2015广东高考数学试题含解析

2015广东高考数学试题

一．选择题（共8小题）

225．（2015•广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从6．（2015•广东）若变量x ，y 满足约束条件 ，则z=3x+2y的最小值为（ ） 7．（2015•广东）已知双曲线C ： - =1的离心率e= ，且其右焦点为F 2（5，0），则双二．填空题（共7小题） 9．（2015•广东）在（-1）4的展开式中，x 的系数为 ． 10．（2015•广东）在等差数列{an }中，若a 3+a4+a5+a6+a7=25，则a 2+a8= ． 11．（2015•广东）设△ABC的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a=，sinB= ，C= ，则b= ． 12．（2015•广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 13．（2015•广东）已知随机变量X 服从二项分布B （n ，p ），若E （X ）=30，D （X ）=20，则P= ． 14．（2015•广东）已知直线l 的极坐标方程为2ρsin（θ- ）=，点A 的极坐标为A （2， ），则点A 到直线l 的距离为 ． 15．（2015•广东）如图，已知AB 是圆O 的直径，AB=4，EC 是圆O 的切线，切点为C ，BC=1．过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于D 和点P ，则OD= ．

三．解答题（共6小题）

16．（2015•广东）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=（x ∈（0，

）．

，-），=（sinx ，cosx ），

（1）若⊥，求tanx 的值； （2）若与的夹角为

，求x 的值．

（1）用分层抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据； （2）计算（1）中样本的均值和方差s 2；

（3）36名工人中年龄在-s 和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？

18．（2015•广东）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E 是CD 的中点，点F 、G 分别在线段AB 、BC 上，且AF=2FB，CG=2GB． （1）证明：PE⊥FG；

（2）求二面角P-AD-C 的正切值；

（3）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值．

19．（2015•广东）设a ＞1，函数f （x ）=（1+x2）e x -a ． （1）求f （x ）的单调区间；

（2）证明f （x ）在（-∞，+∞）上仅有一个零点；

（3）若曲线y=f（x ）在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m ，n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：m ≤

-1．

20．（2015•广东）已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A ，B ． （1）求圆C 1的圆心坐标；

（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；

（3）是否存在实数 k ，使得直线L ：y=k（x-4）与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．

21．（2015•广东）数列{an }满足：a 1+2a2+…nan =4-（1）求a 3的值；

（2）求数列{an }的前 n 项和T n ； （3）令b 1=a1，b n =S n ＜2+2lnn．

+（1+++…+）a n （n ≥2），证明：数列{bn }的前n 项和S n 满足

，n ∈N +．

2015广东高考数学试题 参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

22 5．（2015•广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从

7．（2015•广东）已知双曲线C ： -=1的离心率e=，且其右焦点为F 2（5，0），则双

二．填空题（共7小题） 9．（2015•广东）在（-1）4的展开式中，x

的系数为 6 ． 10．（2015•广东）在等差数列{an }中，若a 3+a4+a5+a6+a7=25，则a 2+a8= 10 ． 11．（2015•广东）设△ABC的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a=C=，则b= 1 ．

，sinB=，

12．（2015•广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 1560 条毕业留言．（用数字作答） 13．（2015•广东）已知随机变量X 服从二项分布B （n ，p ），若E （X ）=30，D （X ）=20，则P= ． 14．（2015•广东）已知直线l 的极坐标方程为2ρsin（θ-），则点A 到直线l 的距离为 ．

）=，点A 的极坐标为A （2，

15．（2015•广东）如图，已知AB 是圆O 的直径，AB=4，EC 是圆O 的切线，切点为C ，BC=1．过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于D 和点P ，则

OD=

8 ．

三．解答题（共6小题） 16．（2015•广东）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=（，-），=（sinx ，cosx ），x ∈（0，）．

（1）若⊥，求tanx 的值；

（2）若与的夹角为，求x 的值．

（1）用分层抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据； （2）计算（1）中样本的均值和方差s 2；

（3）36名工人中年龄在-s 和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？ 第11页（共15页）

18．（2015•广东）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E 是CD 的中点，点F 、G 分别在线段AB 、BC 上，且AF=2FB，CG=2GB． （1）证明：PE⊥FG；

（2）求二面角P-AD-C 的正切值；

（3）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值．

第12页（共15页）

19．（2015•广东）设a ＞1，函数f （x ）=（1+x2）e x -a ． （1）求f （x ）的单调区间；

（2）证明f （x ）在（-∞，+∞）上仅有一个零点；

（3）若曲线y=f（x ）在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m ，n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：m ≤-1． 第13页（共15页）

20．（2015•广东）已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A ，B ． （1）求圆C 1的圆心坐标；

（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；

（3）是否存在实数 k ，使得直线L ：y=k（x-4）与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．

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21．（2015•广东）数列{an }满足：a 1+2a2+…nan =4-（1）求a 3的值；

，n ∈N +．

（2）求数列{an }的前 n 项和T n ； （3）令b 1=a1，b n =+（1+++…+）a n （n ≥2），证明：数列{bn }的前n 项和S n 满足S n ＜2+2lnn．

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