船舶非线性参激横摇运动的分析

　总第175期水运科技信息1999年第4期

船舶非线性参激横摇运动的分析

张　兢

(武汉交通科技大学航运学院　武汉　430062)

摘　要　应用非线性振动理论中的摄动法, 求出了描述参激横摇运动的非线性方程的解, 并分析解的稳定性。结果表明, 参激横摇运动具有明显的非线性特征。关键词　参激横摇运动　摄动法　非线性振动理论

1　引言

β+D (ΗαΗ, t ) +R (Η, t ) E (t ) +W (t )

(1)

由于纵摇或垂荡对横摇的耦合作用, 或由于波浪的周期性干扰, 矩的周期性变化。。由参数激, 称为参激横摇。在一定的条件下, 参激横摇会变得不稳定, 导致增幅横摇运动。这种现象就是横摇参数共振,

参激横摇运动及参数共振现象, 是当前国际上关于船舶稳性和耐波性研究的热门课题之一。描述参激横摇运动的主要数学模型是M ath ieu 方程。但是M ath ieu 方程描述的是一个单自由度的时变线性系统。而参激横摇是一个大摇幅的非线性问题, 用线性模型来研究大角度的非线性横摇问题, 显然不尽合理。因此, 本文采用非线性参激横摇运动方程作为研究的基础, 用非线性振动理论中的摄动法, 分析参激横摇运动的基本特性, 探索它的运动规律。2　运动方程

t —;

α=d ΗΗ d t ——横摇角速度; β=d 2ΗΗ d t 2——横摇角加速度。

α) 代表横摇阻尼力矩, 它是横摇角速D (Η

度的函数, 阻尼力矩的常用模式有三种:线性模式、线性加平方模式和线性加立方模式。本文采用第三种模式, 即

3α+n 3Ηα) =n 1ΗD (Η

(2)

式中:n 1和n 3分别为线性阻尼系数和非线性阻尼系数, 通过船舶横摇衰减试验来确定。

R (Η, t ) 代表横摇回复力矩, 它是横摇角

和时间的函数。R (Η, t ) 由两部分组成:第一部分是船舶在静水中的回复力矩, 与时间无

35

关。其形式为

Ξ2。式中的ΞΗΗ+b 3Η+b 5Η+…

是横摇固有频率, 各项系数可通过拟合大倾角稳性曲线求得。第二部分是回复力矩变化项。可近似认为是时间的周期函数, 其形式为

q co s Ξc t Η。式中的Ξc 是船舶的遭遇频率; q 称

为参激参数, q 值反映了纵摇或垂荡对横摇的耦合作用, 或体现了波浪(随浪或尾斜浪) 对横摇回复力矩的影响。因此有:

35

R (Η, t ) =Ξ2Η+b 3Η+b 5Η+

根据船舶的受力分析, 可写出下列形式的横摇运动方程:

收稿日期:1999205215

…+q co s Ξc t Η(3)

第4期　　　　　　　　　　张　兢:船舶非线性参激横摇运动的分析39

E (t ) 是波浪干扰力矩。为了着重研究参激横

　　Ξc =2(ΞΗ+ΕΡ) Η″0+Η0=0

(2) [-2ΞΗΡΗ　　Η″″1+Η1=0-ΞΗ

3

ΞΗn 1Η′b 3Η0-0-　q co s2(Σ+Β) Η0](2) [-2ΞΗΡΗ　　Η″″2+Η2=1-ΞΗΡ2Η″ΞΗn 1Η′0-1-324Ξ3′3b 3ΗΗn 3Η0-0Η1-

(9) (10)

摇运动, 假设此项为零。对于随浪情况, 这一假设是正确的, 从下面的分析也将看到, 对于耦合情况, 这一假设也是合理的。

W (t ) 是风倾干扰力矩。在分析船舶摇荡

代入式(7) , 并按照量级分别写出如下方程:

运动时, 一般暂不考虑它。综上所述, 方程(1) 可简化为:

β+n Ηαα323

　　Η1+n 3Η+ΞΗΗ+b 3Η+

b 5Η+…+q co s Ξc t Η=0

5

(11)

(4)

这是一个二阶非线性微分方程。它描述了船舶的非线性参激横摇运动。3　非线性方程的解及其稳定性

q co s2(Σ+Β) Η1](12)

　　式(10) , 其周期为2Π的2) -Β](13) =a s[(Ξa t Ηa 和Β由Η1的周期性条件确定。

将式(13) 代入式(11) 得:

(2) [2ΞΗΡΗ　　Η″1+Η1=a co s Σ+ΞΗ

3

ΞΗn 1Ηb 3Ηa sin Σ-a co s Σ-4

q Ηco s2Βco s Σ-a (

2(14) sin2Βsin Σ) +…]

2　　Η1的周期性条件是方程(14) 的等号右边不包含主谐波成分, 即co s Σ和sin Σ的系数应为零:

2ΞΗΡΗa -3

b 3Ηa -4

q Ηa co s2Β=02

以下用摄动法研究非线性参激横摇运动方程(4) 的解及其稳定性。的研究, , 一般来说非线性微分方程的准确解析解。本文所采用的摄动法是一种近似方法, 所得到的解是近似解析解。因此, 下面的若干处理是方法本身所要求的。

根据对横摇各力矩项的量级分析, 采用常规的小参数方法, 将式(4) 写成如下形式:

β+Ε32α2αΗn 1Η+Εn 3Η+ΞΗΗ+

Εb 3Η+…+Εq co s Ξc t Η=0

3

(5)

式中:0

引进无量纲时间:

Σ=(Ξc t 2) -Β

　　将式(5) 改写成:2

Ξc Η″+4

3

ΞΗn 1Ηa +

(6)

2

(1) 　Ηa =0

q Ηa sin2Β=02

(15)

q

-2

2

4n 21ΞΗ)

　　上式有关于Ηa 和Β的两组解:

ΕΞc n 1Η′+2223ΕΞc n 3Η′+Ξ2Η+8

(7) (8)

(2) 2

(2 Η3b 3) (4ΞΗΡ±a =

Εb 3Η+…+Εq co s2(Σ+Β) =0

2

令　Η=ΗΗ0+Ε1+ΕΗ2+…

2

(b 3Ηtg2Β=n 1ΞΗ2ΞΗΡ) a -4

(16)

式中:Η′, Η″分别为Η对Σ的一阶和二阶导数。

用Η2的周期性条件还可以求出式(11)

40张　兢:船舶非线性参激横摇运动的分析　　　　　　　　　　第4期

的Η。同上述道理, 略去一阶以上的小1的解

量, 认为式(5) 的解就是Η0, 即:

Η=ΗΒ](17) 0=Ηa co s[(ΞΗ+Ρ) t -　　现分析解的稳定性如下, 稳定性判据为:

M 0　　

r 00　　解稳定

　　①当b 3

　　　M 10, Η。a2为稳定解　　②当b 3>0时,

　　　M 1>0, Ηa1为稳定解; 　　　M 2

图1是参激横摇运动方程的解及其稳定性图例。在该图中, (a ) 是b 3

是b 3>0的情况。以(a ) 为例, (a -1) 和(a -2) 是参激横摇的幅频响应曲线, (a -3) 描述了零解的稳定和不稳定区域。

对于式(5) , 可求得:

r 0=(-8 Ξ2Η) (ΞΗ+Ρ) n 1

22

M =4(2ΞΗΡ-b 3Ηa +4n 1ΞΗ) -222

(q co s2Η-(q sin2Η) 2b 3Ηa ) -2

　　因为只要n 1>0, r 0就总是负值, 的阻尼系数n 1, (1) , 即式(15) , Ηa 0=0,

2222

有:M =(16ΞΗΡ+4n 1Ξ0-q ) 　　可分两种情况:

①当q 0, 为稳定零解; ②当q >2n 1ΞΗ时, 又可分两种情况:a . 2∆ >(1 2ΞΗ) 0, 为稳定零解;

b . 2∆

(2) 对于第二组解, 即式(16) , 要求

q >2n 1ΞΗ, 且:

q -2

2

4n 21ΞΗ, M

q -

2

24n 21ΞΗ, M >

图1　非线性方程的解及其稳定性

4　非线性参激横摇运动分析

现将非线性参激横摇运动方程(5) 的解及其稳定性综合分析如下:

2

1

2

Ηa =

2

(2 Η3b 3) (4ΞΗΡ+a 1=

2

2

(2 Η3b 3) (4ΞΗΡ-a 2=

q -q -2

2

4n ΞΗ)

2

4n 21ΞΗ)

(1) 在Ξc =2ΞΗ的附近, 方程(5) 有解:

Η=ΗΒ]a co s[(ΞΗ+Ρ) t -2

(b 3Ηtg2Β=ΞΗ

n 12ΞΗΡ) a -4

(18)

相应有:

M =

M 1

2

=6b 3ΞΗΗa 2=-6b 3ΞΗΗa

　　根据不同的条件, 可有一个零解和两个

q -22

2

4n 21ΞΗ

2

4n 21ΞΗ

非零解:零解:

Ηa =Ηa0=0

q -2

2

4n 21ΞΗ)

2

q -

(19)

2

(2 非零解:Η3b 3) (4ΞΗΡ±a =

第4期　　　　　　　　　　张　兢:船舶非线性参激横摇运动的分析

22

(1 或:Η3b 3) (Ξc -4Ξ2a =Η±

41

q -

2

n 1Ξc )

22

是一阶小量, 出现参数共振时, 横摇是以其固有频率而不是以遭遇频率作周期性振荡运动, 并与参数激励之间有一相位差Β。

(7) 非零解呈现非线性特征, 非零解的

(2) q m 是参激横摇稳定性临界点, 或称

之为参数共振门槛值, 它是衡量船舶自身稳定能力的一个重要指标, 且:

q m =2n 1ΞΗ=2n 1

幅值与参激参数q 、横摇阻尼n 1, 横摇固有频

(J X X +△J X X ) △GM

(20)

率ΞΗ和回复力矩的非线性系数b 3有关, 其幅频响应曲线依b 3的正、负号而向右或左倾斜。当b 3→0时, Ηa →∞, 这实际上就是线性参激横摇出现参数共振时的分析结果。

(8) 非线性参激横摇的跳跃现象。以图1(b -2) 为例来说明, 不稳定非零解对应稳

式中:&——船舶的排水量;

GM ——初稳性高度;

J xx ——船舶对过重心之纵轴的质量惯

距;

&J xx ——水的附加质量惯距。由式(20) 可知, q m 值在船型和载况确定以后是横摇阻尼和初稳性高度的函数。

(3) 定零解, 稳定非零解的E , EB 段对应于稳定

Ξc 不变时,A E 段可由于零解的不稳定而增幅达到, 而EB 段则不会出现。当Ξc 变化时, EB 段则是可能出现的。当Ξc 连续逐渐增加时, 在A 点以前, 只有零解; 到达A 点后将会出现非零解, 其幅值随Ξc 的增加而沿AB 段不断增大直到B 点。在B 点, 非零解将丧失稳定性而跳跃到c 点的稳定零解。反之, 如果Ξc 连续逐渐减小, 在D 点以前一直是稳定零解。到达D 点时, 零解已不稳定而出现参数共振, 跳跃到E 点。此后, 随着Ξc 的减小, 参振幅值沿EA 段逐渐减小, 到达A 点, 参数共振消失。

参激横摇运动及其参数共振对船舶的安全航行是十分有害的, 对某些船舶来说, 参数共振时的横摇角可达30～40°, 甚至导致船舶倾覆。

本文用非线性振动理论中的摄动法, 分析了非线性参激横摇运动的稳定性, 获得了它的频域响应, 并阐述了参激横摇的若干重要特性。与线性分析相比, 非线性分析能得到更多的信息, 体现了参激横摇运动的本质特征, 所得到的结果更符合实际。这一点已初步得到船模试验的证实。

析结果类似。q 激参数, 。当q

q m 时, , 不会出现参数共振, 见

图1(a -1) 等, 是q q m 时, 分为两种情况:

①在区间 2Ρ >零解仍然是稳定的;

②在区间 2Ρ

q -2

2

4n 22ΞΗ内1ΞΗ

q -

2

24n 22ΞΗ内, 1ΞΗ

零解不稳定, 会出现参数共振。见图1(a -2) 等, 是q >q m 时的参激横摇幅频响应曲线。

(4) 非零解有两个, 只有当q >q m 时, 才

会出现, 非零解总有一个是稳定的, 另一个是不稳定的, 其幅频响应曲线见图1((a -2) 等。

(5) 当q 值处于不稳定区内时, 零解不

稳定。在船舶受到扰动后, 会发生参数共振, 横摇幅值逐渐增大, 但不会象线性情况那样增至无限大, 而是达到稳定非零解, 也就是说, 在一般情况下, 非线性横摇的参数共振幅值为有限值。

(6) 从解的表达式中可以看出, 由于∆