosx(5) 2的取值范围时tkBC或tkAC 可知
kBCyByCyyC0112kACA2xBxC13xAxC122 11,1,yy133或从而 即函数值域为。
ylog23sinx3sinx的值域。 例26 求函数
3sinx
解:3sinx可理解为点psinx,sinx与点C3,3连线的斜率。如图(6)所示;
(6)
psinx,sinx在线段xy0x1,1上, t3sinx
3sinx满足kACtkBC, 则
而kAC31131kBC2312 31
1t2从而 2 , 1y1 。即函数值域为1,1。
有些函数也可用数形结合法求值域。
例27 求函数
解:yxx4的值域。 yxx4表示数轴上的点到表示实数1的点A与到表示实数4的点B的。因此ymin3, 距离的和。由于AB3
当数轴上的点位于A、B两点外侧时,y3。
函数值域为3,。
(7)
八、导数法
一般地,当函数较为复杂而使用其它方法未能奏效或无从入手时,我们往往可以使用导数法来进行求解。
例28 求函数f(x)
解:f(x)lnxlnxln(x1)的值域。 1x1lnx11lnx x(1x)(1x)2xx1(1x)2
1)时,f(x)0;当x1,时,f(x)0。 当x(0,
即f(x)在0,1上递增,在1,上递减。
当x1时,f(x)有最大值f(x)maxf(1)ln2,无最小值。
故函数的值域为,ln2。
1xe,44fxxlnxe的值域。 例29 求函数,
2144x1x1x1'3e,fx4x44exx上可导,且解:函数fxxlnx在
'f令x0,得x1或x1(舍去)
1fee44,fe44,f1144e 并且e4e41
444函数fxxlnx的值域为1,e4。
a2b2
fx,x1,1a0,b0x1x例30 求函数的值域。
a2b2b2x2a21xfx22222'222x1xx1xfx0bxa1x0。 解: 令 即2'
解得xaaa0xx1''fab;当ab时,fx0,当ab时,x0
a2afabxab处取得极小值。即:最小值为ab所以,函数f(x)在点,
由于x1时,f(x),函数无最大值。
所以,函数值域为ab,。 2
这八种方法30个例题几乎涵盖了高中阶段所有求函数值域的类型习题;并且有些例子也可以一题多法。若掌握了这几种方法,对于一般求函数值域类型题应该可以迎刃而解。但并不是所有函数的值域求解都可以利用这几种方法,有些较复杂的求函数值域问题需要几种方法共同解决,也有可能需要针对实际题目实际分析。
参考文献:
1.谢超论文集> 谢超 2008年7月
2.> 荣泉 宋文柱 人民日报出版社
2007年2月
中央广播电视大学人才培养模式改革和开放教育试点
数学与应用数学专业毕业论文