[正.余弦函数的周期性]教学设计
1.4.2正弦、余弦函数的性质(一)
课题: 正、余弦函数的周期性 课型:新授概念课 执教:高中数学科组
时间:2013学年上学期第三周星期四上午第一节 地点:高一5班课室
教学目标:知识与技能:要求学生能理解周期函数,周期和最小正周期的定义;
过程与方法:掌握正、余弦函数的周期,并能求简单函数的最小正周期。
情感态度价值观:让学生自己根据函数图像而导出周期性,领会从特殊到一般的数 学思想,体会三角函数图像所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣。
教学重点:正、余弦函数的周期性
教学难点:正、余弦函数周期性的理解与应用
教学过程一、复习引入:1.问题:(1)今天是星期一,则过了七天是星期几?过了十四天呢?
(2)老式挂钟,物理中的单摆、振动、时钟指针的转动,交流电的规律如何呢?
2.观察正(余)弦函数的图象总结规律:
y
– 1
ππ-π π-2π 5 π -5π O -
22
-1–
正弦函数f (x ) =sin x 性质如下:
(观察图象) 1、正弦函数的图象是有规律不断重复出现的;2、规律是:每隔2π重复出现一次(或者说每隔2k π,k ∈Z 重复出现)3、这个规律由诱导公式sin(2kπ+x)=sinx可以说明结论:象这样一种函数叫做周期函数。文字语言:正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得;
1
符号语言:当x 增加2k π(k ∈Z )时,总有f (x +2k π) =sin(x +2k π) =sin x =f (x ) 也即:(1)当自变量x 增加2k π时,正弦函数的值又重复出现; (2)对于定义域内的任意x ,sin(x +2k π) =sin x 恒成立。
余弦函数也具有同样的性质,这种性质我们就称之为周期性。
二、讲解新课:
1.周期函数定义:
对于函数f (x ) ,如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有:f (x +T)=f (x ) 那么函数f (x ) 就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期。
学生活动:1分钟阅读课本34页定义,划出关键词;讨论为什么强调这些?
说明:1、“每一个值”,即就是只要有一个反例,则f (x ) 就不为周期函数。
π2ππ
(36页课后练习第1题)对于函数y =sin x ,x ∈R 有sin(+) =sin ,能否说
636
2π
是它的周期? 3
2、周期的整数倍显然都是周期,如y=sinx,2π是周期,2k π(k ∈Z )如2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期,推理过程: f (x ) =f (x +T ) =f (x +2T ) = =f (x +kT ) 3、再熟悉一下,f (x +T) 对比f (x ) 表示什么含义?
指点:周期为T 还可理解为:f (x ) 平移T 个单位后的图像与原f (x ) 图重合
2、最小正周期
周期T 中最小的正数叫做f (x ) 的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期) y=sinx, y=cosx的最小正周期为2π (一般称为周期)
从图象上可以看出y =sin x ,x ∈R ;y =cos x ,x ∈R 的最小正周期为2π; (教师资料:不是所有的周期函数都有最小正周期,如f (x ) =c 没有最小正周期)
3、例题讲解
例1 求下列三角函数的周期:
1) y =3cos x 解:过程略,答案2π 2) y =sin 2x
解∵sin(2x +2π) =sin 2(x +π) =sin 2x ,
∴自变量x 只要并且至少要增加到x +π,函数y =sin 2x ,x ∈R 的值才能重复出现, 所以,函数y =sin 2x ,x ∈R 的周期是π. (对比讲解:待定系数法
2x +T ) =sin(2x +2T ) 设T 为周期则 f (x +T)= sin (
对比f (x)= sin2x可知,当2T=2π时,T=π为所求周期。)
2
1π
3) y =2sin(x -) ,x ∈R .
261π1π1π
解3)∵2sin(x -+2π) =2sin[(x +4π) -]=2sin(x -) ,
262626
1π
∴自变量x 只要并且至少要增加到x +4π,函数y =2sin(x -) ,x ∈R 的值才能
26
重复出现,
1π
所以,函数y =2sin(x -) ,x ∈R 的周期是4π.
26
归纳、思考:从上例的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些量有关?
2分钟阅读讨论课本36页材料,教师巡视指导
2π
A sin(ωx +ϕ) =A sin(ωx +ϕ+2π) =A sin((ωx +2π) +ϕ) =A sin(ω(x +) +ϕ)
ω
即:f (x ) =f (x +
2π
ω
) ,故y =A sin(ωx +ϕ) 的最小正周期为T =
2π |ω|
说明:一般结论:函数y =A sin(ωx +ϕ) 及函数y =A cos(ωx +ϕ) ,x ∈R (其中A , ω, ϕ
2π
为常数,且A ≠0,ω>0)的周期T =;
ω
三、巩固与练习
1、课本P36练习2
3
1)y =sin x ;x ∈R 2)y =cos 4x ; x ∈R
411π
3)y =cos x ; x ∈R 4)y =sin(x +) ;x ∈R
234
解答略(试让学生演示周期推导过程) 2、探索思考: 求下列函数的周期:
1)y=sin(2x+)+2cos(3x-π4
π4
π
) ; (x ∈R) . 6
解:1)y 1=sin(2x+) 最小正周期T 1=π
2ππ
y 2=2cos(3x-) 最小正周期 T 2=
36
∴T 为T 1 ,T2的最小公倍数(或可列出两个周期整数倍观察)2π ∴T=2π
2)y =|sinx | (x ∈R) . 解:2) 作出y =|sinx |的图象.由图象易知,y =|sin x |的周期为π.
π
变式:y =|sin2x |的周期?(对比y =sin2x 周期,指点周期变化规律)
2
3
3)定义域为R 上的函数f (x ) ,对任意x 都有f (x +2) =-f (x ) 说明什么?(也可变形为f (x +2) +f (x ) =0,增加难度)
解:3)因为f (x +2) =-f (x )
所以:f ((x +2) +2) =-f (x +2) =-(-f (x )) =f (x ) 即f (x +4) =f (x ) ,故f (x +2) =-f (x ) 说明T=4
四、小 结:本节课学习了以下内容:
1、周期函数的定义:f (x +T)=f (x )
2、函数y =A sin(ωx +ϕ) 及函数y =A cos(ωx +ϕ) ,x ∈R 的周期:T =
五、课后作业:《课时作业》P99
附:板书设计
正余弦函数的性质
一、周期性 例题2、略 1、sin(x +2k π) =sin x
2、f (x +T)=f (x )
二、结论 例题3、略
T =
2π |ω|
2π |ω|
高一数学备课组 2014年2月27日
4