函数的性质知识点
专题一 函数的性质
一、高中数学常用性质总结
1. x 1⋅x 2∈[a , b ], x 1≠x 2那么
(x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]>0⇔
(x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]
2. 函数的对称性
①函数y =f (x ) 的图象关于直x =f (x 1) -f (x 2) >0⇔f (x ) 在[a , b ]上是增函数; x 1-x 2f (x 1) -f (x 2)
函数y =f (x ) 的图象关于直线x =a 对称⇔f (a +x ) =f (a -x ) ⇔f (2a -x ) =f (x ) 。
函数y =f (x ) 的图象关于y 轴对称(奇函数)⇔f (-x ) =f (x ) 。
函数y =f (x +a ) 是偶函数⇔f (x ) 关于x =a 对称。
②函数y =f (x ) 的图象关于点(a , b ) 对称⇔f (x ) =2b -f (2a -x ) ⇔f (a +x ) +f (a -x ) =2b 特殊的有: 函数y =f (x ) 的图象关于点(a ,0) 对称⇔f (x ) =-f (2a -x ) 。
函数y =f (x ) 的图象关于原点对称(奇函数)⇔f (-x ) =-f (x ) 。
函数y =f (x +a ) 是奇函数⇔f (x ) 关于点(a , 0) 对称。
③若函数y=f (x)的图像有两条对称轴x=a和x=b(a不等于b), 那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期 若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m,n) 和一条对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期 若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称(a ≠b ),则y = f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期
④两个函数图象的对称性:
函数y =f (x ) 与函数y =f (-x ) 的图象关于直线x =0(即y 轴) 对称.
函数y =f (mx -a ) 与函数y =f (b -mx ) 的图象关于直线x =a +b 对称. 2m
特殊地: y =f (x -a ) 与函数y =f (a -x ) 的图象关于直线x =a 对称
函数y =f (x ) 的图象关于直线x =a 对称的解析式为y =f (2a -x )
函数y =f (x ) 的图象关于点(a ,0) 对称的解析式为y =-f (2a -x )
3.奇偶
①
奇函数±奇函数=奇函数, 偶函数±偶函数=偶函数,
奇函数×奇函数=偶函数, 偶函数×偶函数=偶函数,
奇函数×偶函数=奇函数.
②任意函数f (x ) 均可表示成一个奇函数g (x ) =1[f (x ) -f (-x ) ]与一个偶函数h (x ) =1[f (x ) +f (-x ) ]的和。 22③若f (ax +b ) 为偶函数,则必有f (ax +b ) =f (-ax +b )
若f (ax +b ) 是奇函数,则必有f (ax +b ) =-f (-ax +b )
④常见的奇偶函数
4.周期
结论1:如果f (x +a ) =f (x +b ) (a ≠b ),那么f (x ) 是周期函数,T =a -b
结论2:如果f (x +a ) =-f (x +b ) (a ≠b ),那么f (x ) 是周期函数,T =2a -b
结论3:如果定义在R 上的函数f (x ) 有两条对称轴x =a 、x =b 对称,那么f (x ) 是周期函数,T =2a -b 结论4:如果偶函数f (x ) 的图像关于直线x =a (a ≠0)对称,那么f (x ) 是周期函数, T =2a 结论5:如果奇函数f (x ) 的图像关于直线x =a (a ≠0)对称,那么f (x ) 是周期函数, T =4a
结论6:如果函数同时关于两点(a , c )、(b , c )(a ≠b )成中心对称,那么f (x ) 是周期函数, T =2a -b 结论7:如果奇函数f (x ) 关于点(a , c )(a ≠0)成中心对称,那么f (x ) 是周期函数, T =2a
结论8:如果函数f (x ) 的图像关于点(a , c )(a ≠0)成中心对称,且关于直线x =b (a ≠b )成轴对称,那么f (x ) 是周期函数, T =4a -b
结论9:如果f (x +p ) =
结论10:如果f (x +11或f (x +p ) =-,那么f (x ) 是周期函数, T =2p f (x ) f (x ) p 1+f (x ) p 1-f (x ) ) =或f (x +) =,那么f (x ) 是周期函数, T =2p 21-f (x ) 21+f (x )
结论11:如果f (x +p ) =-f (x ) ,那么f (x ) 是周期函数, T =2p