人教版九年级数学下册课件
第二十六章 二次函数
26.1 二次函数及其图像 相关知识连接:
1. 函数的定义:一般地,设在某个变化过程中有两个变量x , y ,如果对x 在某一范围内的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与它对应,那么就说y 是x 的函数,x 叫自变量. 2. 3. 一次函数的定义:
形如y =kx +b (k 、b 为常数项,k ≠0)的函数叫做一次函数,当b=0时,函数关系式为
y =kx (k ≠0), 这个函数叫正比例函数. (它的图像是一条直线)
4. 反比例函数的定义:形如y =
k
(k 为常数项,k ≠0)的函数叫做反比例函数. (它的图像x
是双曲线).
知识点1 通过实例体会二次函数模型的应用,
知识点2 二次函数的定义
一般地,形如y =ax +bx +c (a , b , c 是常数,a ≠0)的函数叫做二次函数. 其中x 是自变量
2
a , b , c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. (a ≠0,b,c 可为0)
例1:若函数y =(m +m ) x
知识点3 二次函数y =ax (a ≠0) 的图像与性质
二次函数y =ax (a ≠0) 的图象是一条抛物线,它的对称轴是y 轴,顶点是原点 (0,0).
(1)二次函数图象的做法
(2)二次函数y =x 与y =-x 的图像和性质。如(P5表格)
例3:在同一直角坐标系中,画出函数y =
2
2
2
2
m 2-m
是二次函数,求m 的值.
2
12
x 和y =-2x 2的图像,并根据图象回答下列2
问题:
(1)说出这两个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(2)抛物线y =
12
x ,当x_______时,抛物线上的点都在x 轴上方;当x>0时,曲线自左2
2
向右逐渐_______;它的顶点是图象的最_______点.
(3)函数y =-2x ,对于一切x 的值,总有函数值y_______0,;当x
知识点4 二次函数y =ax +k (a , k 常数,a ≠0) 的图像与性质
二次函数y =ax +k (a ≠0) 的图像是一条抛物线,它的对称轴是y 轴,顶点坐标是(0,k ),它与y =ax 的图像形状相同,只是位置不同. 函数y =ax +k (a ≠0) 图像是由抛物线
2
2
2
2
y =ax 2向上(或向下)平移k 个单位得到的.
例4:在同一直角坐标系中,画出函数y =-x 和y =-x +1的图像,并根据图像回答下列问题:
(1)抛物线y =-x +1经过怎样的平移才能得到抛物线y =-x .
(2)函数y =-x +1,当x_______时,y 随x 的增大而减小;当x______时,函数y 有最大值,最大值是________;其图像与y 轴的交点坐标是________,与x 轴的交点坐标是____.
(3)试说出抛物线
知识点5 二次函数y =a (x -h ) (a , h 常数, a ≠0) 的图像与性质
二次函数y =a (x -h ) (a ≠0) 的图像是一条抛物线,它是对称轴是平行于y 轴或与y 轴重合的直线x=h,顶点坐标是(h,0),它与y =ax 的图像形状相同,位置不同,函数
2
2
2
2
2
2
2
2
y =
12
x -3
的开口方向、对称轴和顶点坐标. 2
y =a (x -h ) 2(a ≠0) 的图像是由抛物线y =ax 2向右(或左)平移h 的单位得到的.
画二次函数y =a (x -h ) (a ≠0) 的图像时,x 的取值一般为h 和h 左右两侧的值.
二次函数y =a (x -h ) (a ≠0) 与y =ax 的图像之间的关系如(P8表格)
2
2
2
例5:在同一直角坐标系中,画出函数y =-答下列问题: (1)抛物线y =-(2)函数y =-
121
x 与y =-(x -1) 2的图像,并根据图像回22
11
(x -1) 2可以看成将抛物线y =-x 2做怎样的平移得到的? 22
1
(x -1) 2的图像的对称轴是_________;当x__________时,曲线自左向右2
1
(x -1) 2,当x________时,y 随x 的增大而减小;当x_______时,y 有最2
上升;除顶点外,抛物线上的点都在________. (3)函数y =-
大值,最大值是_______.
知识点6 二次函数y =a (x -h ) +k (a , h , k 是常数,a ≠0)的图像与性质
二次函数y =a (x -h ) +k (a ≠0) 的图像是一条抛物线,它的对称轴是直线x =h ,顶点坐标为(h,k ),是由抛物线y =ax (a ≠0) 向右(左)平移h 个单位,再向上(下)平移k 个单位得到的.
例6:已知二次函数y =a (x -h ) +k (a ≠0) 是由抛物线y =-向右平移1个单位得到的抛物线. (1)求出a,h,k 的值.
(2)在同一直角坐标系中,画出y =a (x -h ) +k 与y =-
(3)观察y =a (x -h ) +k 的图像,当x________时,y 随x 的增大而增大;当x______时,函数y 有最______值,最_______值是y_________.
(4)观察y =a (x -h ) +k 的图像,你能说出对于一切x 的值,函数y 的取值范围吗?
知识点7 二次函数y =ax +bx +c (a ≠0) 的图像与性质(难点) ★二次函数y =ax +bx +c 的图像的画法:
2
222
2
22
2
2
12
x 向上平移2个单位,再2
12
x 的图像. 2
★一般式y =ax +bx +c (a ≠0) 与顶点式y =a (x -h ) +k (a ≠0) 的性质对照如下表所示 表格(P13)
★二次函数y =ax +bx +c 的图像特征与a,b,c ,b -4ac 的符号之间的关系. 表格(P14)
例7:画出函数y =
2
2
22
12
x -6x +21的图像,并说明这个函数有哪些性质,它是由抛物线 2
y =
12
x 怎样平移得到的? 2
知识点8 用待定系数法求二次函数解析式(选学) (1)一般式 (2)顶点式 (3)交点式
26.2 用函数观点看一元二次方程
知识点1 二次函数与一元二次方程的联系
2
函数y =ax +bx +c (a ≠0) ,当y =0时,得到一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠0) .
2
那么一元二次方程的根就是二次函数的图像与x 轴交点的横坐标,因此,二次函数图像与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
(1)当二次函数的图像与x 轴有两个交点时,b -4ac >0,方程有两个不相等的实数根; (2)当二次函数的图像与x 轴有且只有一个交点时,b -4ac =0方程有两个相等的实数根;
(3)当二次函数的图像与x 轴无交点时,b -4ac <0,方程无实数根. 综上(P38表格)
例1:画出函数y =x -2x -3的图像,根据图像回答下列问题: (1)图像与x 轴的交点坐标是什么?
(2)当x 取何值时y=0?这里x 的取值与方程x -2x-3=0有什么关系? (3)你能从中得到什么启示?
知识点2 图像法求解一元二次方程(难点)
方法1:利用找抛物线与x 轴的交点坐标的方法求一元二次方程ax +bx +c =0的解. (1)在平面直角坐标系中画出二次函数y =ax +bx +c 的图像; (2)观察图像,确定抛物线与x 轴的交点坐标;
(3)交点的横坐标即为一元二次方程ax +bx +c =0的解.
方法2:利用抛物线与直线交点坐标的方法求一元二次方程ax +bx +c =0的解. (1)在平面直角坐标系中画出函数y =ax 与y =-bx -c (或y =ax +bx 与
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y =-c 或y =x 2与y =-
b c x -a a 的图像;
2
(2)观察图像,确定抛物线与直线的交点坐标;
(3)交点的横坐标即为一元二次方程ax +bx +c =0的解.
例3:利用二次函数的图像求一元二次方程-x +2x -3=-8的实数根. (精确到0.1)
知识点3 二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)(P40表格)
26.3实际问题与二次函数
知识点1 利用二次函数求图形面积的最值问题
例1:已知矩形周长6,设矩形的一边长为x ,它的面积为y. (1)求出y 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围. (2)当x 为何值时矩形的面积最大?并求出最大值.
知识点2 利用二次函数求最大利润的问题
例2:某商品的进价为每件40元,当销价位每件60元时,每星期可卖出300件. 现需降价处理, 且经市场调查:每降价1元,每星期可多卖出20件. 在确保盈利的前提下,解答下列问题: (1)若设每件降价x 元,每星期售出商品的利润为y 元,请写出y 与x 的函数关系式,并求出自变量x 的取值范围.
(2)当降价多少元时,每星期的利润最大?最大利润是多少? (3)请画出上述函数的大致图像.
知识点3 利用二次函数解决抛物线形建筑物问题
例3:如图(P54,26-3-2)所示,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时,水面AB 的宽为20m ,如果水位上升,求此抛物线的关系.
知识点4 利用二次函数解决动点问题(难点)
2
第二十七章 相似
27.1图形的相似
知识点1 相似图形的定义
★定义:形状相同的图形叫做相似图形.
知识点2 比例线段
对于四条线段a,b,c,d ,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等,如
例3:(1)已知
a c
,我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段. =即(ad=bc)
b d
a c a ±b c ±d =,求证:=. b d d d
知识点3 相似多边形的特征
相似多边形的对应角相等,对应边的比相等. 相似多边形的对应边的比称为相似比.
例4:如图(P98 27-1-1) 所示的相似四边形,求未知边x,y 的长度和角α的大小.
知识点4 判断两个多边形相似(难点) 判断两个多边形相似,必须同时具备: (1)对应角相等;(2)对应边的比相等.
例5:下列多边形中,一定相似的是( )
A. 两个矩形 B. 两个菱形 C. 两个正方形 D. 两个平行四边形
例6:下列说法正确的是( )
A. 两个等腰三角形相似 B. 所有的等腰梯形相似 C. 两个等腰直角三角形相似 D. 所有的正多边形相似
例7:仔细观察下列图形(图27-1-2),看看四边形ABCD 与四边形A 'B 'C 'D '是否相似,如果相似,求它们的相似比;如果不相似,请说明理由.
27.2 相似三角形 知识点1 相似三角形
对应角相等,对应边的比相等的三角形叫做相似三角形,△ABC 和△DEF ,记作 △ABC ∽△DEF ,其中,我们把对应边的比叫做相似比.
归纳:(1)全等三角形是相似比为1的相似三角形,但相似三角形不一定是全等三角形.
例1:如图(P108 27-2-2)所示,已知△ABC ∽△ADE ,则∠ABC=∠ADE ,且 ∠A=______,∠ACB=_______,
AB
=________=_________. AD
例2:如图(P108 27-2-3)所示,已知△ABC ∽△ADE ,AD=8cm,BD=4cm,BC=15cm, EC=7cm.
(1)求DE 、AE 的长.
(2)你还发现哪些线段的比相等?
知识点2 平行线分线段成比例定理
(1)平行线分段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得对应线段的比相等. 如图(P109 27-2-4)所示
(2)平行线分线段成比例定理应用在三角形上的推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段的比相等.
例3:如图(P110 27-2-6)所示,在△ABC 中,点D,E 分别在AB,AC 边上,DE ∥BC ,若AD :AB=3:4,AE=6,则AC 等于______.
知识点3 相似三角形的判定定理
平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.
例4:如图(P110 27-2-8)所示,已知在
中,E 为AB 延长线上的一点,AB=3BE,DE 与BC 相交于点F ,请找出图中各对相似三角形,并求出相应的相似比.
知识点4 相似三角形的判定定理2
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么着两个三角形相似. 这种判断方法是常用的判定方法,也就是谁两个三角形只要三条对应边的比相等,就可判定这两个三角形相似. 如图(P111 27-2-9)所示
例5:一名学生做劳技作品,他把△ABC 各边中点连接得到的△DEF 涂色(如图27-2-10所示), 试问涂色的三角形与原三角形相似?为什么?
知识点5 相似三角形的判定定理3
如果两个三角形两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似. 如图(P112 27-2-11)所示
例6:如图(P112 27-2-12)所示,已知在正方形ABCD 中,P 是BC 上的一点,且BP=3PC,Q 是CD 的中点. 求证:△ADQ ∽△QCP.
知识点6 相似三角形的判定定理4
如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,如图(P112 27-2-13)所示
例7:如图(P112 27-2-14)所示,点D 在△ABC 的边AB 上,满足怎样的条件时,△ACD 与△ABC 相似?
例8:已知在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=10,BC=6,在Rt △EDF 中,∠F=90°,DF=3,EF=4,则△ABC 和△EDF 相似吗?为什么?
知识点7 相似三角形的应用(重点、难点) 本节知识应用主要包括:(1)利用相似三角形的性质测量不能直接到达的河的宽度; (2)利用相似三角形的性质计算不能直接测量的物体的高度.
例9:如图(P114 27-2-15)所示,要测量河两岸相对的两点A ,B 间的距离,从B 处与AB 成90°方向出发,向右走50m 到C 处立一根标杆,然后方向不变继续朝右走10m 到达D 处,在D 处顺时针旋转90°,沿该方向再走17m ,到达E 处,此时A (目标),C (标杆)与E 在同一直线上,求A,B 间的距离.
知识点8 相似三角形的周长与面积 (1)相似三角形周长的比等于相似比
(2)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方
例11:如图(P116 27-2-19)所示,已知DE ∥BC ,且AE :EC=2:1,求△ADE 与△ABC 的周长比.
AB 2
=, △ABC 的周长为20cm ,面积是40cm 2. A 'B '3
求:(1)△A 'B 'C '的周长;(2)△A 'B 'C '的面积.
例12已知△ABC ∽△A 'B 'C ',
27.3 位似
知识点1 位似图形的概念
如果两个图形不仅是相似图形,而且对应顶点的连接相交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称位似比.
知识点2 位似图形的性质
根据位似图形的概念,可得到位似图形的四个基本性质:
(1)位似图形的对应角相等,对应边的比相等;
(2)位似图形的对应点的连接相交于一点;
(3)位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上;
(4)位似图形上任意一对对应点,到位似中心的距离之比等于位似比.
例2:(P135 图27-3-3)是小孔成像原理的示意图,根据图中标注的尺寸,如果物体AB 的高度为36m ,那么它的暗盒中所成的像CD 的高度应为_______cm
知识点3 位似图形的画法
利用位似变化可以把一个图形放大或缩小.
画位似图形的一般步骤:
(1)确定位似中心;(2)分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长;(3)根据相似比,确定能代表所作的位似图形的关键点;(4)顺次连接上述各点,得到放大或缩小的图形.
例题(见全解P135 27-3-4)
知识点4 平面直角坐标系中的位似变换(难点)
1. 位似图形对应点的坐标的变化规律
在平面直角坐标系中,如果位似是以原点为位似中心,相似比为k ,那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k. 也就是说,将一个多边形各点的坐标都乘以k (或除以k ),所得的新多边形与原多边形是以原点为位似中心,相似比为k :1(或1:k )的位似图形. 反过来,也可以由位似图形对应点的坐标来求相似比.
2. 位似与平移、轴对称、旋转三种变换的联系和区别
位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式,它们的本质区别在于:平移、轴对称、旋转三种图形变换都是全等变换,而位似变换是相似(扩大、缩小或不变)变化.
3. 平移、轴对称、旋转、位似变换的坐标变化规律
(1)平移变换:对应点的横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的单位长度.
(2)轴对称变换:以x 轴为对称轴,则对应点的横坐标相等,纵坐标互为相反数;以y 轴为对称轴, 则对应点的纵坐标相等,横坐标互为相反数.
(3)旋转变换:一个图形绕原点旋转180°,则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数.
(4)位似变化:当以原点为位似中心时,变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值等于位似比.
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
知识点1 正弦的定义
如图(P160 28-1-1)所示,在Rt △ABC 中,∠C=90°,如果锐角A 确定,那么∠A 的对边与斜边的比是一个固定值.
▲注意:sin 2A 表示sinA ·sinA.
∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA ,即sinA=∠A 的对边a =. 斜边c
例1:如图28-1-2所示,在Rt △ABC 中,∠C=90°,求sinA 和sinB 的值.
知识点2 余弦、正切的定义
如图28-1-3所示,在Rt △ABC 中,∠C=90°,当锐角A 的大小确定时,∠A 的邻边与斜边的比、∠A 的对边与邻边的比也分别是确定的,我们把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ,即cosA=∠A 的邻边b =;把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切, 斜边c
记作tanA ,即tanA=∠A 的对边a =. ∠A 的邻边b
例2:如图(P161 28-1-4)所示,在Rt △ABC 中,∠C=90°,求∠A ,∠B 的余弦值和正切值.
知识点3 锐角三角函数的定义
对于锐角A 的每一个确定的值,sinA 有唯一确定的值与它对应,所以sinA 是∠A 的函数,同样地,cosA ,tanA 也是∠A 的函数. 即锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数.
▲注意:
(1)三角函数的实质是个比值,这些比值只与角的大小有关sin x、cos x、tan x都是以锐角x 为自变量的函数,当x 确定后,它们的值都是唯一确定的. 即三角函数值随角度的变化而变化.
(2)锐角三角函数都不可取负值.
例3:求出如图28-1-5所示Rt △ABC 中,∠A 的三角函数值.
例4:用正弦函数、余弦函数的定义说明:sin 2A+cos2A=1
例5:如图(P162 28-1-7)所示,在等腰三角形ABC 中,AB=AC,如果2AB=3BC,求∠B 得三角函数值.
知识点4 30°,45°,60°角的三角函数值及有关计算(重点、难点)
利用锐角三角函数的定义,可求出30°,45°,60°角的各三角函数值.
例6:求下列各式的值:
(1)cos 30°+sin30°;(2)sin60°·tan60°+sin45°;(3)1+2sin45°·cos45°
例7:在△ABC 中。∠C=90°。若cos B=
222,求sin A. 2
题型一 求锐角三角函数值
例1:如图(P165 28-1-9)所示,在△ACB 中,∠C=90°,BC=1,AC=2,求sinA ,sinB ,cosA ,cosB 的值.
题型二 特殊三角函数值得相关计算
例3:求下列各式的值:
(1)(cos30°+sin45°)(sin60°-cos45°); (2)
题型三 利用锐角三角函数值求锐角的度数 4cos 60︒-tan 45︒ tan 60︒-2tan 45︒
3tan C -3)=0,求∠B 得度数. 例4:在△ABC 中,若2sin A -1+
题型四 利用三角函数的增减性解题
题型五 利用锐角三角函数求线段的长
例7:如图28-1-12所示,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,∠B=30°,∠C=45°,BD=10,求AC 的长.
综合提升
1. 把△ABC 三边的长度都扩大为原来的三倍,则锐角A 的正弦函数值_______。
2. 如图(P174 28-1-23)所示,在四边形ABCD 中,∠A=∠C=90°,∠ABC=30°,AD=3,BC=15,求tan ∠ABD 的值 22