直线二级倒立摆文档

一、直线二级倒立摆的特点

直线二级倒立摆是一个典型的非线性、高阶次、多变量、强耦合的不稳定系统。首先我们通过二级倒立摆的机械结构来推导其数学模型，然后进行模型的线性化，最后得到系统的线性状态空间模型。直线二级倒立摆是一个开环不稳定的系统，因此我们需要设计控制器来控制小车运动从而使两级摆杆都保持与地面垂直状态。在控制直线二级倒立摆的过程中能够有效地反映控制中的许多关键问题，如系统的非线性、鲁棒性等，因此对倒立摆的研究一直是控制领域中经久不衰的课题。对于直线二级倒立摆常用的经典控制方法有LMI控制和PID控制，现代控制方法有LQR控制和极点配置法，还有H无穷控制、模糊控制等等。

二、直线二级倒立摆的结构和工作原理

图. 1

直线二级倒立摆系统主要由以下几部分组成，如图 1所示。其机械本体主要包括底座（导轨）、小车、驱动小车的交流伺服电机、同步皮带、一级摆杆、二级摆杆、限位开关及光电码盘等。通过控制交流伺服电机，带动皮带转动，在皮带的带动下小车可以在导轨上运动从而控制两级摆杆的运动状态。交流伺服电机带有光电式脉冲编码盘，根据脉冲数目可得出工作轴的回转角度，由传动比换算出小车直线位移。在小车的运动导轨上有用于检测小车位置的传感器，小车位置的信号被传送给控制系统，通过控制算法计算出控制量控制电机，从而控制小车的位置，使两级摆杆垂直于水平面。我们的目的是设计一个控制器，通过控制电机的转动，使两级摆杆稳定在垂直于水平面的位置。

三、直线二级倒立摆的数学模型

若忽略空气阻力和各种摩擦力之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和质量均匀的摆杆组成的系统，如图. 2所示。

我们做如下假设： M —— 小车质量

m1 —— 一级摆杆质量 m2 —— 二级摆杆质量

θ1 —— 一级摆杆与垂直向上方向的夹角（摆杆初始位置为垂直向下） θ2 —— 二级摆杆与垂直向上方向的夹角（摆杆初始位置为垂直向下） x —— 小车的位移

L —— 一级摆杆和二级摆杆转轴之间的距离 l1 —— 一级摆杆转动轴心到一级摆杆质心的长度 l2 —— 二级摆杆转动轴心到二级摆杆质心的长度 F —— 加在小车水平方向上的外力 b —— 小车与导轨间滑动摩擦系数 b1 —— O1转动摩擦阻力矩系数 b2 —— O2转动摩擦阻力矩系数 I1 —— 一级摆杆对其质心的转动惯量 I2 —— 二级摆杆对其质心的转动惯量

图. 2

由于Lagrange方程是以能量观点建立起来的运动方程式，列出系统的运动方程式只需从两个方面去分析，一个是表征系统运动的动力学量，系统的动能，另一个是表征主动力作用的动力学量，广义力。故对于复杂系统的数学建模常采用Lagrange方程来求解系统的动力学方程，其具有概念清晰、具有一般性和可以简化建模过程等优点。

对于同时受到保守力和损耗力作用的直线二级倒立摆系统的Lagrange方程为：

dTTVD

Fqi (1) iqiqiqidtq

其中，qi为广义坐标，此处为小车的位移x和各级摆杆的角度θ1、θ2；Fqi为作用在系统上的广义力，当q0=x时，Fqi=F；当q0=θ1,θ2时，Fqi=0；即：

dTTVD

F (2) 

xxxdtx

dTTVD (3)

0dt1111dTTVD0 (4) dt2222

T、V、D分别是系统的动能、势能和损耗能，表达式分别为：

TTi , VVi , DDi (5)

i0

i0

i0

nnn

n为倒立摆的级数（此处n=2）；Ti为小车和各级倒立摆的动能；Vi为小车和各级倒立摆的势能，Di为小车和各级倒立摆的损耗能。 小车动能：

T0

一级摆杆动能：

1

2 (6) Mx2

22

121dd

T1I11m1xl1sin1l1cos1 (7)

22dtdt

二级摆杆动能：

22

121dd

T2I22m2xLsin1l2sin2Lcos1l2cos2 (8)

22dtdt

小车势能：

V00 (9)

一级摆杆势能：

V1m1gl1cos1 (10)

二级摆杆势能：

2

V2m2gLcos1l2cos2 (11)

小车损耗能：

12

 (12) D0bx2

一级摆杆损耗能：

12

D1b11 (13)

2

二级摆杆损耗能：

12 (14) D2b2212



对于直线二级倒立摆，由式(5)得系统的总动能：

TT0T1T2



1121Iml22 (15) 2I1m1l12m2L2Mm1m2x12222222

 m2Ll2sin2112m1l1m2Lxcos11m2l2xcos22



系统的总势能：

VV0V1V

系统的总损耗能：

2

m1gl1cos1m2gLcos1l2cos2

 (16)

DD0D1D2

(17) 121212b11b2bx21

222



故，对于小车，将式(15)、(16)和(17)带入式(2)得

mlcosm1l1m2Lcos1Mm1m2x12222

(18)

2m1l1m2Lsin11m2l2sin22Fbx

对于一级摆杆，将式(15)、(16)和(17)带入式(3)得

mlLcosI1m1l12m2L2m1l1m2Lcos1x122212

(19)

b1b21b2m2l2Lsin2122m1l1m2Lgsin1

对于一级摆杆，将式(15)、(16)和(17)带入式(4)得

Iml2m2l2Lcos21m2l2cos2x12222

(20)

mlLsinbbmglsin



222112





122222

写成矩阵向量的乘积形式：

x

Q,,,P1,2112122



x

GF,, (21)

121

2

其中

Mm1m2

P1,2m1l1m2Lcos1

m2l2cos2

m1l1m2Lcos1

m2l2Lcos21I1m1l12m2L2

m2l2cos2

m2l2Lcos21 (22)

2

I2m2l2

bm1l1m2Lsin11

,0Q1,2,b1b212

b0m2l2Lsin2112



m2l2sin22

b (23) m2l2Lsin2122

b2



F

 (24)

GF,1,2mlmLgsin1121m2gl2sin2

从式(21)可以看出，直线二级倒立摆是一个多变量、复杂的非线性系统。为了便于控制策略的研究，对模型在平衡点附近进行线性化处理。选取平衡点为：

0 1212

则有：

sin11 , sin22 , cos11 , cos21

sin2121 , cos211

P(θ1,θ2)是对称阵，对于实际问题，P(θ1,θ2)还应该是正定的，因此，P-1(θ1,θ2)存在。若忽略二阶以上的高次项，用u代表被控对象的输入力F，则式(21)、(22)、(23)和(24)变为

xxQ0,0,0,0Gu,0,0 (25) P0,01122

其中

Mm1m2

m1l1m2L

m2l2P0,0m1l1m2L

I1m1l22

1m2Lm2l2L 

m2l2m2lI2 2L

2m2l2

b

00

Q0,0,0,00b1b2

b2 0b2

b2

u00

0x1Gu,0,0m1l1m2Lg10m1l1m2Lg

0

m2gl220



10u m2gl220

若设

0

0N0,00

m1l1m2Lg

00

 m2gl2

则

x1GF,0,0N0,0

10u 

20

故式(21)可变为

xx

1P10,0Q0,0,0,0P10,0Gu,0,0122

xx1 P10,0Q0,0,0,01P10,0N(0,0)P10,00u1220

若设定如下状态：

x1x，x21，x32，x4x，x51，x62

其中

x1 —— 小车相对于初始位置的位移

(26)

(27) (28)

(29)

x2 —— 一级摆杆（下摆杆）的转角 x3 —— 二级摆杆（上摆杆）的转角 x4 —— 小车的速度

x5 —— 一级摆杆（下摆杆）的角速度 x6 —— 二级摆杆（上摆杆）的角速度 根据式(21)建立系统的非线性状态空间方程

x

1x4x2x5

3x6x5m2l2cosx3x6mlm2Lcosx2xbx4411x

Mm1m2Mm1m2Mm1m2

22m1l1m2Lsinx2x5m2l2sinx3x6u

 

Mm1m2Mm1m2Mm1m2



64m2l2Lcosx3x2xb1b2x5mlm2Lcosx2xx511

I1m1l12m2L2I1m1l12m2L2I1m1l12m2L2

 m2l2Lsinx3x2x6b2x6m1l1m2Lgsinx2I1m1l12m2L2I1m1l12m2L2

4m2l2Lcosx3x2x5m2l2cosx3xb2x6

x2226

I2m2l2I2m2l2I2m2l2



m2l2Lsinx3x2x5b2x5m2gl2sinx3

22I2m2l2I2m2l2

则根据式(25)可得到如下的状态空间方程：

AXBuX

YCX

其中

Xx1

x2x3x4x5

x6

T

033A

A21I33

A22

A21P10,0N(0,0) A22P10,0Q0,0,0,0 BP10,0100

T

CI66

若其中参数取如下值

M0.52kgm10.33kgm20.42kgL0.36ml10.18ml20.18mb12.5Ns/mb10.0075Ns/mb20.0027Ns/mI10.003564kgm2I20.004536kgm2

则参数矩阵为

001000

000010000001A

1.282120.29450.06240.02011.689

0114.845244.356270.79480.72920.31190123.5638102.025521.63170.98250.5335B0001.62365.66361.7305

T

四、演示算法：LQR控制方法

在Command Window中输入

A=[0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1;0 -11.689 1.2821 -20.2945 0.0624 -0.02;0 114.8452

-44.3562 70.7948 -0.7292 0.3119;0 -123.5638 102.0255 -21.6317 0.9825 -0.5335];

B=[0;0;0;1.6236;-5.6636;1.7305];

Q=[10 0 0 0 0 0;0 10 0 0 0 0;0 0 10 0 0 0;0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1]; R=0.2;

K=lqr(A,B,Q,R) 得反馈矩阵 K = 7.0711 -185.9545 276.7819 5.1163 4.0862 30.1920

设定摆杆初始位置为导轨的中点，导轨长度为1.4m，设定小车的期望平衡位置为50cm处，建立如图 3的Simulink控制框图，其中模型部分根据直线一级倒立摆非线性模型由S函数编写，控制模块根据LQR控制方法建立。得到如图 4的输出曲线（小车位置）、如图 5的输出曲线（一级摆杆角度）和如图 6的输出曲线（二级摆杆角度）。

图3 直线二级摆的Simulink框图

图4 小车位置图

图5 一级摆杆与垂直方向角度图

图6 一级摆杆与垂直方向角度图

参考硕士学位论文《二级倒立摆系统的模糊控制研究》，作者陈泽望，东北大学。