两个广义积分收敛判定法则
两个广义积分收敛判定法则
之前已经介绍过了第二积分中值定理的证明，该定理的形式比较复杂，很难让人联想起怎么应用，然而第二积分中值定理确是一个比较精细的判定积分性质的方法，这里就给出两个利用第二积分中值定理来证明的广义积分收敛判定法则。
法则一：设函数(x)单调，且lim(x)0，函数f(x)当x时，
x
F(x)
xa
f(u)du
有界，此时，积分
a
f(x)(x)dx
收敛。
证明：设ab1b2
，利用第二积分中值定理得：
b1
b2b1
f(x)(x)dx(b10)f(x)dx(b20)
b2
f(x)dx
(b10)[F()F(b1)](b20)[F(b2)F()]
当b10，b2
b2
1
0时，有(b10)0，(b20)0，且F(x)有
界，因此，bf(x)(x)dx0，再有柯西（Cauchy）积分准则可知：
a
f(x)(x)dx收敛。
从上面的证明可以看出，第二积分中值定理给出了积分上下界在趋于无穷的过程中积分的性质，并由此判定广义积分收敛。下面看一个例子：
证明积分令(x)
1x
sinxx
1
dx收敛。
，显然lim(x)0，f(x)sin(x)，F(x)
x
1
sinxdx
有
dx
界，根据上面的判定法则，可知：积分却不是绝对收敛的，因为：
sinxx
1
dx收敛。但
sinxx
1
1
|
sinxx
|dx
|sinx|x1
1
dx1x
sinxx
2
1
dx
1cos2x
2x
1
dx
2
cos2xx
1
dx
其中，
cos2xx
1
证明同证dx收敛，
|dx发散，
sinxx
1
而dx收敛，
1x
1
dx发
散，因此1|
sinxx
sinxx
1
dx条件收敛。
法则二：设函数(x)单调且有界，由函数F(x)敛性可以得出：
a
xa
f(u)du
的收
f(x)(x)dx收敛。
可以理解为，一个广义积分收敛的函数与一个单调有界函数相乘后，所得函数仍然的冠以积分仍然收敛。
如f(x)
sinxx
，(x)arctanx，积分
dx收敛。
sinxarctanx
x
1