最新人教版高一数学必修1:知识点总结整理

高一数学必修一各章知识点总结整理

第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性：

(1) 元素的确定性如：世界上最高的山

(2) 元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3. 集合的表示：{ „ } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋, 大西洋, 印度洋, 北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆ 注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集） 记作：N

正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

1） 列举法：{a,b,c„„}

2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}

3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4） Venn 图:

4、集合的分类：

(1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合

(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系 1. “包含”关系—子集

注意：A ⊆B 有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合。

/B 或B ⊇/A 反之: 集合A 不包含于集合B, 或集合B 不包含集合A, 记作A ⊆

2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集。A ⊆A

②真子集:如果A ⊆B, 且A ≠ B那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A ③如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C ④ 如果A ⊆B 同时 B⊆A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 ◆ 有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n-1个真子集

B(或B A)

例题：

1. 下列四组对象，能构成集合的是 （ ）

A 某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2. 集合{a，b ，c }的真子集共有 个

2

3. 若集合M={y|y=x-2x+1,x∈R},N={x|x≥0}，则M 与N 的关系是 . 4. 设集合A={x 两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。

6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= . 7. 已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A ∩C=Φ，求m 的值

二、函数的有关概念

1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

注意：

1．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的. 那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 域一致 (两点必须同时具备)

(见课本21页相关例2) 2．值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A) 中的x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P (x，y) 的集合C ，叫做函数 y=f(x),(x ∈A) 的图象．C 上每一点的坐标(x，y) 均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x 、y 为坐标的点(x，y) ，均在C 上 . (2) 画法 A 、 描点法： B 、 图象变换法

常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换

4．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间

（3）区间的数轴表示． 5．映射

一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。记作“f （对应关系）：A （原象）→B （象）” 对于映射f ：A →B 来说，则应满足：

(1)集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的； (2)集合A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。 6. 分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A), 则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f 、g 的复合函数。

二．函数的性质

1. 函数的单调性(局部性质) （1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1

如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法：

1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1

2 作差f(x1) －f(x2) ； ○

3 变形（通常是因式分解和配方）； ○

4 定号（即判断差f(x1) －f(x2) 的正负）； ○

5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． ○

(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性

复合函数f [g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8．函数的奇偶性（整体性质） （1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇偶性的步骤：

1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○

2确定f(－x) 与f(x)的关系； ○

3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x) －f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－○

x) =－f(x) 或 f(－x) ＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数. 若对称，(1)再根据定义判定; (2)

由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式

（1）. 函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○

2 利用图象求函数的最大（小）值 ○

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： ○

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； 例题：

1. 求下列函数的定义域：

⑴y

⑵y =2. 设函数f (x ) 的定义域为[0，1]，则函数f (x 2) 的定义域为_ _

3. 若函数f (x +1) 的定义域为[-2，3]，则函数f (2x -1) 的定义域是4. 函数

⎧x +2(x ≤-1) ⎪ ，若f (x ) =3，则x f (x ) =⎨x 2(-1

5. 求下列函数的值域：

⑴y =x 2+2x -3 (x ∈R ) ⑵y =x 2+2x -3 x ∈[1,2]

(3)y =x

y =6. 已知函数f (x -1) =x 2-4x ，求函数f (x ) ，f (2x +1) 的解析式

7. 已知函数f (x ) 满足2f (x ) +f (-x ) =3x +4，则f (x ) = 。

8. 设f (x ) 是R 上的奇函数，且当x ∈[0,+∞) 时

, f (x ) =x (1, 则当x ∈(-∞,0) 时f (x ) f (x ) 在R 上的解析式为 9. 求下列函数的单调区间：

⑴ y =x 2+2x +3

⑵y ⑶ y =x 2-6x -1 10. 判断函数y =-x 3+1的单调性并证明你的结论．

2

1+x 11. 设函数f (x ) =判断它的奇偶性并且求证：f (1) =-f (x ) ． 21-x x

第二章 基本初等函数 一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果x n =a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．