层次分析法案例
层次分析法实例
案例分析：众所周知，重庆作为著名的“四大火炉”之一，夏天酷暑难耐，无疑空调成为人们必不可少的“降温神器”，重庆的夏天不能没有空调。然而，空调的品牌越来越多，功能也各不相同，人们不禁会遇到一个难题—如何选择一款合适的空调？
当然，空调的选择要考虑各方面的因素，比如说空调的价格、性能、品牌等。下面就用层次分析法（AHP）对我国的三大空调品牌的选择进行分析为消费者提供一种购买决策。选购的准则有空调的品牌信誉，产品技术，性能指标，空调的经销商和价格。三大空调品牌为格力，海尔，美的。 （1）建立层次结构模型 目标层A 准则层B
方案层C
（2）构造成对比较矩阵并赋值 根据递阶层次结构构造判断矩阵。
构造判断矩阵的方法是：每一个具有向下隶属关系的元素（被称作准则）作为判断矩阵的第一个元素（位于左上角），隶属于它的各个元素依次排列在其后的第一行和第一列。 填写判断矩阵的方法：
大多采取的方法是：向填写人（专家）反复询问，针对判断矩阵的准则，其中两个元素两两比较哪个重要，重要多少，对重要性程度按1-9赋值（重要性标度值见下表）。
设填写后的判断矩阵为A(aij)nn，则判断矩阵满足如下性质： （1）aij0，（2）aji
1
（i,j1,2,,n）（3）aii=1 aij
根据上面的性质，判断矩阵具有对称性，因此在填写时，通常先填写
aii=1的部分，然后再仅需判断及填写上三角形或下三角形的
n(n-1)/2个元素就可以了。
在特殊情况下，判断矩阵具有传递性，则满足等式：aijajkaik 当上式对判断矩阵所有元素都成立时，则称该判断矩阵为一致性矩阵。
构造判断矩阵并赋值，填写后的判断矩阵如下： 目标层A的判断矩阵如下:
准则层B的各类准则判断矩阵如下:
层次单排序是指每一个判断矩阵各因素针对其准则的相对权重，所以本质上是计算权向量。用求和法计算权向量，对于一致性判断矩阵，每一列归一化后就是相应的权重。对于非一致性判断矩阵，每一列归一化后近似其相应的权重，在对这n个列向量求取算术平均值作为最后的权重。
i
（2）将矩阵各行求和vibij，得到如下结果(即矩阵V)：
j
i
（3）再进行归一化：vibij（上述矩阵V列的和为5）
j
即得到准则层权重，即为矩阵W。 (4)一致性检验
在特殊情况下，判断矩阵可以具有传递性和一致性。一般情况下，并不要求判断矩阵严格满足这一性质。但从人类认识规律看，一个正确的判断矩阵重要性排序是有一定逻辑规律的，例如若A比B重要，B又比C重要，则从逻辑上讲，A应该比C明显重要，若两两比较时出现A比C重要的结果，则该判断矩阵违反了一致性准则，在逻辑上是不合理的。因此在实际中要求判断矩阵满足大体上的一致性，需进行一致性检验。只有通过检验，才能说明判断矩阵在逻辑上是合理的，才能继续对结果进行分析。所以为了判断矩阵的一致性，就可以利用最大特征根max与 矩阵A的阶n的差检验一致性。 一致性指标：
CI
maxn
则x10.8584x21.359x32.547x40.3124x50.3604
max
1x1x2x3x4x5＝5.30
50.1620.2430.4620.0620.071
再计算一致性指标CI：CI
maxn
n1
=
5.305
=0.075 51
然后查找查表确定相应的平均随机一致性指标R.I.，据判断矩阵不同阶数查下表，得到平均随机一致性指标R.I.。例如，对于5阶的判断矩阵，查表
然后再计算一致性比例CR
CR
CI0.075==0.06 RI1.12
由于CR0.10，所以认为判断矩阵的一致性是可以接受的。 同理可得准则层B的各类准则（B1B2B3B4B5）经归一化求权重后和一致性检验后的一致性比例的结果如下：
根据以上结果可以看出CR的值均小于0.10，所以认为各准则层的判断矩阵的一致性是可以接受的。 4、 层次总排序与检验
方案层单排序权值分别与对应 准则层权值相乘后再相加即可得到总排序权值。
层次总排序入下表所示：
然后对层次总排序进行一致性检验，检验公式为
CI(j)a
CR
m
j
RI(j)a
j1
j1m
，j1,,m
j
经计算结果得 CR0.03
可以看出，总排序的CR
通过对以上层次单排序和总排序的分析，从方案层总排序的结果来看，人们购买格力空调的比重大于购买海尔和美的空调的比重，人们倾向于购买格力空调。