空间几何证明知识点习题
高三文科数学复习资料
一．选择题
1.(2010湖北文数) 用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题：
①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b .
A . ①② B . ②③ C . ①④ D . ③④ 2．（2010山东文数）在空间，下列命题正确的是（ ）.
A ．平行直线的平行投影重合 B ．平行于同一直线的两个平面平行 C ．垂直于同一平面的两个平面平行 D ．垂直于同一平面的两条直线平行
3、（2010年山东卷）在空间，下列命题正确的是
（A ）平行直线的平行投影重合 (B)平行于同一直线的两个平面
（C ）垂直于同一平面的两个平面平行 （D ）垂直于同一平面的两个平面平行
二、解答题：
1. （2011年高考山东卷文科19) （本小题满分12分）
如图，在四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB=2AD，AD=A1B 1，∠BAD=60°.
（Ⅰ）证明：AA 1⊥BD ； （Ⅱ）证明：CC 1∥平面A 1BD .
2 （2011年高考全国新课标卷文科18) （本小题满分12分） 如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =60︒，AB =2AD , PD ⊥底面ABCD ， （1）证明：PA ⊥BD ; (2) 设PD =AD =1，求三棱锥D-PBC 锥的高.
3. （2011年高考福建卷文科20) （本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB 。
（1） 求证：CE ⊥平面PAD ；
（11）若PA =AB =1，AD =3，CD
CDA =45°，求四棱锥P-ABCD 的体积
4. （2011年高考湖北卷文科18) 如图，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长
为E 在侧棱AA 1上，点F 在侧棱BB 1上，且AE =22BF =(Ⅰ) 求证：CF ⊥C 1E
(Ⅱ) 求二面角 E -CF -C 1的大小.
2.
5.(2010重庆文数) 如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面
ABCD
，PA =AB =，点E 是棱PB 的中点. 证明：AE ⊥平面PBC ；
6．（2010湖南文数）如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点．
证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．
AB ∥CD , AC ⊥BD , 7、（2010年全国卷）如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为等腰梯形，
垂足为H ，PH 是四棱锥的高。 （Ⅰ）证明：平面PAC ⊥ 平面PBD
;
（Ⅱ）若AB =∠APB =∠ADB =60°, 求四棱锥P -ABCD 的体积。
空间图形位置的几何证明
一、选择题
1. 若a 、b 是异面直线，则以下命题正确的是A . 至多有一条直线与a 、b 都垂直C . 过a 至少有一个平面平行与b
B . 至多有一个平面分别与a 、b 平行D . 过a 至少有一个平面垂直与b
2. 直线a 与平面a 成ϑ角，a 是平面a 的斜线，b 是平面a 内与a 异面的任意直线，则a 与b 所成的角A . 最小值为θ，最大值为π-θC . 最小值为θ，无最大值A . m ⊥n ，m ∥α，n ∥βC . m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α
上的动点，则直线PO 、AE 的位置关系A . 平行
B . 垂直
C . 相交但不垂直
D . 异面但不垂直
B . 最小值为θπ
2
D . 2
3. 对于直线m 、n 和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是
B . m ⊥n ，α β=m ，n ⊂αD . m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β
π
4. 如图28，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，E 是D 1D 的中点，P 是A 1B 1
5. 如图直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l =β γ，l ∥α，m ⊂α和m ⊥γ，那么必有
A . α⊥γ且l ⊥m B . α⊥γ且m ∥βC . m ∥β且l ⊥m
∙
∙
∙
D . α∥β且α⊥γ
6. 若平面α⊥β，α β=l ，且点P ∈α，P ∉l ，则下列命题中的假命题是A . 过点P 且垂直于α的直线平行于βC . 过点P 且垂直于β的直线在α内的一个条件是A . a ∥α且b ∥β
B . a ∥α且b ⊥β
C . a ⊥α且b ∥β
D . a ⊥α且b ⊥β
B . 过点P 且垂直于l 的直线在α内D . 过点P 且垂直与l 的平面垂直与β
7. 已知α-l -β是大小确定的一个二面角，若a ，b 是空间两条直线，则能是a 、b 所成的角为定值
8. 设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题①若a ⊥b ，a ⊥α，则b ∥α③a ⊥β，α⊥β，则a ∥α其中正确的命题个数是A . 0个
B . 1个
C . 2个
D . 3个
9. 在下列命题中，真命题是
A . 若直线m ，n 都平行于平面α，则m ∥n
B . 若直线m ，n 在平面α内的射影依次是一个点和一条直线，且m ⊥n ，则n 在α内或与平面α平行C . 设二面角α-l -β是直二面角，若直线m ⊥l ，则m ⊥βD . 设m ，n 是异面直线，若m 与平面α平行，则n 与α相交10. 已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b A . 一定是异面直线C . 不可能是平行直线二、填空题
11. 在∆ABC 中，∠C =90︒，AB =8，∠ABC =30︒，PC ⊥面ABC ，PC =4，P ' 是AB 上一动点，则PP ' 的最小值为
12. 如图30所示，已知三棱锥P -ABC 中，PA ⊥PC ，BC ⊥平面PAC ，下列五个结论正确的是①平面PAB ⊥平面PBC ③平面PAC ⊥平面ABC ⑤平面PBC ⊥平面ABC
13. 如图31. 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中过点A 做截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成角相等，试写出满足这样条件的一个截面（只需写出一个截面即可）
②若a ∥α，α⊥β，则α⊥β④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β
B . 一定是相交直线D . 不可能是相交直线
②平面PAB ⊥平面ABC ④平面PAC ⊥平面PAB
三、解答题
14. 已知矩形ABCD 中，AB =1，BC =a (a >0), PA ⊥平面ABCD ，且PA =1（1）问BC 边上是否存在一点Q ，使得PQ ⊥QD ，并说明理由
（2）若BC 边上有且只有一个点Q ，使得PQ ⊥QD ，求这时二面角Q -PD -A 的大小
15. 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC =2a ，BB 1=3a ，D 为A 1C 1的中点，E 为B 1C 的中点，在线段AA 1上是否存在点F ，使CF ⊥平面B 1DF ，若存在，求出|AF |若不存在，说明理由
16. 已知棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 中点，如图34（1）求证：A 1C ⊥BD
（2）设P 为正方体对角线A 1C 上任意一点，问A 1C 与平面PEB 1所成的角是否有最大值和最小值，若有，请求出；若没有，请说明理由
专题八 空间图形位置的几何证明（答案）
一、1.C 2.B 3.C 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.B 10.C 二、11. 27三、
12. ①③
13. 平面AD 1C 或平面AB 1D 1或平面AB 1C
14. 解：(1) 设BQ =x . 则QC =a -x , =++, =+由QP ⋅QD =（QB +BA +AP ）（⋅QC +CD ）=QB ⋅QC +BC ⋅CD =-x (a -x ) +1=x 2--ax +1=0欲使这个方程有解，必须a 2-4≥0
因此，当a ≥2时，点Q 存在；当a >2时，只存在一个点当0
(2) 当存在唯一点Q 时，a =2. 此时，由x 2-2x +1=0得x =1，即Q 点恰为BC 之中点，由于平面PAD 法向量是AB ，设平面PQD 的法向量为n =AB +λAD +μAP ，则由n ⋅QD =(AB +λAD +μAP ) ⋅(+) =-1+2λ=0
及n ⋅PD =(AB +λAD +μAP ) ⋅(AD -AP ) =4λ-μ=0
11
解得λ=, μ=2, ∴n =AB +AD +2AP , 记二面角为θ
22则cos θ=
=
1+1+4
=6
6
66
15. 解析：以B 为坐标原点，以BA 、BC 、BB 1分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系∴θ=arccos
AC =2a , ∠ABC =90︒, ∴AB =BC =2a
∴B (0, 0, 0), C (0, 2a , 0), A (2a , 0, 0), A 1(2a , 0, 3a ), C 1(0, 2a , 3a ), B 1(0, 0, 3a )
假设存在点F ，要使CF ⊥平面B 1DF ，只要CF ⊥B 1F ，且CF ⊥B 1D ，不妨设|AF |=b ，则F (2a , 0, b ), =(2a , -2a , b ), B 1=(2a , 0, b -3a ), B 1=(∴CF ⋅B 1D =a 2-a 2=0, ∴CF ⊥B 1D 恒成立B 1F ⋅CF =2a 2+b (b -3a ) =0⇔b =a 或b =2a 故当|AF |=a 或2a 时，CF ⊥平面B 1DF
16. 解：(1) 证明：以D 为坐标原点，以DA 、DC 、DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则：1A 1(1, 0, 0), B 1(1, 1, 0), C (0, 1, 0), B 1(1, 1, 1) E (1, , 0)
2A 1C =(-1, 1, -1), BD =(-1, -1, 0) ∴A 1⋅=(-1, 1, -1), =(-1, -1, 0) ∴A 1C ⊥BD
22a , a , 0) 22
(2) 令A 1=λA 1, λ∈[0, 1]
11
BE 1=(0, , 1), EA 1=(0, -, 1), A 1C =(-1, 1, -1)
22
1
∴EP =EA 1+A 1P =(-λ, λ-, 1-λ)
2
平面PEB 1的法向量n =(2-3λ, -2λ, λ) 设A 1C 与平面PEB 1所成角为β，则sin β=
1=
23
310
3(λ-) 2+
77
3210210
当λ=时，sin β最大值为，β的最大值为arcsin
71515
22
当λ=1时，sin β最小为，β的最小值为arcsin 。
33
∴最大值与最小值均存在