机械工程控制基础部分习题答案

1.7习题与解答

1-1工程控制论的研究对象和任务是什么？

解: 工程控制理论实质上是研究工程技术中广义系统的动力学问题。具体地说，研究的是工程技术中的广义系统在一定的外界条件（即输入或激励，包括外加控制与外加干扰）作用下，从系统一定的初始状态出发，所经历的有其内部的固有特性（即系统的结构与参数所决定的特性）所决定的整个动态历程：同时研究这一系统、输入和输出三者之间的动态关系。 工程控制理论的研究内容

就系统、输入、输出三者之间的动态关系而言，工程控制论的研究内容大致可以归纳为如下五个方面：

（1） 当系统已定、输入已知时，求系统的输出，并且通过输出研究系统本身有关的问题，

即系统分析问题。

（2） 当系统已定时，求系统的输入，并且所确定的输入应使输出尽可能符合给定的最佳

要求，即最优控制问题；

（3） 当输入已知时，确定系统，并且所确定的系统应使输出尽可能符合给定的最佳要求，

即最优设计问题；

（4） 当输出已知时，系统已定时，识别输入或输入中的有关信息，即滤波与预测问题； （5） 当输入与输出均已知时，求系统的结构和参数，以建立系统的数学模型，即系统识

别或者系统辨识问题。

1-2组成典型控制系统的主要环节有那些？它们各起到什么作用？

典型反馈控制系统的基本组成：给定环节、测量环节、比较环节、放大运算环节、执行环节，组成了这一控制系统的控制部分，目的是对被控制对象实现控制。

给定环节：作用是给出输入信号的环节，用于确定被控制对象的“目标值”（或成为给定值），给定环节可以用各种形式（电量、非电量、数字量、模拟量等）发出信号。

测量环节：用于测量被控量，并把被控制量转换为便于传送的另外一个物理量。如电位计将机械转角转换为电压信号。

比较环节：输入信号和测量环节测量的被控制量的反馈量相比较，得到偏差信号，其中比较包括幅值比较、相位比较和位移比较等。

放大运算环节：对偏差信号进行必要运算，然后进行功率的放大，推动执行环节。常用的放大类型有电流放大、液压放大等。

执行环节：接收放大环节送来的控制信号，驱动被控制对象按照预期的规律运行。执行环节一般是一个有源的功率放大装置，工作中要进行能量转换。如把电能通过直流电机转化为机械能，驱动被控制对象进行机械运动。

1-3自动控制系统按照输出变化规律如何分类？按照反馈规律分为哪几类？ 1、按反馈情况分类

（1）开环控制系统：是最简单的一种控制方式，特点是控制系统的控制量与被控制量之间只有前向通道，即只有从输入端到输出端的单方向通道，而无反向通道。系统中只有输入信号对输出信号产生控制作用，输出信号不参与系统的控制。

（2）闭环控制系统：闭环控制系统不仅有一条从输入端到输出端的前向通道，还有一条从输出端到输入端的反馈通道。参与系统控制的不只是系统的输入信号，还有输出信号，控制作用的传递路径是闭合的。 2．按输出变化规律分类

（1）自动调节系统：在外界干扰下，系统的输出仍能保持为常量的系统，系统为闭环控制

系统。如恒温调节系统；

（2）随动系统：在外界调节作用下，系统的输出能随着输入在广阔的范围内按任意规律变化的系统。如炮瞄雷达系统；

（3）程序控制系统：在外界条件的作用下，系统的输出按预先的程序产生变化的系统。如全自动洗衣机系统。

1-4什么是反馈控制？日常生活中有许多闭环和开环系统，试举例说明。

反馈是工程控制论中的一个最基本、最重要的概念，是工程控制系统的一大特点。所谓反馈，就是将系统的输出信号通过一定的检测元件变送返回到系统的输入端，并和系统的输入信号进行比较的过程。

家用空调系统、家用电冰箱系统是闭环控制系统；全自动洗衣机、电风扇、电动搅拌机等为开环系统

1-5分析比较开环控制系统与闭环控制系统的特征、优缺点和应用场合的不同之处。

（1）开环控制系统：是最简单的一种控制方式，特点是控制系统的控制量与被控制量之间只有前向通道，即只有从输入端到输出端的单方向通道，而无反向通道。系统中只有输入信号对输出信号产生控制作用，输出信号不参与系统的控制。

（2）闭环控制系统：闭环控制系统不仅有一条从输入端到输出端的前向通道，还有一条从输出端到输入端的反馈通道。参与系统控制的不只是系统的输入信号，还有输出信号，控制作用的传递路径是闭合的。

开环控制系统结构简单，稳定性好，但抗干扰性能差，控制精度低。一般用于对精度要求不高的场合；闭环控制系统具有反馈环节，抗干扰性能强，控制精度高，闭环系统稳定性差，成本高。一般用于精度较高的场合 1-6对控制系统的基本要求是什么？

对控制系统的基本要求：稳定性、快速性、准确性，简称：稳、快、准。

（1）稳定性：动态过程中的振荡倾向和系统能够恢复平衡状态的能力。一个稳定系统在偏离平衡状态后，其输出信号应该随着时间而收敛，最后回到初始的平衡状态。稳定性是系统工作的首要条件。

（2）快速性：当系统的输出信号与给定的输入信号之间产生偏差时，消除这种偏差的时间长短；

（3）准确性：是指在调整过程结束后输出信号与给定的输入信号之间的偏差，或者称为静态精度，这也是衡量系统工作性能的重要指标。

第三章

3-6已知系统的传递函数方框图如图 解：对干扰输入进行传递函数运算

{[N(s)⋅G(s)-Xo(s)]⋅k1⋅

kk2

-N(s)⋅k4}⋅3=Xo(s) sTs+1

得到：Xo(s)=

G(s)k1k2k3-k3k4s

⋅N(s)

k1k2k3s+(Ts+1)s

因此：要想干扰引起的输出为零，G(s)=

k4s

k1k2

3-8分别求出所示的闭环系统以R(s)、N(s)为输入，以C(s)、B(s)、E(s)、Y(s)为输出的传递函数。

解:先求R(s)为输入的传递函数，这时N(s)=0

G1G2HG1E(s)1C(s)G1(s)G2(s)B(s)Y(s)

====

R(s)1+G1G2HR(s)1+G1G2HR(s)1+G1G2HR(s)1+G1G2H

求以N(s)为输入的函数，这时R(s)=0

G2(s)G2HG2HGGHC(s)B(s)E(s)Y(s)

===-=-12

N(s)1+G1G2HN(s)1+G1G2HN(s)1+G1G2HN(s)1+G1G2H

四章

4-1什么是系统的时间响应？

解：控制系统在外界作用的激励下，其输出量是随时间变化的函数。通过对输出量的分析，可揭示系统本身的动态特性。

4-2什么是动态性能指标？动态性能指标有哪些？

工程上为了定量评价系统性能的好坏，必须给出控制系统的性能指标的准确定义和定量计算方法。稳定是控制系统正常运行的基本条件。一个稳定系统的典型单位阶跃响应如图所示，由于响应过程分为动态过程和稳态过程，因此系统的动态性能指标和稳态性能指标就是分别针对这两个阶段而定义的。

系统的动态性能指标通常有如下几项：

（1） 延迟时间(Deley Time) （2） 上升时间（Rise Time）

（3） 峰值时间（Peak Time）tp （4） 调节时间（Setting Time）ts （5） 超调量（Overshoot）Mp

（6） 振荡次数N

4-3什么是误差？什么是稳态误差？如何计算稳态误差？

系统的误差按照定义方式的不同分为其输出端定义的误差和输入端定义的误差两种。设

xor(t)是控制系统所希望的输出，xo(t)是其实际的输出。

系统传递函数框图如图所示，则按照输出端定义的误差为e1(t)=xor(t)-xo(t)，拉氏变换记为

E1(s)=X0r(s)-Xo(s)

系统传递函数框图 按照输入端定义的误差（也称为偏差）为e(t)，即

e(t)=xi(t)-b(t)

其拉氏变换式E(s)为

E(s)=Xi(s)-B(s)=Xi(s)-H(s)Xo(s)

式中，H(s)为反馈通道传递函数。一般情况下，系统的偏差E(s)与误差E1(s)之间的关系为：

E(s)=H(s)E1(s)或E1(s)=

1

E(s) H(s)

对于单位反馈系统，H(s)=1，故E(s)和E1(s)相同。一般以输入端定义的误差为准。 系统的稳态误差是指系统进入稳态后的误差。稳态误差的定义为：

ess=lime(t)

t→∞

系统稳态误差的计算公式为

ess=lime(t)=limsE(s)=limsE(s)=lims⋅

t→∞

s→0

s→0

s→0

Xi(s)

1+G(s)H(s)

4-8设单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)=

4

s(s+5)

求这个系统的单位阶跃响应。 解：系统的闭环传递函数为

4

G(s)44s(s+5)

GB(s)====2

41+G(s)s(s+5)+4s+5s+41+

s(s+5)

单位阶跃响应的拉氏变换为

Xo(s)=

1411141

⋅=+⋅-⋅

s(s+1)(s+4)s3s+43(s+1)

4-t1-4t⋅e+⋅e 33

故其时间响应为x(t)=1-

4-9 设单位反馈控制系统的开环传递函数为

G(s)=

1

s(s+1)

试求系统单位阶跃响应的上升时间tr、峰值时间tp、超调量MP和调整时间ts。 解：系统的闭环传递函数为

1

G(s)1s(s+1)

GB(s)===2

11+G(s)s+s+11+

s(s+1)

根据二阶系统的标准传递函数式，可知系统的固有频率ωn=1，2ξωn=1，可知系统的

ξ=0.5。

上升时间tr=

π-β2

ωd=ωn-ξ2=0.8660。，其中β=arctg(-ξ)=1.0472，

ωd

故tr=

π-β

=2.42s ωd

π

=3.6277s；超调量为Mp=e-ξπ/ωd

4

-ξ2

峰值时间tp=

⨯100%=16.3%

调整时间为：ts=

ξωn

=

433=8s，(∆=0.02) ts===6s 0.5ξωn0.5

4-11如图4-24所示控制系统，已知G(s)=

8(s+2)

，当输入分别为xi(t)=10t，

s(2s+1)(s+4)

xi(t)=1+2t+3t2时，求系统的稳态误差ess

解：系统的传递函数为

8(s+2)

G(s)8(s+2)s(2s+1)(s+4)

GB(s)===

8(s+2)1+G(s)s(2s+1)(s+4)+8(s+2)1+

s(2s+1)(s+4)

根据公式

ess=lime(t)=limsE(s)=limsE(s)=lims⋅

t→∞

s→0

s→0

s→0

Xi(s)

1+G(s)H(s)

已知输入的拉氏变换分别为Xi(s)=系统的稳态误差分别为

10126

X(s)=++， i

ss2s3s2

Xi(s)=

10

2s

s→0

s→0

s→0

ess=lime(t)=limsE(s)=limsE(s)=lims⋅

t→∞

Xi(s)10

=lims⋅2⋅

1+G(s)H(s)s→0s

1

=2.5

8(s+2)1+

s(2s+1)(s+4)

Xi(s)=

126+2+3 sss

1

=∞

8(s+2)1+

s(2s+1)(s+4)

Xi(s)s2+2s+6

ess=lime(t)=limsE(s)=limsE(s)=lims⋅=lims⋅⋅

t→∞s→0s→0s→01+G(s)H(s)s→0s3

6.6习题与解答

6-1 什么叫频率响应，幅频特性，相频特性，实频特性，虚频特性？

解：线性定常系统对谐波输入的稳态响应称为频率响应(Frequency response)。

6-3 最小相位系统与非最小相位系统的定义及本质区别。

若系统传递函数的所有零点和极点均在[s]平面的左半平面内，则该系统称为最小相位系统；反之，则称为非最小相位系统。对于最小相位系统而言，当频率从零变化到无穷大时，

相位角的变化范围最小，当ω=∞时，其相位角为-(n-m)⨯90 。对于非最小相位系统而言，当频率从零变化到无穷大时相位角的变化范围总是大于最小相位系统的相角范围，当ω=∞时，其相位角不等于-(n-m)⨯90 。

6-4 设单位反馈控制系统的开环传递函数为

10

s+1

当系统作用以下输入信号时，试求系统的稳态输出。

G(s)=

（1）x(t)=sin(t-30 ) （2）x(t)=2cos(2t-15 )

（3）x(t)=sin(t+20 )-2cos(2t+25 )

1010

10

解：先求系统的闭环传递函数，GB(s)===，

10s+1111+s+1s+111

故幅值比为G(jω)=因此：（1）

102+ω2

，相位差为∠G(jω)=-arctg(

1

ω) 11

xo(t)=

1101

sin(t-30 -arctg())=sin(t-30 -arctg())

11112+12

=

1010

sin(t-30-42.27 )=sin(t-72.27 ) =

10

sin(t-72.27 ) 10

（2）xo(t)=2⋅

1

cos(2t-15 -arctg(⋅2))

112+22

=

44

cos(2t-15 -61.2 )=cos(2t-75.2 ) 55

10

(3) x(t)=sin(t+20 )-2cos(2t+25 )

xo(t)=

1010sin(t-22.27 )-2⋅cos(2t+25 -61.2 ) 2+22

=

10sin(t-22.27 )-4

cos(2t-36.2 ) 6-5绘制下列各环节的Nyquist图和Bode图。

（1）G(s)=

11+0.01s

（2）G(s)=1

1-0.01s

（3）G(s)=1

0.01s-1

（4）G(s)=1

1+0.1s+0.01s2

（5）G(s)=1

(1+0.5s)(1+2s)

（6）G(s)=650s2

(0.04s+1)(0.4s+1)

（7）G(s)=1

s(1+0.5s)(1+0.1s)

（8）G(s)=10(0.02s+1)(s+1)

s(s2+4s+100)

（9）G(s)=

20s(s+5)(s+40)

s(s+0.1)(s+20)2

（10）G(s)=2.5(s+10)

s2(0.2s+1)

解

：

（

1）

G(s)=

11+0.01s

系统频率特G(jω)=

11+0.01jω=10.01ω

1+0.0001ω2-j1+0.0001ω

2

其中，G(jω)=

1

+0.00012

，∠G(jω)=-arctan0.01ω μ(ω)=

10.011+0.0001ω2，υ(ω)=-ω

1+0.0001ω2

因此，μ,υ满足关系

(μ-12)2+υ2=(12

)2

又因为μ>0,υ

性

图6-30 题6-5 (1)图

（2）

G(s)=

11-0.01s

，系统频率特性

G(jω)=

110.01ω

=+j

1-0.01jω1+0.0001ω21+0.0001ω2

1

ω ，∠G(jω)=arctan0.012

+0.0001其中其中，G(jω)=

10.01ωυ(ω)=， 22

1+0.0001ω1+0.0001ω

因此，μ,υ满足关系

11(μ-)2+υ2=()2

22

μ(ω)=

又因为μ>0,υ>0，系统频率特性曲线的Nyquist曲线为一个位于第一象限的半圆，其

Nyquist图如下所示。

题6-31 题6-5(2)图

（3）

G(s)=

1

0.01s-1

系统的频率特性

G(jω)=

1-10.01ω

=-j 22

-1+0.01jω1+0.0001ω1+0.0001ω

1

ω ，∠G(jω)=π+arctan0.012

+0.0001ω

其中其中，G(jω)=

-1-0.01ωυ(ω)=，

1+0.0001ω21+0.0001ω2

因此，μ,υ满足关系

11(μ-)2+υ2=()2

22

μ(ω)=

又因为μ

Nyquist图如下所示。

)]

题6-32 题6-5(3)图

（4）G(s)=

1

，这是典型的二阶振荡环节，（ωn=10,ξ=0.5）

1+0.1s+0.01s2

其频率特性为

1-0.01ω20.1ω

G(jω)==-j

1+0.1jω-0.1ω2(1-0.01ω2)2+0.01ω2(1-0.01ω2)2+0.01ω2

1

其中，

G(jω)=

1

(1-0.01ω2)2+0.01ω2

，∠G(jω)=-arctan

10ω

2

100-ω

1-0.01ω20.1ω2

，υ(ω)=- μ(ω)=

(1-0.01ω2)2+0.01ω2(1-0.01ω2)2+0.01ω2

当ω=0时，

G(jω)=1，∠G(jω)=0，μ(ω)=1，υ(ω)=0

G(jω)=1，∠G(jω)=-90 ；μ(ω)=0，υ(ω)=-1

时

，

当ω=ωn=10时，当

ω=ωr=ωn-2ξ2=10⋅-2⨯0.52=52

G(jω)=1.15

，

∠G(jω)=-54.7

当ω=∞时，

G(jω)=0，∠G(jω)=-180 ；μ(ω)=0，υ(ω)=0

其Nyquist图如下所示。

r

题6-33 题6-5(4)图

（5）G(s)=

11

(1+0.5s)(1+2s)=s2

+2.5s+1

系统频率特性为

G(jω)=11-ω22.5ω

1+2.5jω-ω2=(1-ω2)2+6.25ω2-j(1-ω2)2+6.25ω

2

其中，

G(jω)=

1(1-ω2)+6.25ω2

，∠G(jω)=-arctan

2.5ω

1-ω

2

μ(ω)=1-ω2

(1-ω2)2+6.25ω

2

，υ(ω)=-2.5ω(1-ω2)2+6.25ω2 当ω=0时，G(jω)=1，∠G(jω)=0，μ(ω)=1，υ(ω)=0

当ω

=ωn=1时，G(jω)=0.4，∠G(jω)=-90 ；μ(ω)=0，υ(ω)=-0.4当ω=∞时，G(jω)=0，∠G(jω)=-180 ；μ(ω)=0，υ(ω)=0

因为阻尼比ξ

=1.25>0.707，故不存在谐振频率。其Nyquist图如下图所示

题6-33 题6-5(5)图

6）G(s)=650s2

（(0.04s+1)(0.4s+1)

系统的频率特性

G(jω)=

650(jω)2

(0.04⋅jω+1)(0.4⋅jω+1)

2

其

中

：

G(jω)=

650ω+0.0016ω2

⋅+0.16ω

2

∠G(jω)=π-arctan(0.04ω)-arctan(0.4ω)

当ω=0时，G(jω)=0，∠G(jω)=-180 ，μ(ω)=0，υ(ω)=0 当ω=∞时，

G(jω)=40625，∠G(jω)=0；

，

650ω2(1-0.016ω2)286ω3

μ(ω)=-=40625， υ(ω)==0

(1-0.016ω2)2+(0.44ω)2(1-0.016ω2)2+(0.44ω)2

当μ(ω)=0，求与虚轴正半轴的交点频率为ω

=

5rad/s， 2

286ω3

故υ(ω)==11679 其Nyquist图形为

(1-0.016ω2)2+(0.44ω)2

Re

题6-34 题6-5(6)图

（7）G(s)=

11

= 22

s(1+0.5s)(1+0.1s)0.05s+0.6s+s

系统频率特性

G(jω)=

11

=

jω(0.1jω+1)(0.5jω+1)j(ω-0.05ω3)-0.6ω2

0.6ω2(ω-0.05ω3)

=--j

(0.6ω2)2+(ω-0.05ω3)2(0.6ω2)2+(ω-0.05ω3)2

(ω-0.05ω3)

其中，G(jω)=，∠G(jω)=-π+ 222320.6ω(0.6ω)+(ω-0.05ω)

1

0.6ω2(ω-0.05ω3)

，υ(ω)=- μ(ω)=-

(0.6ω2)2+(ω-0.05ω3)2(0.6ω2)2+(ω-0.05ω3)2

当ω=0时，

G(jω)=∞，∠G(jω)=-90 ，μ(ω)=-0.6，υ(ω)=-∞

=

1

=4.472，此时，μ(ω)=-0.08 0.05

令υ(ω)=0，得ω

当ω=∞时，G(jω)=0，∠G(jω)=-270 ；μ(ω)=0，υ(ω)=0

其Nyquist如下图所示

Re

题6-35 题6-5(7)图

（8）G(s)=

10(0.02s+1)(s+1)

s(s2+4s+100)

系统频率特性为

G(jω)=|

10(0.02⋅jω+1)(jω+1)

|， 2

jω(-ω+4⋅jω+100)

系统相频特性为

∠G(jω)=-

当ω=0时，

π

2

+arctan(0.02ω)+arctan(ω)-arctan

2ξλ

2

1-λ

G(jω)=∞，∠G(jω)=-90 ，μ(ω)=0，υ(ω)=∞ G(jω)=0，∠G(jω)=-90 ；μ(ω)

=0，υ(ω)=0

当ω=∞时，

此图相对较难，需要考虑一阶微分环节给系统Nyquist图带来的扭曲作用，用Matlab描述一下。

题6-36 题6-5(8)图

（9）G(s)=

20s(s+5)(s+40)

s(s+0.1)(s+20)2

题6-37 题6-5(9)图

（10）G(s)=

2.5(s+10)

s2(0.2s+1)

系统的频率特性为G(jω)=-

2.5(jω+10)

故其幅频特性为2

ω(0.2⋅jω+1)

G(jω)=

2.52+10

ω

2

0.04ω+1

2

n.2(ω)+arctaωn)(，，相频特性为∠G(jω)=-π-arcta0

2.5ω2.5(10+0.2ω2)

υ(ω)=， μ(ω)=-2

ω2(1+0.04ω2)ω(1+0.04ω2)

当ω=0时，

G(jω)=∞，∠G(jω)=-180 ，μ(ω)=0，υ(ω)=∞

G(jω)=0，∠G(jω)=-180 ；μ(ω)=0，υ(ω)=0，并且通过相频特性

当ω=∞时，

判断，系统曲线一直在第二象限内。

ω=Re

Bode图

（1）系统为典型的惯性环节，转折点频率为

1

=100rad/s，故Bode图为

0.01

ω

ω

--90

题6-39 题6-5(1)图

（2）幅频特性图如（1）相同，相频特性发生变化，转折点频率为100rad/s。

ω

90

45 0

（3）幅频特性图如（1）相同，相频特性发生变化，转折点频率为100rad/s。

ω

270

225180

题6-41 题6-5(3)图

（4）该系统为典型的二阶振荡环节，ωn=10,ξ=0.5，其Bode图为

ω

--ω

-90

-180

题6-42 题6-5(4)图

(5)为两个惯性环节串连，转折点频率分别为0.5和2,故Bode图为

20lgG/dB

-ω

-∠G(jω)

ω

-90

-180

题6-43 题6-5(5)图

(6)该系统为两个微分环节和两个惯性环节串连，转折点频率分别为0、2.5、25，过

20lg650=56.25dB做斜率为40dB/dec的直线，然后在2.5、25处做转折，故其Bode图为

-ω

18090题6-44 题6-5(6)图

ω

（7）系统为一个积分环节、两个惯性环节串连，其转折点为2和10，故其Bode图为

20lgG/dB

-ω

∠ω

-90-180-

（8）系统为积分、惯性环节、和比例加振荡环节的串连，故其Bode图为

20lgG/dB

-ω

∠ω

-90-180题6-46 题6-5(8)图

（9）系统实质是两个一阶微分环节、三个惯性环节的串连，故其Bode图为：

-ω

/dec

ω

-90-180题6-47 题6-5(9)图

（10）系统有两个积分环节和一个一阶微分环节加一个惯性环节组成。

20lgG/dB

-ω

∠ω

-90-180题6-48 题6-5(10)图

6-6 画出分别具有下列传递函数的系统的Bode图，并进行比较：

Ts+1

(T1>T2>0) （1）G(s)=1

T2s+1（2）G(s)=

T1s-1

(T1>T2>0)

-T2s+1

（3）G(s)=

-T1s+1

(T1>T2>0)

T2s+1

解：根据定义，（1）系统是最小相位系统，（2）、（3）为非最小相位系统。系统的对数幅频特性均为

20lgG(jω)=20lgT1-20lgT2

其相频特性表达式分别为

（1）∠G(jω)=arctanωT1-arctanωT2 （2）∠G(jω)=-π-arctanωT1+arctanωT2 (3) ∠G(jω)=-arctanωT1+arctanωT2

--题6-49 题6-6图

最小相位系统相位变化最小。

6-7设单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)=

10

(0.2s+1)(0.02s+1)

试求闭环系统的Mr，ωr，ωb。 解：系统的闭环传递函数为

10

1010(0.2s+1)(0.02s+1)

GB(s)=== 2

(0.2s+1)(0.02s+1)+100.004s+0.22s+111+

(0.2s+1)(0.02s+1)

系统的零频幅值为A(0)=

1022

，其谐振频率为ωr=ωn-2ξ，ωn=2750，得出11

ωn=52.44系统阻尼比为ξ=0.5244，

则ωr=ωn-2ξ=35.18rad/s， 则A(ωr)=|

2

10

|=1.0180 2

0.004⋅(j35.18)+0.22⋅35.18j+11

所以Mr=

1.0181010

=1.1197，G(jωb)==0.707⋅20.004(jωb)+0.22⋅jωb+1111

11

ωb=65.2159rad/s

6-8有下列最小相位系统，通过实验求得各系统的对数幅频特性如图6-37图，试估计它们的传递函数。

2 2

/(rad⋅

s-1) -1/(rad⋅

s)

（a） （b）

图6-50 题6-8图

22/(rad⋅s

-1)

/(rad⋅s-1)

（c） （d）

解：系统的传递函数为

（a） 起始曲线为平线，故传递函数无积分环节，在ω=10rad/s，系统成向下

20dB/dec曲线，因此为惯性环节，所以传递函数为G(s)=

（b）

K10

=

(Ts+1)0.1s+1

起始曲线斜率为零，故不存在积分环节，转折点分别为0.05、0.1和0.5,斜率变化分别为－20dB/dec,-20dB/dec、－20dB/dec。因此分别为三个惯性环节的串连。所以传递函数为

G(s)=

（c）

K1110

⋅⋅=

T1s+1T2s+1T3s+1(20s+1)(10s+1)(2s+1)

起始曲线斜率为－20dB/dec，故有一个积分环节，转折点频率为5rad/s，斜率变化为－20dB/dec,故含有一个惯性环节。G(s)=

K50

=

s(0.2s+1)s(0.2s+1)

（d）

起始曲线为－20dB/dec，说明有一个积分环节，转折点分别为5rad/s、50rad/s,斜率变化均为－20dB/dec,故有两个惯性环节串连。故总的传递函数为：

G(s)=

K50

=

s(T1s+1)(T2s+1)s(0.2s+1)(0.02s+1)

6.7 考研水平提高题

6-9 已知系统的脉冲响应函数

g(t)=e-t

（1）试求系统的传递函数G(s)

（2）若输入为xi(t)=5sint，试求零初始条件下的系统输出xo(t)。 解（1）求G(s)

G(s)=L[g(t)]=L[e-t]=

(2)求xo(t)

G(jω)=

1 s+1

11

=∠-arctgω

21+jω+ω

故输出

xo(t)=

152

⋅5sin(t-arctg1)=sin(t-45 )

2+1

6-10 画出下列函数的Bode图。

G(s)=

1000(0.02s+1)(s+1)

2

s(0.2s+1)(s+15s+100)

解 把传递函数进行标准化处理，让每个因式中常数项变为1

G(s)=

1000(0.02s+1)(s+1)1000(0.02s+1)(s+1)

=

s(0.2s+1)(s2+15s+100)100s(0.2s+1)(0.01s2+0.15s+1)

=

10(0.02s+1)(s+1)

s(0.2s+1)(0.01s2+0.15s+1)

由传递函数可知，系统含有一个积分环节，过点（1，20lgK）做斜率为－20dB/dec的直线，其中K＝10；然后在该直线上经过转折点ω=1对应的直线交点做斜率变化＋20dB/dec的直线；再经过ω=5，做斜率变化－20dB/dec的直线；经过ω=10对应的直线焦点，做斜率变化－40dB/dec的直线；经过ω=50对应的直线焦点做斜率为－20dB/dec的直线。

20Lg|图6-51 幅频特性图

由系统中各环节对数相频特性叠加而得到系统的开环对数相频特性曲线，其中λ=

ω

。 ωn

∠G(jω)=-90 +arctanω-arctan5ω+arctan50ω-arctan

当ω=0时，∠G(jω)=-90 当ω=∞时，∠G(jω)=-180 画出相频特性的曲线

2ζλ

1-λ2

∠0

ω

-90-180图6-52 相频特性图

6-11 设单位负反馈系统的开环传递函数

G(s)=

9s(s+)

试求斜坡输入xi(t)=t时，系统的稳态误差ess和正弦输入xi(t)=3sin3t时系统的稳态输出xo(t)

解 系统的开环传递函数

G(s)=

933

=s(s+)s(+1)3

表明ν=1，K=

① 求斜坡输入下的稳态误差：由G(s)知，闭环系统显然是稳定的，因而计算稳态系统

误差是有意义的。

ess=

11===0.192 K39G(s)9

=，

1+G(s)s(s+)+9

② 求正弦输入下的稳态输出，由

GB(jω)=

其幅值比为GB(jω)=

9(9-ω2)2+3ω2

，相位差∠G(jω)=-arctan

ω2ζλ

λ=，，恰2ω1-λn

好输入频率与系统无阻尼固有频率相等。故相位的滞后角度为-90 得到稳态输出

xo(t)=3⨯3sin(3t-90 )

6-12 在图6-53所示的系统中，其中G(s)=

K

，H(s)=1当输入信号xi(t)=sin10t

s(Ts+1)

时，测得的输出信号为xo(t)=sin(10t-90 )，试求： ①系统阻尼比ζ及无阻尼自然振荡频率ωn； ②系统的超调量σ%及调节时间ts（∆=5%)

图6－53 控制系统

解 ①求ζ及ωn

系统闭环传递函数为

2

ωnKKGB(s)=2== 2

Ts+s+Ks2++s2+2ζωns+ωn

TT

于是有

2ωn=

K1

，2ζωn= TT

K(K-Tω2)+jω

系统闭环频率特性为

GB(jω)=

B(jω)=

由题意知

K(K-Tω)+ω

22

2

，∠GB(jω)=-arctan

ωK-Tω2

xo(t)=GB(j10)sin(10t+∠GB(jω))

=sin(10t-90 )

因而

GB(j10)=1，K2=(K-100T)2+100

∠GB(j10)=-90 ，arctan

联立求解得：

10

=90 ，K=100T

K-100T

K=10，T=0.1

从而

ωn=

1K

=0.5 =10，ζ=

2ωnTT

方法2：对于标准的二阶系统，只有输入系统的频率与无阻尼固有频率ωn相等时，才能够达到相位差为-90，此时系统的阻尼比为

11

=1，所以阻尼系数为ζ=0.5，同样无阻尼固有频率为。故

2ζ2ζ

ωn=10

②求σ%及ts

该系统为标准二阶系统，有

σ%=100e-πζ/

ts=

3

-ζ2

⨯100%=16.3%

ζωn

=

3

=0.6

0.5⨯10

6-13 设某单位负反馈系统的开环传递函数为

G(s)=

K

s(s+a)

令GB(jω)代表系统的闭环频率特性；ωn代表系统的无阻尼振荡频率；ωr代表系统的谐振频率；xi(t)为系统输入；xo(t)为系统输出。现已知

B(jωn)=1，ωr=0.707，xi(t)=1+3sin3t

试求：参数K与a以及系统稳态输出xoss(t) 解 由

2ωnK

G(s)==

s(s+a)s(s+2ζωn)

2

有K=ωn，a=2ζωn。闭环传递函数

2

ω GB(s)=2

2

s+2ζωns+ωn

令s=jω,ω=ωn，得

GB(s)=-j

1 2ζ

由题意，B(jωn)=因为

1

=1，故得ζ=0.5。 2ζ

ωr=ωn-2ζ2

代入ζ=0.5及ωr=0.707，解得ωn=1。于是

2

K=ωn=1，a=2ζωn=1

开环传递函数

G(s)=

1

s(s+1)

闭环传递函数为

GB(s)=

因

1

s2+s+1

xi(t)=1+3sin3t=x1(t)+x2(t)

当x1(t)=1时，稳态输出

1

xoss1(t)=lims⋅GB(s)⋅=limGB(s)=GB(0)=1

s→0ss→0

当x2(t)=3sin3t时，因

G(j3)=

11-ω+jωω=3

2

=

1(-8)2+32

∠110.5 =0.117∠110.5

稳态输出

xoss2(t)=3⨯0.117sin(3t-110.5 )=0.351sin(3t-110.5 )

由于是线性系统，故得

xo(t)=xoss1(t)+xoss2(t)=1+0.351sin(3t-110.5 )

6-14 设某最小相位系统开环传递函数对数幅频特性图曲线如图6-54所示。 ①写出该系统的开环传递函数G(s)； ②判断闭环系统是否稳定，并说明理由。

20lgGH

①根据初始斜率为－40dB/dec，可知系统为II型系统，且20lgK=20,故K＝10；转折点频率分别为1、10、50、100且变化幅度均为20dB/dec。故其传递函数为

G(s)=

②判断闭环函数的稳定性

10(s+1)(0.1s+1)

s(0.02s+1)(0.01s+1)

因为截止频率ωc=500，系统为最小相位系统，故相角裕度

γ=180 +∠G(jωc)

=180 +(-180 +arctan500+arctan50-arctan10-arctan5) =15.7 >0 故闭环系统稳定。

6-15已知单位反馈系统的开环传递函数为

100e-τs

G(s)=

s(s+1)(s+10)

①绘出τ=0时系统的开环对数幅频渐近特性曲线，并判断闭环系统的稳定性； ②确定τ≠0时，使系统稳定的τ值范围。

解 ①τ=0时系统的开环对数幅频特性及闭环系统的稳定性

G(s)=

低频段：

505

=

s(s+1)(s+10)s(s+1)(0.1s+1)

10

，K=5，20lgK=14dB s

ω1=1，斜率变化－20

ω1=10，斜率变化－20

系统的开环对数幅频渐近线特性曲线如图6-55所示。

图6-55 开环对数幅频渐近特性曲线

由于

20lgK-0

=-40，ωc==2.236

lg1-lgωc

相角裕度

γ=180 -90 -arctanωc-arctan

γ=11.49

故闭环系统稳定。 ②使系统稳定的τ值范围 令

ωc10

⋅τ⋅ωc=γ πγ⋅πτ==0.0897

180⋅ωc

故使得系统稳定的τ值范围

180

0≤τ