2011年高考分类汇编之解析几何(六)
湖南文
6.设双曲线
的渐近线方程为
则
的值为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
答案:C
解析:由双曲线方程可知渐近线方程为
,故可知
。
9.在直角坐标系
中,曲线
的参数方程为
.在极坐标系(与直角坐标系
取相同的长度单位,且以原点
为极点,以
轴正半轴为极轴)中,曲线
的方程为
则
与
的交点个数为 .答案:2
解析:曲线
,曲线
,联立方程消
得
,易得
,故有2个交点。
15.已知圆
直线
(1)圆
的圆心到直线
的距离为 .
(2) 圆
上任意一点
到直线
的距离小于2的概率为 .
答案:5,
解析:(1)由点到直线的距离公式可得
;
(2)由(1)可知圆心到直线的距离为5,要使圆上点到直线的距离小于2,即
与圆相交所得劣弧上,由半径为
,圆心到直线的距离为3可知劣弧所对圆心角为
,故所求概率为
.
21.已知平面内一动点
到点F(1,0)的距离与点
到
轴的距离的等等于1.
(I)求动点
的轨迹
的方程;
(II)过点
作两条斜率存在且互相垂直的直线
,设
与轨迹
相交于点
,
与轨迹
相交于点
,求
的最小值.
解析:(I)设动点
的坐标为
,由题意为
化简得
当
、
所以动点P的轨迹C的方程为
(II)由题意知,直线
的斜率存在且不为0,设为
,则
的方程为
.
由
,得
设
则
是上述方程的两个实根,于是
.
因为
,所以
的斜率为
.设
则同理可得:
故
当且仅当
即
时,
取最小值16.
江苏
14.设集合
,
, 若
则实数m的取值范围是________.
答案:
.
解析:当
时,集合A是以(2,0)为圆心,以
为半径的圆,集合B是在两条平行线之间,(2,0)在直线的上方
,又因为
此时无解;
当
时,集合A是以(2,0)为圆心,以
和
为半径的圆环,集合B是在两条平行线之间,必有当
时,只要,
.
当
时, 只要,
当
时,一定符合
又因为
,
.
本题主要考查集合概念,子集及其集合运算、线性规划,直线的斜率,两直线平行关系,点到直线的距离,圆的方程,直线与圆的位置关系、含参分类讨论、解不等式,及其综合能力.本题属难题.
18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系
中,M、N分别是椭圆
的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.
(1)当直线PA平分线段MN时,求k的值;
(2)当k=2时,求点P到直线AB的距离d;
(3)对任意k>0,求证:PA⊥PB.
答案:(1)由题意知M(-2,0),N(0,
),M、N的中点坐标为(-1,
),
直线PA平分线段MN时,即直线PA经过M、N的中点,又直线PA经过原点,所以
.
(2)直线
,由
得
,
,
AC方程:
即:
所以点P到直线AB的距离
(3)法一:由题意设
,
A、C、B三点共线,
又因为点P、B在椭圆上,
,两式相减得:
.
法二:设
,
A、C、B三点共线,
又因为点A、B在椭圆上,
,两式相减得:
,
,
法三:由
得
,直线
代入
得到
,解得
,
解析:本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质,直线的斜率及其方程,点到直线距离公式、直线的垂直关系的判断.另外还考查了解方程组,共线问题、点在曲线上,字母运算的运算求解能力, 考查推理论证能力.(1)(2)是容易题;(3)是考察学生灵活运用、数学综合能力是难题.
C.选修4-4:坐标系与参数方程
(本小题满分10分)
在平面直角坐标系
中,求过椭圆
(
为参数)的右焦点,且与直线
(
为参数)平行的直线的普通方程.
C.选修4-4:坐标系与参数方程
本小题主要考查椭圆与直线的参数方程等基础知识,考查转化问题的能力,满分10分。
解:由题设知,椭圆的长半轴长
,短半轴长
,从而
,所以右焦点为(4,0),将已知直线的参数方程化为普通方程:
故所求直线的斜率为
,因此其方程为
。