八年级数学 整式的乘法_教案

第十五章 整式的乘法

15.1.1 同底数幂的乘法

教学目的：

1、能归纳同底数幂的乘法法则，并正确理解其意义；

2、会运用同底数幂的乘法公式进行计算，对公式中字母所表示“数”的各种可能情形应有充分的认识，并能与加减运算加以区分；了解公式的逆向运用； 教学重点：同底数幂的乘法法则

难点：底数的不同情形，尤其是底数为多项式时的变号过程 教具与实验：用于拼图的长方形硬纸板 一、创设情境，激发求知欲 课本第140页的引例 二、复习提问

1．乘方的意义：求n 个相同因数a 的积的运算叫乘方 2. 指出下列各式的底数与指数：

(1)34；(2)a3；(3)(a+b)2；(4)(-2)3；(5)-23．

其中，(-2)3与-23的含义是否相同？结果是否相等？(-2)4与-24呢？ 三、讲授新课

1．（课本141页 问题） 利用乘方概念计算：1014×103．

2、 计算观察，探索规律：完成课本第141页的“探索”，学生“概括”a m ×a n =„=am+n；

3、 观察上式，找出其中包含的特征：左边的底数相同，进行乘法运算；

右边的底数与左边相同，指数相加

4、 归纳法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

三、实践应用，巩固创新 例1、计算：

(1)x ·x (2)a·a (3) 2×2×2 (4) x ·x

练习：

1． 课本第142页：(学生板演过程，写出中间步骤以体现应用法则）

25643m 3m + 1

2．随堂巩固：下面计算否正确？若不正确请加以纠正。 ①a ·a ＝2a

例

2、计算：

6

6

6

②a +a＝a ③ a·a =a

246248

要点指导： 底数中负号的处理；能化为同底数幂的数字底数的处理；多项式底数及符号的处理。

m+n

m-n

9

例3、 （1）填空：⑴若x ×x =x；则m= ；

⑵2=16，2=8，则2

四、归纳小结，布置作业

m n m+n

= 。

小结：1、同底数幂相乘的法则；

2、法则适用于三个以上的同底数幂相乘的情形； 3、相同的底数可以是单项式，也可以是多项式； 4、要注意与加减运算的区别。

15.1.2 幂的乘方

教学目标：

（1）经历探索幂的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义； （2）了解幂的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题. 教学重点：幂的乘方的运算性质及其应用. 教学难点：幂的运算性质的灵活运用. 一：知识回顾

1．讲评作业中出现的错误 2．同底数幂的乘法的应用的练习 二：新课引入

探究：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，看看计算的结果有什么规律：

（1）（32）3= 32 × 32 × 32 = 3 ﹝ ﹞ （2）（a 2）3 = a2·a 2·a 2 = a ﹝ ﹞ （3）（a m ）3 = a m ·a m ·a m = a ﹝ ﹞ （4）（a ）= a ∙a ∙⋅⋅⋅∙a = a

m

m

m

n 个a m

m n

n 个m

m +m +⋅⋅⋅+m

= a mn ．

观察结果，发现幂在进行乘方运算时，可以转化为指数的乘法运算． 引导学生归纳同底数幂的乘法法则： 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 即：（a m ）n ＝a mn （m 、n 都是正整数）．

二、知识应用

例题 ：（1）（103）5； （2）（a 4）4； （3）（a m ）2；（4）－（x 4）3； 说明：－（x 4）3表示（x 4）3的相反数 练习：课本第143页 （ 学生黑板演板） 补充例题：

（1）（y 2）3·y （2）2（a 2）6－（a 3）4 （3）（ab 2）3 (4) - ( - 2a 2b) 4

说明：（1） （y 2）3·y 中既含有乘方运算，也含有乘法运算，按运算顺序，应先乘方，再做乘法，所以，（y 2）3·y = y 2×3·y = y 6+1 = y 7；

（2） 2（a 2）6－（a 3）4按运算顺序应先算乘方，最后再化简．所以，2（a 2）6－（a 3）4=2a 2×6－a 3×4=2a 12－a 12=a 12． 三 幂的乘方法则的逆用 a m n =(a m ) n =(a n ) m ．

（1）x 13·x 7=x （ ）=（ ）5=（ ）4=（ ）10； （2）a 2m =（ ）2 =（ ）m （m 为正整数）． 练习：

1．已知3×9n =37，求n 的值． 2．已知a 3n =5，b 2n =3，求a 6n b 4n 的值．

3．设n 为正整数，且x 2n =2，求9（x 3n ）2的值． 四、归纳小结、布置作业

小结：幂的乘方法则．

15.1.3 积的乘方

教学目标：

（1）经历探索积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义； （2）了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题． 教学重点：积的乘方的运算性质及其应用． 教学难点：积的乘方运算性质的灵活运用． 教学过程：

一． 创设情境，复习导入

1 ．前面我们学习了同底数幂的乘法、幂的乘方这两个运算性质，请同学们通过完成一组练习，来回顾一下这两个性质： （1）

（2）

（3）

2．探索新知，讲授新课

（1）(3×5) 7

7个(3⨯5)

（4）

——积的乘方 ——幂的意义

——乘法交换律、结合律 ——乘方的意义

=(3⨯5) ⨯(3⨯5) ⨯ ⨯(3⨯5)

3⨯3⨯ ⨯3) ×(5⨯5⨯ ⨯5) =(

7个3

7个5

=37×57；

（2） （ab ）2 = (ab) · (ab) = (a·a) ·(b ·b) = a( ) b ( ) (3) （a 2b 3）3 = (a2b 3) · ( a2b 3) ·( a2b 3) = （a 2 ·a 2· a 2 ) ·(b 3·b 3·b 3) = a( ) b ( ) (4) (ab ) n

ab ) ⋅(ab ) ⋅ ⋅(ab ) =(

n 个ab

——幂的意义

——乘法交换律、结合律

a ⋅a ⋅a ⋅ ⋅a ) ·(b ⋅b ⋅b ⋅ ⋅b ) =(

n 个a

n 个b

=a n b n ．

——乘方的意义

由上面三个式子可以发现积的乘方的运算性质：

积的乘方，等于把每一个因式分别乘方, 再把所得的幂相乘． 即：(ab ) n =a n ·b n

二、知识应用，巩固提高

例题3 计算

（1）(2a ) 3； （2）(－5b ) 3； （3）( xy 2 ) 2； （4）(- 2／3x 3) ． （5）(－2xy ) 4 （6）（2×103 ）2 说明： （5）意在将(ab ) n =a n b n 推广，得到了(abc ) n =a n b n c n 判断对错：下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？ ①

②

③

4

练习：课本第144页 三．综合尝试，巩固知识 补充例题： 计算： （1）

（2）

四．逆用公式：（ab ）=a

n

n

b

n

，即a

n

b

n

=ab ） （

n

预备题：（1） （2）

2004

2003

⎛5⎫16 17

例题：（1）0．125·(－8) ；（2） -⎪

⎝13⎭（2）已知2m =3，2n =5，求23m +2n 的值．

⎛3⎫⋅ 2⎪⎝5⎭

（注解）：23m +2n =23m ·22n =(2m ) 3·(2n ) 2=33·52=27×25=675． 四、归纳小结、布置作业

作业：习题 15.1

15．1．4 整式的乘法 （单项式乘以单项式）

教学目标：经历探索单项式与单项式相乘的运算法则的过程，会进行整式相乘的运算。

教学重点：单项式与单项式相乘的运算法则的探索． 教学难点：灵活运用法则进行计算和化简． 教学过程：

一． 复习巩固：

同底数幂，幂的乘方，积的乘方三个法则的区分。 二． 提出问题，引入新课

（课本引例）：光的速度约为3×105千米／秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？

（1）怎样计算（3×105）×（5×102）? 计算过程中用到哪些运算律及运算性质？

（2）如果将上式中的数字改为字母，比如ac 5•bc 2怎样计算这个式子？ 说明：（3×105） ×（5×102），它们相乘是单项式与单项式相乘．

ac 5•bc 2是两个单项式ac 5与bc 2相乘，我们可以利用乘法交换律，结合律及同底数幂的运算性质来计算：ac 5•bc 2＝（a •b ）•（c 5•c 2）=abc 5+2=abc 7． 三． 单项式乘以单项式的运算法则及应用

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

例4 （课本例题） 计算：（学生黑板演板）

（1）（－5a 2b ）（－3a ）； （2）（2x ）3（－5xy 2）． 练习1（课本）计算：

（1）3x 25x 3； （2）4y （－2xy 2）； （3）（3x 2y ）3•（－4x ）； （4）（－2a ）3（－3a ）2． 练习2（课本）下面计算的对不对？如果不对，应当怎样改正？ （1）3a 3•2a 2 = 6a 6； （2）2x 2 • 3x 2 = 6x 4 ； （3）3x 2 • 4x 2 = 12x 2； （4）5y 3 • y 5 = 15y 15． 四．巩固提高 （补充例题）：

1．（-2x 2y ）·(1/3xy)

2.(-3/2ab)·(-2a)·(-2/3a2b 2) 3.(2×10) ·(4×10)

52

3

2

4.(-4xy) ·(-xy ) ·(1/2y) 5.(-1/2ab2c) ·(-1/3abc ) ·(12ab) 6.(-ab3) ·(-ab)

7.(-2xy ) ·(-3xy)·(-1/2xz) 8.-6m n ·(x-y)·1/3mn·(y-x)

五．小结作业 方法归纳：

（1） 积的系数等于各系数的积，应先确定符号。 （2） 相同字母相乘，是同底数幂的乘法。

（3） 只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注

意不要把这个因式丢掉。

（4） 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 （5） 单项式乘单项式的结果仍然是单项式。 作业：课本149页 3

2

3

2

2

n+1n

2

2

3

2

323

3

223

15．1．4 整式的乘法 （单项式乘以多项式）

教学目标：经历探索单项式与多项式相乘的运算法则的过程，会进行整式相乘的运算。

教学重点：单项式与多项式相乘的运算法则的探索． 教学难点：灵活运用法则进行计算和化简． 教学过程： 一． 复习旧知 1． 2． 3．

单项式乘单项式的运算法则

练习：9x y ·(-2xy) (-3ab)·(1/3abz) 合并同类项的知识

23

2

3

二、问题引入，探究单项式与多项式相乘的法则

（课本内容）：三家连锁店以相同的价格m （单位：元/瓶）销售某种商品，它们在一个月内的销售量（单位：瓶）分别是a 、b 、c ．你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？ 学生独立思考，然后讨论交流．经过思考可以发现一种方法是先求出三家连锁店的总销量，再求总收入，为：m （a ＋b ＋c ）．

另一种计算方法是先分别求出三家连锁店的收入，再求它们的和，即：ma ＋mb ＋mc ．

由于上述两种计算结果表示的是同一个量，因此

m （a ＋b ＋c ）＝ma ＋mb ＋mc ．

学生归纳：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

引导学生体会：单项式与多项式相乘，就是利用乘法分配律转化为单项式与单项式相乘， 三．讲解例题

1. 例题5（课本） 计算：

（1）（－4x 2）（3x +1）； （2）(ab 2-2ab ) ⋅ab 2 .补充例题1：

化简求值: (-3x)2 － 2x ( x+3 ) + x ·x +2x ·(- 4x + 3)+ 2007 其中：x = 2008 练习：课本146页 1、2 3. 补充练习： 计算

21

1．2ab （5ab 2+3a 2b ）； 2．（2ab －2ab ）· ab ； 2323．－6x （x －3y ）； 4．－2a 2（1ab +b ）． 2

2

312

5．（-2a 2）·(1/2ab + b2) 6. (2/3 x2y － 6x y) ·1/2xy2 7. (-3 x2) ·(4x － 4/9x + 1)

2

8 3a b ·( 6 a2b 4 －3ab + 3/2ab ) 9. 1/3xy ·(3/4x －1/2xy－2/3y－1/2xy)

n

2

3

2

10. ( - ab) ·( -3ab) ·(2/3ab + a ·a ·a －1/3a )

四．小结归纳，布置作业： 作业：课本第149页 4

22232

15．1．4 整式的乘法（多项式乘以多项式）

教学目标：经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的过程，会进行整式相乘的运算．

教学重点：多项式与多项式相乘的运算法则的探索

教学难点：灵活运用法则进行计算和化简．

教学过程：

一．复习旧知

讲评作业

二．创设情景，引入新课

（课本）如图，为了扩大街

心花园的绿地面积，把一块原长

a 米、宽m 米的长方形绿地，增n m a b 长了b 米，加宽了n 米．你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？

一种计算方法是先分别求出四个长方形的面积，再求它们的和，即（am+an+bm+bn）米2．

另一种计算方法是先计算大长方形的长和宽，然后利用长乘以宽得出大长方形的面积，即（a +b）（m ＋n ）米2．

由于上述两种计算结果表示的是同一个量，因此

（a +b）（m ＋n ）= am+an+bm+bn．

教师根据学生讨论情况适当提醒和启发，然后对讨论结果（a +b）（m ＋n ）=am+an+bm+bn进行分析，可以把m ＋n 看做一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得

（a +b）（m ＋n ）＝a （m ＋n ）＋b （m ＋n ），

再利用单项式与多项式相乘的法则，得

a （m ＋n ）＋b （m ＋n ）= am+an+bm+bn．

学生归纳：多项式与多项式相乘，就是先用一个多项式中的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

三、应用提高、拓展创新

例6（课本）：计算

（1）（3x+1）(x+2) ; (2) (x －8y)(x－y) ;

(3) (x+y)(x－xy+y)

进行运算时应注意：不漏不重，符号问题，合并同类项

练习：（课本）148页 1 2

补充例题：

1. (a+b)(a－b) －(a+2b)(a－b)

2. (3x－3x +1)(x+x－2)

3. (x－1)(x+1)(x+1)

4. 当a=-1/2时，求代数式 (2a－b)(2a+b)+(2a－b)(b－4a)+2b(b－3a) 的值

四．归纳总结，布置作业

课本 149页 5 2424222

15.2.1 平方差公式

教学目标：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．

教学重点：平方差公式的推导和应用．

教学难点：灵活运用平方差公式解决实际问题．

过程：

一． 创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容

活动1 知识复习

多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn

活动2 计算下列各题，你能发现什么规律？

（1）（x+1）（x －1）； （2）（a+2）（a －2）；

（3）（3－x ）（3+x）； （4）（2m+n）（2m －n ）． 再计算：（a+b）（a －b ）=a2－ab+ab －b 2=a2－b 2．

得出平方差公式

（a+b）（a －b ）= a2－b 2．即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差． 活动3 请用剪刀从边长为a 的正方形纸板上，剪下一个边长为b 的小正方形（如图1），然后拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？

图1 图2

图1中剪去一个边长为b 的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为

（a 2－b 2）．

在图2中，长方形的长和宽分别为（a +b ）、（a －b ），所以面积为

（a +b ）（a －b ）．

这两部分面积应该是相等的，即（a +b ）（a －b ）= a 2－b 2．

二、知识应用，巩固提高

例1 计算：

（1）（3x ＋2）（3 x－2）； （2）（－x+2y ）（－x －2y ）

（3）（b +2a ）（2a －b ）； （4）(3+2a ) (－3+2a )

练习：加深对平方差公式的理解 （课本 153页练习1有同种题型） 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）

（1）（x +1）（1+x ）； （2）（1a +b ）（b －1a ）； 22

（3）（－a +b ）（a －b ）； （4）（x 2－y ）（x +y 2）；

（5）（－a －b ）（a －b ）； （6）（c 2－d 2）（d 2+c 2）．

例题2：计算

（1）102×98

（2）（y +2）(y -2) －(y －1)(y +5)

（3）（a+b+c）(a －b+c) （补充）

(4) 2004－2003（补充）

（5） （a + 3 ）(a － 3)( a222 + 9 ) （补充）

说明：（3）意在说明公式中的a,b 可以是单项式，也可以是多项式

(4) 意在说明公式的逆用

练习：课本153页 2

四、归纳小结、布置作业

课本习题 156 页 习题 1 ； 5

15.2.2 完全平方公式 （第1课时）

教学目标：完全平方公式的推导及其应用；完全平方公式的几何背景；体会公式中字母的广泛含义，它可以是数，也可以是整式．

教学重点：（1）完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释；

（2）完全平方公式的应用．

教学难点：完全平方公式的推导及其几何解释和公式结构特点及其应用． 教学过程：

一、 激发学生兴趣，引出本节内容

活动1 探究，计算下列各式，你能发现什么规律？

（1）（p ＋1）2 =（p ＋1）（p ＋1）＝_________；

（2）（m ＋2）2=（m ＋2）（m ＋2）＝_________；

（3）（p －1）2 =（p －1）（p －1）＝_________；

（4）（m －2）2=（m －2）（m －2）＝_________．

答案：（1）p 2+2p +1； （2）m 2+4m +4； （3）p 2－2p +1； （4）m 2－4m +4．

2活动2 在上述活动中我们发现（a ＋b ）＝a 2+2ab +b 2，是否对任意的a 、

b ，上述式子都成立呢？

学生利用多项式与多项式相乘的法则进行计算，观察计算结果，寻找一般性的结论，并进行归纳，用多项式乘法法则可得

（a +b ）2=（a +b ）（a +b ）= a （a +b ）+b （a +b ）=a 2+ab +ab +b 2

=a 2+2ab +b 2．

（a －b ）2=（a －b ）（a －b ）=a （a －b ）－b （a －b ）=a 2－ab －ab +b 2 =a 2－2ab +b 2．

二、问题引申，总结归纳完全平方公式

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，即

（a + b ）2=a 2+2ab +b 2，

（a －b ）2=a 2－2ab +b 2．

在交流中让学生归纳完全平方公式的特征：

（1）左边为两个数的和或差的平方；

（2）右边为两个数的平方和再加或减这两个数的积的2倍．

活动4 你能根据教材中的图15．2-2和图15．2-3中的面积说明完全平方公式吗?

三．例题讲解，巩固新知

例3：（课本）运用完全平方公式计算

（1） （4m+ n）2 ; (2) (y －1/2)

补充例题：运用完全平方公式计算

（1）（－x +2y ）2；

说明：（1）题可转化为（2y －x ）2或（x －2y ）2，再运用完全平方公式；

（2）题可以转化为（x +y ）2，利用和的完全平方公式；

（3）题可利用完全平方公式，再合并同类项，也可逆用平方差公式

进行计算．

例 4：（课本） 运用完全平方公式计算

（1）1022； （2）992．

思考：（a +b ）2与（－a －b ）2相等吗？为什么?

（a －b ）2与（b －a ）2相等吗？为什么?

（a －b ）2与a 2－b 2相等吗？为什么?

练习：课本155页 1 ；2

补充例题：

(1) 如果x 22 （2）（－x －y ）2； (3) ( x + y ）2－（x －y ）2． + kxy + 9y2是一个完全平方式，求k 的值

2(2) 已知x +y =8，xy =12，求x 2 + y 2 ； （x － y ）

(3) 已知 a + 1/a = 3 ,求 a

四、归纳小结、布置作业

小结：完全平方公式．

作业：课本156 页 习题 2 ； 6； 7 2的值 + 1/a 2

15.2.2 完全平方公式(第2课时)

教学目标：熟练掌握完全平方公式及其应用，理解公式中添括号的方法 重点：添括号法则及完全平方公式的灵活应用

难点：添括号法则及完全平方公式的灵活应用

内容：

一 复习旧知，引入添括号法则

去括号法则：a +(b+c) = a+b+c a －(b+c) = a － b － c

添括号法则：a+b+c = a +(b+c) a － b － c = a －(b+c)

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。

练习：（课本156页 练习 1 有同种类型题）

a + b －－ a － b + c = a + ( - b + c ) = a － ( b － c )

二 讲解例题，巩固新知

例题5 运用乘法公式计算：(课本)

（1）（ x + 2y － 3 ） ( x -2y + 3)

（2）（a + b +c ）．

练习 ： 课本 156页 练习 2

三 补充例题，开阔眼界

1 利用乘法公式化简求值题

（2x + y ）2 － ( x + y )(x – y) ，其中x = 1 ,y = - 2

2 乘法公式在解方程和不等式中的应用

①已知(a +b )2 = 7 ,( a － b )2 = 4 求 a 2+ b 2 和 ab 的值

②解不等式：

( 2x －5 ) (- 5 －2x) + (x + 5 )﹥ 3x (- x + 2 )

3 与三角形知识相结合的应用

已知三角形ABC 的三边长a 、b 、c ，满足a 2 + b2 + c2- ab – bc - ac = 0，试判断三角形的形状。

四 总结归纳，布置作业

添括号法则

作业： 课本 157页 3 ；4；5；8；9；（根据学生情况酌定）

22

15. 3. 1 同底数幂的除法

教学目标：

1、经历探索同底数幂的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力。

2、了解同底数幂的除法的运算性质，并能解一些实际问题。 教学重点：公式的实际应用。

教学难点：a 0＝1中a ≠0的规定。

教学过程：

一、 探索同底数幂的除法法则

1、根据除法的意义填空，并探索其规律

（1）5 5÷5 3＝5（ ）

（2）107÷105＝10（ ）

（3）a 6÷a 3＝a （ ）

推导公式：a m ÷a n ＝ a m － n（a ≠0，m 、n 为正整数，且m ＞n ） 归纳：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

2、比较公式

a m ·a n ＝a m + n （a m ）n ＝ aM N

（ab ）m ＝ a m b m am ÷a n ＝a m - n

比较其异同，强调其适用条件

二、 实际应用

例1：计算

（1）x 8÷x 2 （2）a 4÷a （3）（ab ）5÷（ab ）2 例2：一种数码照片的文件大小是28 K ，一个存储量为26 M （1M ＝210K ）的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？

解：26 M ＝26×210 K ＝216 K

216÷28＝28（张）＝256（张）

三、 探究a 0的意义

根据除法的意义填空，你能得什么结论？

（1）32÷32＝

（2）103÷103＝

（3）a m ÷a m ＝ （a ≠0）

由除法意义得：a m ÷a n ＝1 （a ≠0）

如果依照a m ÷a m ＝a m - m＝a 0

于是规定：a 0＝1 （a ≠0）

即任何不等于0的数的0次幂都等于1

四、练习：P 160 1、2、3

五、作业：P 164 习题15.3 1、4、5、7

15. 3. 2 整式的除法（1）

教学目标：经历探索单项式除以单项式法则的过程，会进行单项式除以单项式的运算。

教学重点：运用法则计算单项式除法

教学难点：法则的探索

教学过程：

一、提出问题，引入新课］

问题：木星的质量约是1.90×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗？

如何计算：（1.90×1024）÷（5.98×1021），并说明依据。

二、讨论问题，得出法则

讨论如何计算：

（1）8a 3÷2a （2）6x 3y ÷3xy （3）12a 3b 3x 3÷3ab 2 ［注：8a 3÷2a 就是（8a 3）÷（2a ）］

由学生完成上面练习，并得出单项式除单项式法则。 单项式除以单项式法则：

单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

三、法则的应用

例1：计算

（1）28x 4y 2÷7x 3y （2）－5a 5b 3c ÷15a 4b 练习：P 162 1、2

例2：计算下列各题

（1）（a ＋b ）4÷（a ＋b ）2

（2）［（x －y ）3］3÷［（y －x ）2］4

（3）（－6x 2y ）3÷（－3xy ）3

例3：当x ＝－2，y ＝1/4时，求代数式：

（－4x 2）÷(-4x)2＋12x 3y 2÷(-4x2y) －24x 4y 3÷(-4x3y 2) 的值 例4：已知 5m ＝3 25m ＝11，求 5 3m － 2n的值。

四、归纳小结，布置作业

本节所学法则可与前面所学的三个法则比较，理解并记忆。

五、学校作业：P 164 2、4、5、6

补充作业：

1、月球距离地球大约3.84×105km ，一架飞机的速度约为

8×102km/h，如果坐此飞机飞行这么远的距离，大约需要多长时间？

2、观察下面一列式子，根据你所看到的规律进行填空：

a，－2a 2，4a 2，－8a 2，„„，第10项为 ，第n 项为 。

3、已知a m ＝4，a n ＝3，a k ＝2

则a m - 3k + 2n＝

4、16m ÷4n ÷2等于（ ）

（A ）2m-n-1 (B)22--2 (C)23m-2n-1 (D)24m-2n-1 M N

15. 3. 3 整式的除法（2）

教学目标：经历探索多项式除以单项式法则的过程，会进行多项式除以单项式的运算。

教学重点：运用法则计算多项式除以单项式。

教学难点：

（1）法则的探索；

（2）法则的逆应用；

教学过程:

一、复习旧知:

计算:

（1）a m ÷m ＋b m ÷m

（2）a 2÷a ＋a b ÷a

（3）4x 2y ÷2x y ＋2xy 2÷2xy

二、探索多项式除以单项式法则

计算：（a m ＋bm ）÷m ，并说明计算的依据

∵（a ＋b ）m = am ＋bm

∴（a m ＋bm ）÷m=a ＋b

又a m ÷m ＋b m ÷m ＝a ＋b

故（a m ＋bm ）÷m ＝a m ÷m ＋b m ÷m

用语言描述上式，得到多项式除以单项式法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

根据法则：（a 2＋ab ）÷a ＝ ＋

三、实践应用

例1：计算

（1）（4x 2y ＋2xy 2）÷2xy

（2）（12a 3－6a 2＋3a ）÷3a

（3）（21x 4y 3－35x 3y 2＋7x 2y 2）÷（－7x 2y ）

（4）［（x ＋y ）2－y （2x ＋y ）－8x ］÷2x

练习：P 163 （1）（2）（3）（4）

例2:计算

（1）（2/5a3x 4－0.9ax 3）÷3/5ax3

（2）（2/5x3y 2－7xy 2＋2/3y3）÷2/3y2

例3：化简求值

（1）（x 5＋3x 3）÷x 3－（x ＋1）2 其中x ＝－1/2

（2）［（x ＋y ）（x －y ）－（x －y ）2＋2y （x －y ）］÷4y

其中x ＝2，y ＝1

四、归纳小结，布置作业

P 164 3 8

思考题：

（1） ÷（－4x 2）＝－3x 2＋4x －2

（2）长方形的面积为4a 2－6ab ＋2a ，若它的一个边长为2a ，则它的周长是 。

（3）已知3n ＋11m 能被10整除，求证：3n ＋4＋11m ＋2能被10整除。

15. 4.1 提公因式法

教学目标：

1、理解因式分解的概念。

2、会确定多多项式的公因式。

3、会用提公因式法分解因式。

教学重点：用提公因式法分解因式

教学难点：公因式的确定

教学过程：

一、分解因式（因式分解）的概念

计算：

（1）x （x ＋1） （2）（x ＋1）（x －1） （学生练习，并演板） x （x ＋1）＝x 2＋x （x ＋1）（x －1）＝x 2－1

上面二式都是整式乘法，即把整式的乘积化为多项式的形式。 反过来：x 2＋x ＝x （x ＋1） x 2－1＝（x ＋1）（x －1） 即把多项式化为整式积的形式。

因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式因式分解（或分解因式）。

因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即它们互为逆运算。 判断下列各式由左边到右边的变形中，哪些是因式分解：

（1）6＝2×3 （2）a （b ＋c ）＝ab ＋ac

（3）a 2－2a ＋1＝a （a －2）＋1

（4）a 2－2a ＝a （a －2） （5）a ＋1＝a （1＋1/a）

二、提公因式法

1、公因式

多项式ma ＋mb ＋mc 中，各项都有一个公共的因式m ，称为该多项式的公因式。

一般地，一个多项式各项都有的公共的因式称为这个多项式的公因式。

指出下列各多项式的公因式

（1）8a 3b 2＋12ab 3c （2）8m 2n ＋2mn

（3）－6abc ＋3ab 2－9a 2b

通过以上各题，你对确定多项式的公因式有什么方法？（学生归纳、总结）

2、提公因式法

由m （a ＋b ＋c ）＝ma ＋mb ＋mc ，得到ma ＋mb ＋mc ＋=m(a＋b ＋c), 其中，一个因式是公因式m ，另一个因式（a ＋b ＋c ）是ma ＋mb ＋mc 除以m 所得的商，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

三、例1：把（1）2a 2b －4ab 2 (2)8a3b 2＋12ab 3c 分解因式 解：（1）2a 2b －4ab 2

＝2ab ×a －2ab ×2b

＝2ab （a －2b ）

（2）8a 3b 2＋12ab 3c

＝4ab 2×2a 2＋4ab 2×3bc

＝4ab 2（2a 2＋3bc ）

练习：P 167 1（1）（2）

例2：把2a （b ＋c ）－3（b ＋c ）分解因式

练习：P 167 1（3）（4） 2

例3：用简便方法计算

（1）9992＋999 （2）20072－2006×2007

练习：P 167 3

四、归纳小结，布置作业

（1）分解因式 （2）确定公因式 （3）提公因式方法

P 170 习题 15.4 1 6

补充练习：

1、分解因式：

（1）m 2(a－2) ＋m(2－a) （2）m －n －mn ＋1

（3）a 2n －a n

（4）（3a －4b ）（7a －8b ）＋（11a －12b ）（8b －7a ）

2、计算：210－29－28

3、已知a －b ＝3，ab ＝－1，求a 2b －ab 2

24、若a 为实数，则多项式a （a 2－1）－a 2＋1的值（ ）

A 、不是负数 B、恒为正数

C 、恒为负数 D、不等于0

5、证明：817－279－913能被45整除

6、若关于x 的二次三项式3x 2－mx ＋n 分解因式结果

为（3x ＋2）（x －1），则m ＝ ，n ＝ 。

15. 4.2 公式法（1）

教学目标：

（1）进一步理解分解因式的概念。

（2）能熟练运用平方差公式分解因式。

教学重点：把符合公式形式的多项式写成平方差的形式，并分解因式。

教学难点：（1）确定多项式中的a 、b; （2）分解彻底; 教学过程：

一、 复习巩固

1、什么叫分解因式？

2、用提公因式法分解因式

（1）2x y －4y （2）－2x （x ＋1）+（x ＋1）2

二、用平方差公式分解因式

把公式（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2反过来就得到

a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）

该公式用语言叙述为：

两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数差的积。

注：（1）使用平方差公式分解因式时，必须先把原多项式写成两“数”平方差的形式，再分解因式，即用公式分解因式时，必须认准其中的“a ”与“b ”。

（2）公式中的a 、b 即可以是单项式，也可以是多项式。

三、公式的应用

例1：分解因式

（1）4x 2－9 （2）（x ＋p ）2－（x ＋q ）2

解：（1）4x 2－9

＝（2x ）2－32

＝（2x ＋3）（2x －3）

（2）（x ＋p ）2－（x ＋q ）2

＝［（x ＋p ）＋（x ＋q ）］［（x ＋p ）－（x ＋q ）］

＝（2x ＋p ＋q ）（p －q ）

练习P 168 1 2

例2：分解因式

（1）x 4－y 4 （2）a 3b －ab

注：分解因式，必须进行到每一个进行因式都不能再分解为止。

练习：分解因式

（1）a 3－a （2）－（1＋xy ）2＋（1－xy ）2

（3）x 2（x －y ）＋y 2（y －x ） （4）1－x 4

（5）2x 2－8 （6）m 2（a －2) ＋m （2－a ）

（7）m 2－n 2＋2m －2n

四、小结

（1）应用平方差公式分解因式，必须认准的a 与b 。

（2）分解因式必须彻底。］

（3）有公因式的先提公因式，再用公式分解。

五、作业：P 171 2 7

15. 4. 3 公式法（2）

教学目标：熟练应用完全平方公式分解因式

教学重点：把多项式写成符合公式的形式，并分解因式。

教学难点：（1）辨认多项式中的“a ”与“b ”；（2）分解到底。 教学过程：

一、复习平方差公式，并练习下列各题

（1）－a 2＋b 2 （2）（x ＋2）2－（x －2）2 （3）2a －8a 2

二、用完全平方公式分解因式

把整式乘法的完全平方公式：

（a ＋b ）2＝a 2＋2a b ＋b 2 （a －b ）2＝a 2－2a b ＋b 2

注：（1）形如a 2

（2）利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解。

（3）上面两个公式用语言叙述为：

两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。

三、例题或练习：

1、下列多项式是不是完全平方式？为什么？

（1）a 2－2a ＋1 （2）a 2－4a ＋4 （3）a 2＋2ab －b 2

（4）a 2＋ab ＋b 2 （5）9a 2－6a ＋1 （6）a 2＋a ＋1/4

2、分解因式

（1）16x 2＋24x ＋9 （2）－x 2＋4xy －4y 2 解：16x 2＋24x ＋9

＝（4x ）2＋2·4x ·3＋32

［a 2＋2·a ·b ＋b 2］

＝（4x ＋3）2

［（a ＋b ）2］

3、分解因式

（1）3ax 2＋6axy ＋3ay 2 （2）（a ＋b ）2－12（a ＋b ）＋36 练习：P 170 2（1）――（6）

四、归纳小结，布置作业

（1）用完全平方公式分解因式时，必须认准a 与b 。

（2）分解因式要“完全彻底”。

作业：P 171 3 5 9

15. 4. 4 习题课

教学目标：综合应用提出因式法和公式法分解因式 教学重点：（1）熟练应用分解因式的两种方法分解因式；

（2）两种方法的综合应用;

教学难点：（1）选择恰当的分解方法；（2）把多项式分解彻底; 教学过程：

一、分解因式有哪些方法？你认为在使用这些方法时，应注意什么？

二、例题或练习

1、下边从左到右的变形，是因式分解的有

（1）x 2－4y 2＝（x ＋2y ）（x －2y ）

（2）a 2－2ab ＋b 2＝（b －a ）2

（3）x 2－4x ＋5＝（x －2）2＋1

（4）x 2－4x ＋5＝x （x －4）＋5

（5）（x ＋3）（x －3）＝x 2－9

（6）－ma ＋mb －mc ＝－m （a ＋b ＋c ）

2、－m （a －x ）（x －b ）－mn （a －x ）（b －x ）的公因式是（ ）

3、下列各式能用完全平方公式分解因式的是（ ）

A 、x 2＋4y 2 B 、x 2－2xy ＋4y 2

C 、－x 2－4xy ＋4y 2 D 、（x －y ）2－10（y －x ）＋25

4、填空：

（1）－1/9a2＋1/4＝（ ）2－（ ）2

（2）4x 2＋1＋ ＝（ ＋1）2

（3）1/9x2＋ ＋1/4y2＝（9/3x－1/2y）2

（4）若x 2＋kx ＋64是完全平方式，则k 的值为 。

（5）x 2＋5x ＋ ＝（ ）2

5、把下列各式分解因式：

（1）a 4＋3a 2 （2）5（a －2）3－3（2－a ）2

（3）（x －2）2－x ＋2 （4）a （a －b －c ）＋b （b ＋c －a ）

（5）（a －b ）2（a ＋b ）3－（b －a ）3（b ＋a ）2

（6）－2xy ＋6x 2y 2－8x 2y

6、把下列各式分解因式：

（1）1/2x2－2y 2 （2）－6a －a 2－9

（3）（1/36x－1/3）x ＋1 （4）（a ＋b ）2－4（a ＋b －1）

（5）x 2＋8x （x ＋1）＋16（x ＋1）2

（6）2（a 2＋b 2）（a ＋b ）2－（a 2－b 2）2

（7）x 3＋x 2＋0.25x

（8）（x 2－x ）2＋1/2（x 2－x ）＋1/16

（9）x 3－x 2＋4

7、（1）求证对于任意自然数n ，2n+4 －2n 是30的倍数。

（2）求证：248 －1可以被63和65整除。

作业：P 171 4 6 8 10

课外作业：P 173 数学活动 1 2

15. 4. 5 十字相乘法（二次项系数为1）

教学目标：

使学生理解并掌握二次项系数为1的二次三项式的因式分解。 教学重点：准确、迅速进行十字相乘分解因式。

教学难点：p 与q 异号的情形。

教学过程：

一、复习巩固

课本：P 148练习2，观察规律，得到

（x ＋p ）（x ＋q ）＝x 2＋（p ＋q ）x ＋pq

反过来，有x 2＋（p ＋q ）x ＋pq ＝（x ＋p ）（x ＋q ）

它告诉我们：对于二次项系数为1的二次三项式，如果它的常数项能够分解成两个因数，并且它们的和恰好等于一次项系数，那么，它就可以分解成两个一次因式的积。

如：x 2＋（1＋2）x ＋1×2＝（x ＋1）（x ＋2）

X 2＋（－1＋2）x ＋（－1）×2＝（x －1）（x ＋2）

二、例题与练习

例1：分解因式 x 2＋6x ＋8

解：x 2＋6x ＋8＝x 2＋（2＋4）x ＋2×4

＝（x ＋2）（x ＋4）

熟练后，中间步骤可省去。

练习：分解因式

（1）x 2＋7x ＋12 （2）x 2＋12x ＋20

例2：分解因式 x 2－8x ＋15

分析：因为－8为负数，所以15应分解为两个负数之积。

解：x 2－8x ＋15

＝x 2＋［（－3）＋（－5）］x ＋（－5）×（－3）

＝［x ＋（－3）］［x ＋（－5）］

＝（x －3）（x －5）

练习：分解因式：（1）x 2－3x ＋30 （2）x 2－8x ＋12 例3：分解因式 （1）x 2－3x －10 （2）x 2＋9x －10 分析（由学生分析，解答）

练习：分解因式 （1）x 2－3x －4 （2）x 2＋10x －24

（3）a 2＋a －20 （4）a 2－9a －36

例4：分解因式 （1）x 2－7xy －18y 2 （2）x 2y 2＋7xy －44

（3）x 2－20xy ＋96y 2 （4）a 4－21a 2－100

例5：分解因式 （1）－a 2＋6ab －9b 2 （2）－x 2－3x ＋4

（3）x －x 2＋42 （4）x 2（x 2－20）＋64

（5）3x 2y 2－9xy －12

（6）（x 2＋x ）2－14（x 2＋x ）＋24

（7）（x 2＋x ）（x 2＋x －1）－2

例6：求证：四个连续自然数的乘积与1的和一定是某个自然数的平方。

作业：课本P 172 （1）（2）（3）（4）

15. 4. 6 小结与复习

教学目标：把握本章知识脉络，掌握本章基础知识。 教学重点：（1）整的乘除法; （2）因式分解;

教学难点： （1）正确使用公式；（2）逆用公式解题； 教学过程：

一、本章知识结构图：

二、回顾与思考：

1、幂的运算性质是整式乘除法的基础，单项式的乘除是整式乘除的关键，举例说明怎样将多项式乘（除以）单项式，多项式乘多项式转化为单项式的乘除。

2、把一些特殊形式的多项式乘法写成公式的形式，可以简化运算，本章学习了哪些乘法公式？你能从图形角度解释公式的合理性吗？

3、举例说明因式分解与整式乘法之间的关系，你学习了哪几种分解因式的方法？请举例说明。

三、例题与练习：

（一）1、－x 2（－x ）2（－x ）3＝

2、（－x 5）＋（－x 7）5＝3、已知x n ＝5，y n ＝3，则（x 2 y ）2n 值为

4、（－x ）9÷x 4÷（－x ）3＝

（二）计算下列各题

1、（9/4×102）×（25×103）2×（－2×106）2

2、（4x 4 y ）（－xy 3 ）5

3、当a ＝－3/4时，求－2a （3a 2－4a －1）－a （－6a 2 ＋5a －2）的值。

4、若（x ＋a ）（x 2－6x ＋b ）的展开式中，不含x 2次和x 项，则a ＝ ，b ＝ 。

5、（a ＋2）2－2a （a ＋2）

6、（x ＋3）（x ＋4）－x （x ＋2）－5

7、若x －y ＝2，x 2 －y 2 ＝10，则x ＋y ＝

8、（2m ＋1）（2m －1）（4m 2＋1）＝

9、（x ＋2y －1）（x ＋1－2y ）＝

10、（－x －1/2）2＝

11、若（x ＋y ）2 ＝9，（x －y ）2 ＝5，则xy ＝

12、若a 2 ＋ma ＋9是完全平方式，那么m ＝

13、a 2 ＋b 2 ＝（a ＋b ）2 －

14、（y ＋3）2－（3－y ）2 ＝

15、（6×106 ）÷（－3×103 ）＝

16、16m ÷4m ÷2＝2( )

17、（2/5x2 y 2 －7xy 2 ＋2/3y3 ）÷2/3y2

18、长方形面积为4a 2 －6ab ＋2a ，一边长为2a ，则周长

是

三、分解因式

1、4x 3 －6x 2 ＝

2、m(a－b) －n （b －a ）＝

3、m 2 －36 m2 ＝

4、（2x ＋y ）2 －（x ＋2y ）2 ＝

5、p 4 －1＝

6、若x 2 －2（m ＋3）x ＋16是完全平方式，则m 的值为

7、a 2 －2a （b ＋c ）＋（b ＋c ）2

8、1/2x2 －xy ＋1/2y2

9、xy 2 －2xy ＋x

10、a 2 b 2 －a 2 －b 2 －1

11、（x ＋y ）2 －2（x 2 －y 2 ）＋（x －y ）2

12、x 2 －5x ＋6

13、x 2 －5x －6

14、x 2 ＋5x －6

15、2x 2 －20x ＋50

16、（a ＋2）（a －8）＋25

17、a 2 ＋2ab ＋b 2 ＋4a ＋4b ＋4

18、已知a －b ＝3，ab ＝－1，求a 2 b －ab 2 的值。

19、证明：817 －279 －913 能被45整除。

20、已知：a 、b 为自然数且a 2 －b 2 ＝45，求a 、b 的值。

21、若x 2 ＋y 2 ＋2x －8y ＋17＝0，求y/x的值。

22、若一个三角形边长为a 、b 、c ，且a 2 ＋2b 2 ＋c 2 －2ab

－2bc ＝0，试判断该三角形的形状，并说明理由。

23、若非零实数a 、b 满足4a 2 ＋b 2 ＝4ab ，求b/a的值。

24、若两个两位数的十位数字相同，而它们的个位数字之

和为10，研究它们积的规律，并证明你的结论。

作业：P 175 复习题15

思考题：

（1）设y ＝（x －1）（x －3）（x －4）（x －6）＋10

证明：不论x 取任何实数，y 的值总大于0。

（2）分解因式：x 2＋4xy ＋4y 2－4x －8y ＋3

（3）①若a 2＋ba ＋12能分解为两个一次因式的乘积，且b 为整数，则b ＝ 。

②若a ＋12a ＋b 能分解为两个一次因式的乘积，且b 为正整数，则b ＝

（4）在实数范围内分解因式

①x 2－3 ②5x 2－4

（5）证明：两个相邻奇数的平方差是8的倍数。