二次函数常用解题方法总结
一、 二次函数常用解题方法总结
(1) 求二次函数的图像与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程
(2) 求二次函数最值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式,
或者依据函数特点缺点自变量能使函数取得最值。
(3) 根据图像的位置判断二次函数y=ax2+bx+c中a ,b ,c 的符号,或者
由二次函数中的a ,b ,c 的符号判断图像的位置,需数形结合
(4) 二次函数与一次函数的交点,可通过联立方程求解,从而求出交点坐
标。
例题讲解
1、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品, 年初上市后, 公司经历了从亏损到赢利的过程. 若该公司年初以来累积利润s(万元) 与销售时间t(月) 之间的关系(即前七个月的利润总和与t 之间的关系) 为s=t 2-2t.
(1)第几个月末时, 公司亏损最多? 为什么?
(2)第几个月末时, 公司累积利润可达30万元?
(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?
2、有一种螃蟹,从海上捕获后不放养,最多只能存活两天. 如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去. 假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变,现有一经销商,按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内,此时市场价为每千克30元,据测算,此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是,放养一天需支出各种费用为400元,且平均每天还有10 kg蟹死去,假定死蟹均于当天全部销售出,售价都是每千克20元.
(1)设x 天后每千克活蟹的市场价为p 元,写出p 关于x 的函数关系式;
(2)如果放养x 天后将活蟹一次性出售,并记1000 kg蟹的销售总额为Q 元,写出Q 关于x 的函数关系式.
(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润(利润=-收购总额) ? 12
3、如图, 有一座抛物线形拱桥, 抛物线可用y=-12x 表示. 在正常水位时水面AB 25
的宽为20m, 如果水位上升3m 时, 水面CD 的宽是10m.
(1)在正常水位时, 有一艘宽8m 、高2.5m 的小船, 它能通过这座桥吗?
(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地, 已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计). 货车正以每小时40km 的速度开往乙地, 当行驶1小时时, 忽然接到紧急通过:前方连降暴雨, 造成水位以每小时0.25m 的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD 处, 当水位达到桥拱最高点O 时, 禁止车辆通行). 试问:如果货车按原来的速度行驶, 能否安全通过此桥? 若能, 请说明理由. 若不能, 要使货车安全通过此桥, 速度应超过每小时多少千米?
y
x
4、启明公司生产某种产品, 每件成本是3元, 售价是4元, 年销售量为10万件. 为了获得更好的效益, 公司准备拿出一定的资金做广告, 根据经验, 每年投入的广告费
x 277是x( 万元) 时, 产品的年销售量是原销售量的y 倍, 且y=-+x +. 如果把利101010
润看作是销售总额减去成本和广告费:
(1)试写出年利润s(万元) 与广告费x(万元) 的函数关系式, 并计算广告费是多少万元时, 公司获得的年利润最大? 最大年利润是多少万元?
(2)把(1)中的最大利润留出3万元做广告, 其余的资金投资新项目, 现有6个项
1.6万元, 问有几种符合要求的方式? 写出每种投资方式所选的项目.
练习:
一、选择题:
1、二次函数y=x2-(12-k)x+12,当x>1时,y 随着x 的增大而增大,当x
(A )12 (B )11 (C )10 (D )9
2、下列四个函数中,y 的值随着x 值的增大而减小的是( )
(A )y =2x (B )y =
21(x >0)(C )y =x +1(D )y =x 2(x >0) x 3、抛物线y=ax+bx+c的图象如图,OA=OC,则 ( ) (A ) ac+1=b (B ) ab+1=c (C )bc+1=a (D )以上都不是 4、若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限,且经过点(0,1),(-1,
0),则S=a+b+c的变化范围是 ( )
(A) 01 (C) 1
5、如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是3, 那么c 的值等于( )
(A )8 (B )14 (C )8或14 (D )-8或-14
6、把二次函数y =3x 2的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,所得到的图象对应的二次函数关系式是( )
(A )y =3(x -2)+1 (B ) y =3(x +2)-1(C ) y =3(x -2)-1 222
(D )y =3(x +2)+1 2
7、(3)已知抛物线y=ax2+bx,当a>0,b
D. 一、A. 一、二、三象限 B.一、二、四象限 C.一、三、四象限
二、三、四象限
8、若b
(A )第一象限 (B )第二象限 (C )第三象限 (D )第四象限
9、已知二次函数y =2x 2-2(a +b ) x +a 2+b 2 ,a , b 为常数,当y 达到最小值时,x 的值为 ( )
(A )a +b (B )a +b a -b (C )-2ab (D ) 22
10、当a>0, b0时, 下列图象有可能是抛物线y=ax2+bx+c的是( )
二、填空题:
11、已知二次函数y =ax 2(a ≥1)的图像上两点A 、B 的横坐标分别是-1、2,点O 是坐标原点,如果△AOB 是直角三角形,则△OAB 的周长为 。
12、已知二次函数y =-4x 2-2m x +m 2与反比例函数y =2m +4的图像在第二象x
限内的一个交点的横坐标是-2,则m 的值是 。
13、有一个抛物线形拱桥,其最大高度为16m ,跨度为40m ,现把它的示意图放在平面直角坐标系中如 图(4),求抛物线的解析式是_______________。
14、如图(5)A. B. C.是二次函数y=ax2+bx +c (a ≠0)的图像上三点, 根据图中给出的三点的位置, 可得a-. ——0,c ——0,
15、老师给出一个函数, 甲, 乙, 丙, 丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限。
乙:函数的图像经过第一象限。丙:当x <2时,y 随x 的增大而减小。丁:当x <2时,y >0,已知这四位同学叙述都正确,请构造出满足上述所有性质的一个函数___________________。
龙文教育课后作业
1.将进货单价为40元的商品按50元售出时,就能卖出500个,已知这个商品每个涨价1元,其销售量就减少10个。(1)问:为了赚得8000元的利润,售价应定为多少?这时进货多少个?
(2)当定价为多少元时,可获得最大利润?
2.已知y 是x 的二次函数,且其图象在x 轴上截得的线段A B 长4个单位,当x =3时,y 取得最小值-2。(1) 求这个二次函数的解析式 (2) 若此函数图象上有一点P ,使ΔPAB 的面积等于12个平方单位,求P 点坐标。
43. 已知抛物线y =ax 2+(+3a ) x +4与x 轴交于A 、 B 两点,与y 轴交于点C .是3
否存在实数a ,使得△ABC 为直角三角形.若存在,请求出a 的值;若不存在,请说明理由.
4.已知直线y =-2x +b (b ≠0)与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ;一抛物线的解析式为y =x 2-(b +10)x +c .
(1)若该抛物线过点B ,且它的顶点P 在直线y =-2x +b 上,试确定这条抛物线的解析式;
(2)过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ,若抛物线的对称轴恰好过C 点,试确定直线y =-2x +b 的解析式.
5、如图, 已知△ABC 是一等腰三角形铁板余料, 其中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC 上截出一矩形零件DEFG , 使EF 在BC 上, 点D 、G 分别在边AB 、AC 上.
问矩形DEFG 的最大面积是多少?
A
D B F
6、如图, △ABC 中, ∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm.点P 从点A 开始, 沿AB 边向点B 以每秒1cm 的速度移动; 点Q 从点B 开始, 沿着BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动. 如果P,Q 同时出发, 问经过几秒钟△PBQ 的面积最大? 最大面积是多少?
C
Q
A P B