点.线.面之间的关系
数学复习专题
高二文科数学国庆作业
专题一:求柱体、锥体、台体、球的表面积、体积公式
1.将圆心角为1200,面积为3的扇形,作为圆锥的侧面,求圆锥的表面积和体积
2.已知圆台的上下底面半径分别是2,5,且侧面面积等于两底面面积之和, 求该圆台的母线长.
3.(如图)在底半径为2,母线长为4
求圆柱的表面积
4.如图,在四边形ABCD中,DAB900,ADC1350,
AB
5,CDAD2,求四边形ABCD绕AD旋转
一周所成几何体的表面积及体积.
专题二、三视图还原为直观图
1、下图(1)所示的圆锥的俯视图为()
图(1)
A B
C D
2、
S直观图
S原图形
3、一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等,这时圆柱、圆锥、球的体积之比为.
M
专题三、线面平行、面面平行
方法一:两平行线能确定一个平面,过已知直线的两个端点作两条平行线使它们与已知平面
相交,关键:找平行线,使得所作平面与已知平面的交线。
(08浙江卷)如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE//CF,BCF=CEF=90,AD=
,EF=2。求证:AE//平面DCF.
分析:过点E作EG//AD交FC于G, DG就是平面AEGD 与平面DCF的交线,那么只要证明AE//DG即可。
证明:
方法二:直线与直线外一点有且仅有一个平面,关键:找第三个点,使得所作平面与已知平面
的交线。
(06北京卷)如图,在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中,ABAC,PA平面ABCD,且PAAB,点E是PD的中点.求证:PB//平面AEC.
分析:由D、P、B三点的平面与已知平面AEC的交线最易找,第三个点选其它的点均不好找交线.
证明:
方法三:两个平面是平行, 其中一个平面内的直线和另一个平面平行,关键:作平行平面,使得过所证直线作与已知平面平行的平面
(08安徽卷)如图,在四棱锥OABCD中,底面ABCD四边长为1的菱形,ABC
4
,
OA底面ABCD, OA2,M为OA的中点,N为BC的中点,证明:直线MN‖平面OCD
分析:M为OA的中点,找OA(或AD)中点,再连线。 证明:
1、如下图(3),在四棱锥PABCD中,四边形ABCD是平行四边形,M,N分别是AB,PC的中点,求证:MN//平面PAD。 A
M
B
C
P
图(3)
例1、如图所示,已知P、Q是单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面A1B1BA和面ABCD的中心。 证明:PQ//平面BCC1B1
例2.如图所示,在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中,点E在PD上,且PE∶ED=
2∶1,在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?并证明你的结论.
例3.如图,已知正方形ABCD的边长是13,平面ABCD外一点P到正方形各顶点的距离都为13,M,N分别是PA,BD上的点,且PM:MABN:ND5:8, (1)求证:MN//平面PBC
; (2)求线段MN的长。
例4.如图,矩形ABCD和梯形BEFC有公共边BC,BE//CF,∠BCF=900,求证:AE//平面DCF
例5、如下图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、O分别是A1B、AC的中点.求证:OM∥平面BB1C1C.
例6.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q,且AP=DQ.
求证:PQ∥平面BCE.
例3.如图,已知正方形ABCD的边长是13,平面ABCD外一点P到正方形各顶点的距离都为13,M,N分别是PA,BD上的点,且PM:MABN:ND5:8, (1)求证:MN//平面PBC
; (2)求线段MN的长。
例4.如图,矩形ABCD和梯形BEFC有公共边BC,BE//CF,∠BCF=900,求证:AE//平面DCF
例5、如下图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、O分别是A1B、AC的中点.求证:OM∥平面BB1C1C.
例6.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q,且AP=DQ.
求证:PQ∥平面BCE.
例7、已知四棱锥P-ABCD的三视图如下.
(1)求四棱锥P-ABCD的体积;
(2)若E是侧棱PC的中点,求证:PA∥平面BDE;
(3)若E是侧棱PC上的动点,不论点E在何位置,是否都有BD⊥AE?证明你的结论.
例8、已知直三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等,且D,E,F分别为BC,BB1,AA1的中点. (I) 求证:平面B1FC//平面EAD; (II)求证:BC1平面EAD.
F
CA
D
B
例9、正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1中点.
(1) 求证:平面AMN∥平面EFDB;
(2) 求异面直线AM、BD所成角的余弦值.
例10.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?
A1
B1
C1
例11、如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是AB、BC的中点,G为DD1上一点,且D1G:GD1:2,ACBDO,求证:平面AGO//平面D1EF.
专题四、线面垂直、面面垂直
通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直
1如图1,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M为CC1的中点,AC交BD于点O,(Ⅰ)求证:AO平1
面MBD.(Ⅱ)求MA1BD的体积
练习1:如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD2AD
8,AB2DC
(Ⅰ)设M是PC上的一点,证明:平面MBD平面PAD; (Ⅱ)求四棱锥PABCD的体积.
P
M
D
A
C
B
练习2、已知ABCD是矩形,PA平面ABCD,AB2,PAAD4,E为BC的中点.
求证:DE平面PAE;
利用面面垂直寻求线面垂直
例2如图2,P是△ABC所在平面外的一点,且PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面PBC.求证:BC⊥平面PAC.
练习3 如图1所示,ABCD为正方形,SA⊥平面ABCD,过A且垂直于SC的平面分别交SB,SC,SD于E,F,G.求证:AESB,AGSD.
应用等腰(等边)三角形三线合一性质
所谓三线合一的性质是等腰三角形底边的中线同时是高和角分线,可以很轻松的得到线线垂直,从而为证明线面垂直做了很好的准备工作.
P例3:如图2所示,已知PA垂直于O所在平面,AB是O的直径,
C是O的圆周上异于A、B的任意一点,且PAAC,点E是线段PC的
中点.求证:AE平面PBC.
AB
图2 C 应用两条平行线的性质
大家知道两条平行线中如果有一条与一个面中的直线垂直,则两条平行线都与平面中的直线垂直. 在三角形中位线与底边平行,可以得到线线平行的关系,平行四边形对边平行也可以得到线线平行,这样的结论很多,我们可以欣赏体会这样的方法.
例3:如图3所示,P为△ABC所在平面外一点,BC平面PAB,G为PB的中点,M为PC的中点,N在AB上,AN3NB,求证:AB平面MNG. P
M
G
应用平面图形的几何性质
我们都发现在立体几何问题的解决中,平面图形的性质产生了很重要的地位,在学习立体几何的过程中,平面几何的诸多知识点不能推广到三维空间,但同学们要注意平面图形的性质在解决立体几何的时候会发挥很重要的作用.
例4:如图4所示,四边形ABCD是边长为1的菱形,点P是菱形ABCD所在平面外一点, ∠BCD60,E是CD的中点,PA平面ABCD,求证:BE⊥平面PAB.
P
D
AC
图4
4 如图2,在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD,
作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H.求证:AH⊥平面BCD.
5 如图3,AB是圆O的直径,C是圆周上一点,PA平面ABC.若AE⊥PC ,E为垂足,F是PB上任意一点,求证:平面AEF⊥平面PBC.
1
2.ABC—A′B′C′是正三棱柱,底面边长为a,D,E分别是BB′,CC′上的一点,BD=2a,EC=a.
(1)求证:平面ADE⊥平面ACC′A′; (2)求截面△ADE的面积.
1、S是△ABC所在平面外一点,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC.
A
B
2、在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD 证明:AB⊥平面VAD
C
C
B
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD, ∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)求证:CD⊥AE;(2)求证:PD⊥面ABE.
4、如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形。DAB60,AB2AD,PD 底面
ABCD ,证明:PABD
专题五、求异面直线、直线与平面所成的角 1、异面角的范围: 2、线面角的范围: 专题六、等体积法求高
1、(如图(5),在三棱锥ABCD中,O,E分别是BD,BC的中点,CACBCDBD
2,
ABAD
(1) 求证:AO平面BCD;
(2) 求异面直线AB与CD所成角的余弦值; (3) 求点E到平面ACD的距离。
A
O
B
E
C
图(5)
例3. (1991年全国高考题)已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在平面,且GC=2,求点B到平面EFG的距离。
例3.(茂名2010二模)如图,在底面是菱形的四棱锥S—ABCD中,SA=AB=2
,SBSD (1)证明:BD平面SAC;
(2)问:侧棱SD上是否存在点E,使得SB//平面ACE?请证明你的结论; (3)若BAD120,求几何体A—SBD的体积。
1、在棱长为a的正方体AC1中找出表示下列距离的垂线段:
直接法:
(1)点A到面BCC1B1的距离; (2)B1D1到面ABCD的距离; (3)点A到面BDD1B1的距离. (4)求C到平面BDC1的距离。
的中点,D为AC的8、圆锥PO如图5所示,图6是它的正(主)视图.已知圆O的直径为AB,C是AB
中点.
(1)求该圆锥的侧面积; (2)证明:AC平面POD; (3)求点O到平面PAC的距离.
P
A
C 图
5
B