1-5高次不等式.分式不等式的解法
有理高次不等式、分式不等式的解法
〖教学目的〗通过本小节的学习,使学生达到以下要求:
(1) 掌握一元高次不等式的解法:数轴标根
法;
(2) 能把简单的有理分式不等式转化为一元
高次不等式;
〖教学重点与难点〗
重点是一元高次不等式的解法:数轴标根法;
难点是确定各区间中各因式的符号﹒
〖教学过程〗
本节先复习一元二次不等式的解法,特别强调解一元二次不等式的一般步骤;通过利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法,引入一元三次不等式的解法:数轴标根法;
( 也可把高次不等式转化为低次不等式组,结合集合的应用有关知识解不等式 ﹒)
1、引入新课:
首先复习一元二次不等式的解法,解一元二次不等式的一般步骤﹒再结合具体例子,讲述一元高次不等式的解法﹒
例 1 解不等式 ( x-1 ) ( x-2 ) ( x-3 )<0
如上图:将方程( x-1 ) ( x-2 ) ( x-3 )= 0的三个根在数轴上标出,再分别讨论当x 在区间(3 ,+∞),(2,3), (1,2),(-∞,1) 上时,函数
f(x)= ( x-1 ) ( x-2 ) ( x-3 )值的符号,得出原不等式的解集﹒(这种方法就叫数轴标根法﹒)
2x -10x +11≤12例 2 解不等式 x -6x +8
解 将原不等式变形为
(x -1)(x -3)≤0整理,化简,得 x -2x -4, 2x 2-10x +11-1≤0x 2-6x +82 ,
即 ( x-1 ) ( x-2 ) ( x-3 ) ( x-4 )≤0 且 x≠2,x ≠4
利用数轴标根法,得原不等式的解集为 {x |1≤x
注意:在数轴上,对分界点(零点)是空心点,还是实心点,要特别小心﹒
2、一元n 次不等式
(x-a1)(x-a2)…(x-a n ) >0,
(x-a1)(x-a2)…(x-a n ) <0,
其中a 1<a 2<…<a n .
把a 1,a 2,…an 按大小顺序标在数轴上,则不等式的解的区间如图所示:
3、分式不等式
(x -a 1)(x -a 2) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(x -a n ) >0(x -b 1)(x -b 2) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(x -b m )
( a i ,b j 互不相等)
把a 1,a 2,…,a n 和b 1,b 2,…,b m 按照从小到大的顺序标在数轴上,该分式不等式的解的区间的情况与(3)中所述类似,分n+m为奇数或偶数在数轴上表示.
4、解高次不等式、分式不等式的一般步骤: ① 先把分式不等式转化成高次不等式; ② 把高次不等式的最高项系数变为正; ③ 再分解因式;
④ 把相应的根在数轴上标出来;不等式能
取到的根,要用实心点;不能取到的根,
要用空心点;
⑤ 在相应的区间中,判别各因式的符号,
进而确定各因式积的符号;
⑥ 用集合表示不等式的解集;
〖课堂练习〗
解不等式
2 2 1、( x-7x + 12 ) ( x+ 5x + 6 )>0 (x -a 1)(x -a 2) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(x -a n )
4-x ≥022、x +7x +12 2
x
x -4x +1
〖课堂小结〗
总结、复习高次不等式、分式不等式的解法和一般步骤.
〖布置作业〗
解下列不等式
2 1、( x + 2 )( 4 x + 8 x-5 )<0
2、
3、x 2-3x +2≤0x 2-2x -3x 2+2x -2
4、( x -1 ) ( x -2 ) ( x -3 ) ( x -4 )≤120
(x -3)(10-x ) 35、(x -1) x 2≥0
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