第八章 齿轮机构与轮系的运动分析和设计
第八章 齿轮机构与轮系的运动分析和设计
齿轮机构可以用来传递任意两轴之间的运动,传动准确可靠,效率很高,是现代机械中应用最为广泛的一种传动机构。尽管齿轮机构也属于高副机构,但是,其承载能力比凸轮机构等其他高副机构要高得多。随着材料和加工技术的发展,齿轮的直径尺寸大的可达几十米、小的可达微米级,可以满足各种不同工况的要求。 8.1齿廓啮合基本定律和共轭齿廓 1.齿廓啮合基本定律
图8---1所示为一对齿轮在点K的啮合时情形,直线n—n为齿轮1的齿廓C1和齿轮2的齿廓C2在啮合点K的公法线。直线n--n与齿轮1、2转动中心的连线O1O2的交点P为两齿轮在该瞬时的速度瞬心。根据速度瞬心的概念有ω1⋅O1P=ω2⋅O2P,由此可得两齿轮的传动比为
i12
=
ω1ω2
=
O2PO1P
(8---1)
在齿轮传动中,速度瞬心 P被称为节点。节点在分别与齿轮1、2固接的平面上的轨迹为节线1和节线2。
实际上,节线就是5.3节中的瞬心线,两条节线之间为纯滚关系。
式(8---1)就是齿廓啮合基本定律。 由齿廓啮合基本定律可知:欲使传动比i12为常数,则应使O2P/O1P为常数,当连心线O1O2为定直线时,必须使
节点P为连心线上的定点,即:不论齿轮在哪一点啮合,啮合点齿廓的公法线都必须通过同一节点P,此时,节线的形状必为圆,称为节圆;若希望两轮的传动比按一定的规律变化,则节点应按相应的规律在连心线上移动,此时的节线必为非圆曲线,例如椭圆齿轮传动的节线为椭圆。 2.共轭齿廓
在齿轮传动中,将能够满足齿廓啮合基本定律而相互啮合的一对共轭曲线(见5.4节)称为共轭齿廓。
由5.4节可知,在节线(瞬心线)相同的情况下,可以有无穷多对共轭曲线,即无穷多
对共轭齿廓,并且在已知节线(瞬心线)和一条共轭曲线的情况下,可以用包络的方法求出另一条共轭曲线。
在齿轮的加工方法中,有一种被称为“范成法”的方法。在加工中,加工刀具作成已知的齿廓曲线C1, 强迫刀具和齿坯的之间按照设计的节线之间的纯滚关系而进行运动,就像一对齿轮啮合传动一样运动。在运动过程中,刀具C1切制(包络)出被加工齿轮的齿廓。图8---2就是范成法加工齿轮的示意图,其中刀具的转速为ω0,齿坯的转速为ω。
刀具和齿坯节线之间的纯滚是通过机床的传动系统实现的。刀具和齿坯之间的这种运动关系被称为“范成运动”。
在实际应用时,考虑到设计、制造、安装和使用等方面的因素,工程中常用的有渐开线齿廓、摆线齿廓和圆弧齿廓等。 8.2渐开线直齿圆柱齿轮传动 8.2.1渐开线的形成及其性质 1. 渐开线的形成
齿轮渐开线的形成方法如图8—3所
示。当发生直线NK在基圆上作纯滚动时,其上任一点K所走过的轨迹AK
便是该圆的一
条渐开线。基圆半径以rb表示。 2. 渐开线的性质
根据渐开线的形成过程,可以得到渐开线的性质:
⋂
①AN=KN;
②渐开线上任意一点K处的法线必切于基圆; ③渐开线在点K处的曲率中心为点N,曲率半径ρK④基圆内部无渐开线。 令∠KONρK
=
NK
=
αk为压力角,其物理意义将在第十章作介绍。则
=
NK;
=
rbtanαk (8---2)
→
∞时,
在相同的αk的情况下,rb越大,则渐开线在点K的曲率半径越大,当rb
渐开线成为直线。所以说,直线也是一种特殊的渐开线。在齿轮齿条传动中,齿条的齿廓就是直线。
为了计算方便,通常用极坐标来表示渐开线。极坐标的极轴沿OA,则渐开线的极坐标参数方程为
rK=rb/cosαK
θK=invαk=tanαK-αK
(8----3)
其中:θk为渐开线在点K的展角,invαk被称为渐开线函数。 8.2.2渐开线齿轮传动的特点
根据渐开线的性质,可以得出渐开线齿轮传动具有以下特点: 1. 渐开线齿轮传动为定传动比传动
图8---4(a)为渐开线直齿外啮合圆柱齿轮传动,渐开线齿廓在任意啮合点K的公法线为两基圆的一个内公切线,由于齿轮的基圆是确定的,则其内公切线也是确定的,它与两齿轮转动中心的连线O1O2的交点P必为定点,所以,渐开线齿轮的传动比为定值,并且,由图中得几何关系可得:
i12
=
ω1ω2
=
O2PO1P
=
O2N2O1N1
=
rb2rb1
(8---4)
于齿轮的基圆而垂直于齿条的齿廓的直线,由于齿轮的基圆是确定的,齿条为平动,则无论在哪一点啮合,啮合点的公法线都是直线N1P。点P就是齿轮----齿条传动的速度瞬心。如果以ω1表示齿轮的角速度,v2表示齿条的移动速度,则齿轮---齿条传动的传动比为
i=
v2
=O1P=
rb1cosα
ω1
(8----4’)
由式(4---4’)可见,齿轮---齿条传动的传动比也是定值。 2. 渐开线齿轮传动具有可分性
所谓可分性是指当齿轮传动的中心距发生变化时,齿轮传动的传动比不会发生变化。可分性在工程中具有重要的意义:当由于制造、安装或齿轮轴的磨损造成齿轮传动中心距变化时,具有可分性的齿轮传动的传动比将不会受到影响。
渐开线齿轮传动的可分性可以从式(8---4)和式(8---4’)中看出,因为齿轮和齿条的基圆半径rb、齿条的齿形角α都是不会随中心距变化而变化的。
但是,值得注意的是:在外啮合齿轮传动中(图8---4(a)),当中心距变化时,两个齿轮的节圆半径O1P和O2P的大小都要发生变化;而在齿轮---齿条传动中(图8---4(b)),当齿条与齿轮相对位置发生变化,即:中心距变化时,节点P的位置不会发生变化,所以,齿轮的节圆半径O1P不会发生变化,但是齿条节线在齿条上的位置要发生变化。 3. 渐开线齿轮传动轮齿之间作用力的方向不变
在不考虑轮齿啮合时的摩擦力的情况下,轮齿之间相互作用力的方向沿着啮合点的公法线方向:在图8---4(a)中沿直线N1N2,而在图8---4(b)沿直线N1P。有以上分析可知,无论齿轮在哪一点啮合,力的作用方向都是不会变化的。
渐开线齿轮传动的这个特性对于齿轮轴和轴承的受力非常有利。 8.2.3渐开线直齿圆柱齿轮和齿条的几何尺寸、加工和基本参数 1. 渐开线直齿圆柱齿轮和齿条的
几何尺寸
图8---5为一渐开线直齿圆柱外齿轮,设齿轮的齿数为z。
为了便于齿轮的几何尺寸计算、加工和安装,在齿轮上,要确定一个直径与齿轮的齿数成简单线性关系的圆。这个圆被称为齿轮的
分度圆,半径以r表示。
如果将分度圆上相邻两齿对应点之间的弧长称为分度圆的齿距,以p表示。则有
2rπ
=
zp (8---5)
为了使分度圆直径与齿轮的齿数成简单线性关系,国家标准规定
pπ
=m为齿轮的
模数,并取的一些有理数,见表8---1。则分度圆的半径r和齿距p分别为
rp
==
zm2
(8----6)
πm (8----7)
由式8---3可知:齿轮的基圆半径rb为
rb
=
rcosα (8----8)
其中α为分度圆压力角,国家标准也对它进行了规定:一般情况下为20,在某些装置中也可采用14.5,15,22.5和25等。
由以上内容可见:分度圆上的模数和压力角均为国家标准规定的标准值。
在图8---5中,齿轮其他部分尺寸的名称分别为
ra---齿顶圆半径; rf---齿根圆半径;
ha---齿顶高; hf---齿根高;
h----全齿高,h=
ha+hf
s---分度圆齿厚;
e---分度圆齿槽宽,显然e=p-s;
根据渐开线的性质和分度圆半径与基圆半径之间的关系,可pn---齿轮的法向齿距,
以推出
pn
=
pb
=
pcosα
=
πmcosα (8---9)
其中pb为齿轮基圆齿距。式(8---9)作为渐开线的性质和齿轮几何尺寸方面的综合练习,请读者自己推导。
图8---6为一直齿齿条。各主要部分的名称与齿轮的相应部分的名称类似,只是在齿条中分度圆成了分度线,并且在平行于分度线上的所有直线上的齿距都相等,都等于
p
=
πm;另外,在分度线上有
s=e=
πm2
。α为齿形角。
2. 渐开线直齿圆柱齿轮的范成法加工
渐开线齿轮范成加工的基本原理在前面有关章节中已作过简单介绍。
在生产中,范成法加工齿轮的刀具主要是滚刀,滚刀的形状像一个螺旋,但在被加工齿轮轮坯的端面上的投影是齿条的形状,因此,滚刀属于齿条型刀具。与普通齿条不同的是它的顶部高出c*m,如图8---7所示。高出的这部分不是直线齿廓,其主要目的是在被加工齿轮的齿根部切制出过渡曲线,并且在齿轮传动中使一个齿轮的齿顶和另一个齿轮的齿根之间
**有“顶隙” c*m。图中,ha为齿顶高系数,c*为顶隙系数。国家标准对ha和c*都作了规
定: 正常齿制:
*当m≥1mm时,ha
=1,c*=1,c*
=
==
0.25 0.35
*
当m
*
短齿制:ha
=0.8,c*0.3
*
齿条型刀具有四个基本参数m,α,ha,c*。在加工齿轮时,刀具的这四个参数应与被加
工齿轮的设计参数相同。
图8---8为用齿条型刀具加工渐开线直齿圆柱齿轮示意图。一般由被加工齿轮的齿数z确定齿坯的转动速度ω齿坯和刀具的移动速度v刀具之间的范成运动关系,两者应满足
v刀具
=
mz2
ω齿坯 (8---10)
由式(8---10)可以确定出范成运动的节点P,同时,也确定了齿坯的节圆和刀具的节线。齿坯的节圆与它的分度圆重合,刀具节线为刀具上过节点P的水平直线。由于齿轮的分度圆(节圆)与刀具节线之间是纯滚关系,
所以,齿轮分度圆上的齿厚等于刀具节线上的齿槽
宽,齿轮分度圆上的齿槽宽等于刀具节线上的齿厚。
齿轮加工的时候,刀具的分度线与刀具的节线不一定总是重合的,也就是说,刀具的分度线不一定总是与齿轮分度圆相切。在图8---8中刀具的分度线与其节线之间有距离xm,其中x为变位系数,m为齿轮的模数。根据刀具的分度线和刀具的节线之间的位置关系,将被加工的齿轮分为:
(1) 标准齿轮。此时,刀具的分度线和刀具的节线重合,即:刀具的分度线与齿坯的分
度圆相切,x=0。加工出来的齿轮的除分度圆上的模数m和压力角α为标准值外,几何尺寸还具如下有特点:
shahf
===e=
*ham
*(ha+c*)m
πm2
(8----11)
(2) 正变位齿轮。此时,刀具的分度线和刀具的节线分离,刀具的分度线与齿坯的分度
圆分离,规定此时x>0。加工出来的齿轮的几何尺寸为
sehfha
====πm2πm2
+2xmtanα
-2xmtanα (8---12)
*(ha+c*-x)m*(ha+x)m
注意:齿顶高ha考虑到齿轮传动时的安装问题,有时要作修正。
(3) 负变位齿轮。此时,刀具的分度线和刀具的节线分离,刀具的分度线与齿坯的分度
圆相割,x
同一刀具加工出来的标准齿轮、正变位齿轮和负变位齿轮的齿形比较如图8---9所示。 3. 渐开线直齿圆柱齿轮的基本参数
正变位齿轮的一些常用几何尺寸的计算公式如下
r=
mz2
*
*
rb=rcosα
rf=r-(ha+c-x)mra=r+(ha+x)m (注意:考虑到齿轮的安
装问题, 在有些情况下要对齿顶
容。)
圆进行修正,
*
(8----13)
详见8.2.4节有关中心距部分的内
p=πms=
p2
+2xmtanα
e=p-s
pn=pb=pcosα
对于标准齿轮以x=0代入,对于负变位齿轮以x
从齿轮的几何尺寸计算公式,式(8---13)中可见:一个渐开线直齿圆柱齿轮的基本参
*
数有α,m,ha确定了这六个基本参数便可以确定渐开线直齿圆柱齿轮的主要尺,c*,z,x。
寸。这六个参数中,任何一个参数发生变化都将导致齿轮的形状发生变化,图8---10所示为只是模数不同的三个齿轮的比较。由图可见模数越大,则齿轮和齿轮的轮齿就越大。
这六个参数中的α,m,ha,c在设计时一般应采用国家标准规定的标准值,以减少齿轮加工的费用。
齿数z的选择要考虑传动的传动比,同时,与变位系数x的选择也有关系。如果参数选择不当的话,在齿轮的范成法加工中将可能会出现根切现象。
*
*
图8---11(a)所示就是出现了根切现象的轮齿:刀具的顶部切入被加工齿轮的根部,从而将齿根部已加工好的渐开线切掉了一部分。根切现象的出现会产生降低齿轮的齿根强度等
一系列对齿轮传动十分不利的影响。
产生根切的原因是:刀具的齿顶线超过了极限点N1。如果刀具的齿顶线超过了极限点N1,在刀具运动到N1之后不会退出切削,在此后的范成运动中将齿轮的根部渐开线切掉,如图8---11(b)所示。而当刀具的顶线没有超过点N1时,如图中的点B2,就不会出现根切现象了。
现在分析标准齿轮不发生根切的齿数条件。
在加工标准齿轮时,刀具的分度线与刀具的节线重合,即齿轮的分度圆与刀具的分度线相切,在齿轮的模数、压力角、齿顶高系数和顶隙系数确定了的条件下,若要齿轮不根切,则应有
rbtanαsinα
≥
*ham
进而可以推出标准齿轮不根切的齿数条件:
z≥
zmin
=
*
2ha2
(8---14)
sinα
*
式中zmin为标准齿轮不根切的最少齿数。当ha
=1,α=20 时,zmin=17。
在加工变位齿轮时,刀具相对于齿坯将要径向移动,无论怎样变位,刀具的顶线都不应超过极限点N1。据此,可以推出变位齿轮不根切的变位系数应当满足的条件:
x≥
xmin
=
*ha(zmin
-z)
zmin
(8---15)
式中xmin为变位齿轮不根切的最小变位系数。
变位系数的选择除了考虑根切问题外,还应考虑轮齿的强度、齿轮传动质量等多方面的问题。可参考朱景梓著《变位齿轮移距系数的选择》(北京:人民教育出版社,1982) 8.2.4渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动 1. 啮合线、啮合角和啮合图
在齿轮啮合过程中,啮合点的轨迹被称为啮合线。由渐开线的性质可知:渐开线外啮合圆柱齿轮传动的啮合线为两基圆的内公切线。至于是哪一条内公切线,则取决于哪个齿轮为主动轮和主动轮的转向。在图8---12中,齿轮1为主动轮,且为顺时针方向转动,则啮合线为图中的N1N2,点N1、N2为啮合的极限点,线段N1N2为理论啮合线。
根据一对轮齿啮合的情况可知:在主动轮的齿根部与从动轮的齿顶
在点B2啮合时,这对轮齿进入啮合;而在点B1主动轮的齿顶与从动轮的齿根部啮合时,这对轮齿就脱离啮合。线段B1B2称为实际啮合线。
过节点P作两节圆的公切线,它与啮合线间所夹的锐角称为啮合角α′。实际上,α′就是齿轮节圆上的压力角,它随着齿轮安装中心距的增大而增大。
图8---12为齿轮传动的啮合图,它包含了齿轮传动中的许多信息。利用啮合图,可以很方便地求出一对啮合齿廓之间相互对应的啮合点,还可以确定轮齿的齿廓工作段等。 2. 正确啮合条件
齿轮在啮合传动时,所有处于啮合状态的啮合点都应在啮合线上。即:齿轮1
的法向齿
距 Pn1应等于齿轮2的法向齿距 Pn2。由式(8---9)有:
m1cosα1
=
m2cosα2
由于模数和压力角都是标准参数,所以要使上式得以满足,则必须 ⎨
⎧m1=m2=m⎩α1=α2=α
(8---16)
在齿轮的设计和修配中,应当满足齿轮正确啮合条件。
利用齿轮的正确啮合条件,可以对渐开线齿轮的传动比计算公式(8—3)进行进一步的推导。由齿轮几何尺寸的计算公式(8---13),可以推出渐开线圆柱齿轮传动的瞬时传动比,也就是平均传动比为
ω1ω2
rb2rb1
Z2m2cosα2=
Z1m1cosα1
=z2 (8---17)
z1
2
i12=
=
3. 渐开线直齿圆柱齿轮传动的类型及不根切的齿数条件
根据一对齿轮变位系数相加之和x1+x2的不同,可将齿轮传动分为以下四种类型: (1) 标准齿轮传动:x1
切现象,应有z1≥(2) 等变位齿轮传动:x1
=
x2
=
0,即:两个齿轮都是标准齿轮。为了不发生根≥
zmin;
zmin,z2=
-x2
≠0。一般小齿轮正变位,大齿轮负变位,以改
善齿轮传动的质量。为了不发生根切现象,由式(8---15)可以推出:只有在z1+z2
≥
2zmin时,才能采用等变位齿轮传动;
>0。无论在什么样的齿数条件下都可以采用正传动。特别
2zmin时,只有采用正传动才能避免根切现象的
(3) 正传动:x1+x2
应当指出的是:当z1+z2发生;
(4) 负传动:x1+x2
只有在z1+z2
2zmin时,才能采用负变位齿轮传动。
在以上四种齿轮传动类型中,类型(1)、(2)又被称为零传动, 因为这两种类型满足、(4)又被称为不等变位齿轮传动。 x1+x2=0;类型(3)
4. 中心距
齿轮中心距的大小与齿轮传动的质量有很大的关系。正确安装的中心距应满足: ①
齿侧间隙等于零。齿侧间隙是指主、从动齿轮轮齿非工作齿廓之间的间隙,该间隙的存在使传动在突然停止或主动齿轮突然反转时出现冲击,因此,在运动设计时应当使
'。由于正确安装时该间隙为零。齿侧间隙可以在节圆上测量和计算:δ=e1'-s2
δ=0,则可推出
invα'=
2(x1+x2)tanα
z1+z2
+invα (8---18)
式(8---18)为无齿侧间隙啮合方程式。
②
顶隙C为标准值,即C=C*m。保持一定顶隙的主要目的是为了防止因轮齿的制造误差而发生卡住和有利于存储润滑油。可以用以下公式计算顶隙:
C
=
a'-ra1-rf2 (8----19)
式中a'为齿轮的安装中心距。 对于零传动,由式(8---18)可知α'
轮的节圆与齿轮的分度圆重合,r1'
a
=
r1+r2
=
=α,也就是说:在无齿侧间隙的情况下,齿
=
r1,r2'
z2)
=
r2。此时,齿轮传动的中心距为
m(z1+
2
(8---20)∵
式(8---20)为一对直齿圆柱齿轮的标准中心距。
用式(8---19)可以验证当零传动以标准中心距a安装的时候,顶隙C此可以说:零传动按标准中心距安装满足正确安装条件。
对于不等变位齿轮传动,情况将变得比较复杂。
按照式(8---13)的齿轮几何尺寸公式分析齿轮的中心距,如果满足了齿轮无齿侧间隙啮合的要求,则顶隙比标准顶隙小,C0。为了解决这一矛盾,最简单的作法是:将两齿轮按无齿侧间隙啮合的中心距安装,同时,将两齿轮的齿顶圆半径减小,这就是通常所说的“削顶”。
总之,不等变位齿轮传动的中心距问题按照下面的方法解决:
i. 根据齿轮的基本参数确定啮合角
invα'=
2(x1+x2)tanα
z1+z2
+invα
=c*m。因
其中可能要求渐开线函数的反函数,由式(8---3)可知,这是一个超越方程,可以用6.4.1节中介绍的牛顿迭代法解,也可以查《机械设计手册》中的渐开线函数表。 ii. 确定安装中心距a
(r1+r2)cosα
cosα'
'
a'=
r1'+r2'=(rb1+rb2)/cosα'=
将式(8---20)代入,得
a'=
acosαcosα'
(8---21)
iii. 确定齿轮的削顶系数和齿轮的齿顶圆半径
计算齿轮传动的分度圆分离系数y
a-am
'
y= (8---22)
计算削顶系数σ
σ=x1+x2-y (8----23)
计算齿轮的齿顶圆半径
ra1ra2
==
r1+(ha*+x1-σ)mr2+(ha*+x2-σ)m
(8---24)
>
a,两个齿轮的分度圆是分离的;负传动
从以上计算公式可以看出:正传动a'
a'
a,两个齿轮的分度圆是相割的。
5. 重合度
一对齿轮传动应当能够连续传动,即:在前一对轮齿尚未退出啮合时,后一对轮齿恰好或已经进入啮合。因此。实际啮合线段B1B2应大于或等于齿轮的法向齿距Pn。由此可得齿轮连续传动的条件为
B1B2
≥
pn (8---25)
定义
ε=
B1B2Pn
(8---26)
为齿轮啮合的重合度。它反映了同时啮合轮齿对数的变化情况,例如:ε=1.3,其同时参与啮合的轮齿对数的变化如图8---13。
由以上分析可知,当ε≥1时,齿轮能够连续传动,ε越大,在啮合过程中多对轮齿同
时啮合的区间就大,齿轮传动就越平稳,承载能力也越大。因此,重合度ε是衡量齿轮传动质量的一个重要的指标。考虑齿轮的制造、安装误差,一般设计要求重合度大于1,而且对于不同用途的机械,重合度的许用值也不同。
为了分析齿轮基本参数对重合度的影响,可以推出重合度的计算公式,推导主要是基于齿轮传动的啮合图。对于外啮合直齿圆柱齿轮传动,由其啮合图图(8---12)可以推出重合度的计算公式为
ε=
12π
[z1(tanαa1-tanα')+
z2(tanαa2-tanα')] (8---27)
其中:αa1,αa2分别为齿轮1、2的齿顶圆压力角,α'为啮合角,也就是齿轮节圆压力角。
由式(8---27)可知:齿轮传动重合度的大小与齿轮传动的模数无关;齿数越多,重合度越大;中心距的变化对重合度的影响通过啮合角α'的变化反映出来。安装中心距越大,啮合角α'就越大,重合度越小。
如果一对齿轮以其按标准中心距安装时的重合度为基准的话,若采用等变位齿轮传动,重合度略有下降;采用正传动,重合度降低较多;而采用负传动,重合度有所增加。 6. 轮齿间的相对滑动和滑动系数
在齿轮啮合传动过程中,两齿廓间有正压力作用,并且除在节点P啮合时相对滑动速度为零外,在其他点啮合时相对滑动速度都不为零,相对滑动速度的大小与啮合点到节点P的距离有关,距离越长,相对滑动速度就越大。在干摩擦或润滑不良的情况下,这样的相对滑动要引起齿轮齿廓的磨损。
轮齿在各啮合点的磨损程度可用滑动系数u来衡量。标准齿轮传动滑动系数u的变化情况如图8----14所示。在啮合极限点N1和N2附近,齿根部分的u1和u2分别趋于无穷大,因而齿轮齿根部分的磨损严重;小齿轮齿根的滑动系数u1max又大于大齿轮齿根的滑动系数u2max,所以小齿轮齿根磨损最为严重。
等变位齿轮传动,由于小齿轮正变位,大齿轮负变位,则点B2远离了极限点N1,而点B1向极限点N2有所靠近,致使大小齿轮的磨损程度比较接近;利用同样的分析方法,可以得出:正传动的轮齿磨损较小,而负传动的轮齿磨损较大。 8.2.5渐开线直齿圆柱齿轮传动的运动设计
一对渐开线直齿圆柱齿轮传动运动设计的主要包括确定齿轮传动的基本参数
*
,c*,x1,x2,以及齿轮安装的中心距等。在本课程中,齿轮传动的设z1,z2,m,α,ha
计要求通常是满足给定的传动比、或者安装的中心距要求,或者是要求传动的重合度大、磨损小等等。
设计过程可以分为传动类型的选择、基本参数的确定、几何尺寸的计算和检验等几个部分。
首先是齿轮传动类型的选择,即在标准齿轮传动、等变位齿轮传动、正传动和负传动中作出选择。在选择传动类型时,不仅要考虑各种传动类型的齿数条件、重合度的大小和磨损等方面的问题,而且还应考虑传动的互换性和齿根的弯曲强度等。所谓“互换性”是指是否可以很方便地得到原设计齿轮的替代品以便于齿轮的安装和修配。显然,标准齿轮传动的互换性最好,而其他传动类型的互换性都比较差。另外还要考虑齿根的弯曲强度,标准齿轮传动中,大、小齿轮齿根弯曲强度相差较大;等变位齿轮传动中,大、小齿轮齿根弯曲强度相近;正传动齿根弯曲强度比较高,而负传动齿根弯曲强度比较低。
在初步确定了齿轮传动的基本参数、完成了几何尺寸的计算之后,还应根据各种齿轮传动类型的特点,作一些相应的检验。等变位齿轮传动和正传动应检验的条件一般是:
ε≥[ε],sa
≥
0.25m,其中sa为齿轮的齿顶圆齿厚,m为齿轮传动的模数;负传动一
般应对齿根弯曲强度进行检验。如果不能满足检验条件的话,应当重新选择齿轮的基本参数。 例8---1 在下列情况下确定外啮合直齿圆柱齿轮传动的类型: (1)z1
=14,z2
=
40,α
*
=15 ,ha
=1,c*=0.25。
由式(8—14)可得zmin=30,由于 z1+z2
2zmin,这对齿轮传动只能采
用正传动。变位系数的选择应满足x1≥x1min,x2≥x2min。 (2)z1=33,z2=47,m=6mm,α=20,ha=1,a=235mm
m(z1+
2
z2)
235mm
*
'
a==240mm>a'=
所以,必须采用负传动。齿轮的变位系数由无齿侧间隙方程确定:
α'
=
arccos(
=
acosα
a
'
)=16.32
x1+x2
z1+z22tanα
(inv16.32 -inv20 )=
-0.763
至于x1和x2各取什么值,还应根据其他条件确定,至少应当满足x1≥x1min,x2≥x2min。
(3)z1=12,z2
=28,m=5mm,α=
*
20 ,ha
=1,要求无根切现象。
由给定的齿轮传动参数可知,不根切的最少齿数为17,根据各种传动类型的齿数条件可知:可以采用的齿轮传动类型是等变位齿轮传动、正传动和负传动。 (4)a'
=138mm,m
=
4mm,α
=
*
20 ,ha
=1,i12
=
53
.传动比误差不超过
±1%
z1
=
2a'
m(1+i12)
=25.875
若取z1=25, z2=42
5
∆i12=
3-53
由于a=
m(z1+z2)
2
=134mm
'
4225
=0.008
则应采用正传动; 8.3斜齿圆柱齿轮传动 8.3.1斜齿轮的端面和法面 1. 斜齿轮齿廓曲面的形成
斜齿轮齿廓曲面的形成原理与直齿轮相似,所不同的是发生面上形成斜齿轮渐开面的直线KK不再与基圆柱的母线平行,而是与母线方向偏斜了一个角度βb,如图8---15所示。这样,当发生面在基圆柱上作纯滚动时,直线KK在空间展开的齿廓曲面为渐开螺旋面,βb也就是斜齿轮基圆柱面螺旋线AA的螺旋角。渐开螺旋面与齿轮分度圆柱面的交线也是螺旋线,螺旋角用β表示。由于基圆柱面螺旋线的导程与分度圆柱面螺旋线的导程相等,所以有:
tanβb
=
tanβcosαt (8---28)
αt为斜齿轮端面的压力角。
2. 斜齿轮的法面和法面齿形
斜齿轮的法面n--n是指过分度圆上点C垂直于斜齿轮分度圆螺旋线的平面,如图8—16所示。
斜齿轮一般是用齿条型刀具或盘状铣刀来切制的。切齿时,刀具是沿着轮齿的螺旋线方向进刀的,因而,轮齿在法面上的齿形与刀具是一致的。由于刀具的参数为标准值,所以,
**
斜齿轮法面上的基本参数mn,αn,han为标准值。 ,cn
齿形与斜齿轮法面齿形相近的直齿圆柱齿轮称为斜齿轮的当量齿轮。令当量齿轮的分度圆半径为法面n---n与斜齿轮分度圆柱面的交线在点C曲率半径ρ,可以推出:齿数为z的斜齿轮,其当量齿轮的齿数为
zv
=
z
3
(8---29)
cosβ
3. 斜齿轮的法面参数与端面参数的换算
斜齿轮的轮齿是螺旋形的,端面齿形与法面齿形是不同的。前面已经指出:法面上的基本参数为标准值。为了计算斜齿轮端面的几何尺寸,必须建立法面参数与端面参数的换算关系。
斜齿轮的端面参数与法面参数之间的关系为
mt
*
hat
=
mn/cosβ=
tanαn/cosβ
*hancosβ*cncosβ
tanαt
===ct*xt
(8---30)
xncosβ
则外啮合标准斜齿轮的常用几何尺寸计算公式为
d=mtz=
mncosβ
zmncosβmncosβ
z+2mnhan
z-2mn(han+cn)
*
*
*
da=d+2ha=d
=d-2hf=
(8---31)
f
仿照直齿轮不根切最少齿数和最小变位系数的求法,有
zmin=
*
2hat
xmin=
sin
*at
2
αtzmin
=
*2hancosβ
sin2αt=
h
*
an
h(zmin-z)cosβ(zmin-z)
zmin
(8---32)
由式(8—32)可以看出:斜齿轮的最少齿数、最小变位系数比直齿轮的要小。 8.3.2斜齿轮的啮合传动
图8—17所示为一对外啮合斜齿圆柱齿轮啮合传动的情况。齿轮1为主动,转向如图。两基圆柱的内公切面就是啮合面,其上KK线为轮齿的瞬时接触线。 1. 正确啮合条件
mn1β1
==
mn2
=
m, αn1
= αn2
= α,
β2(外啮合“-”,内啮合“+”)
(8---33)
“--”表示螺旋线旋向相反,“+”表示螺旋线旋向相同。 2. 中心距
a=
mt2
(z1+z2)
=
mn(z1+z2)
2cosβ
(8---34)
斜齿轮传动可以通过改变分度圆螺旋角β来满足中心距的要求,这一点比直齿轮通过齿轮的变位来满足中心距的要求具有一定的优越性。
3. 重合度
由图8---18可见:斜齿轮的轮齿进入和脱离啮合的情况与直齿轮有所不同,斜齿轮的轮齿螺旋表面是逐渐进入和脱离啮合的,实际啮合线的长度为B1B2+∆L, 则斜齿轮重合度的计算应为
ε=
B1B2+∆L
Pbt=
B1B2Pbt
=
εt
+εβ (8---35)
其中εt
相同;
为端面重合度,其计算公式与直齿圆柱齿轮传动的计算公式(8---27)
εβ为纵向重合度,由图8---18可以推出:其表达式为
Btanβb
Pbt
Bsinβπmn
εβ
== (8---36)
由式(8---35)可知:斜齿轮传动的重合度比直齿轮传动的重合度大,所以,它传动更平稳,承载能力更高,适合于高速重载场合。
尽管增加分度圆螺旋角β,可使ε
增大,但与此同时,也会使斜齿轮传动时轮齿受到的
轴向力的增大,给轴承等零部件的设计带来一些麻烦。所以,一般取β=8°~20°;如果通过采用人字齿或其他方法抵消了全部或部分轴向力,则可取β=23 8.4蜗杆蜗轮传动
蜗杆蜗轮机构用于传递交错角为90°的两交错轴之间的运动,如图8---19所示。蜗杆的螺旋角β1比较大,升角λ1=900-β1比较小,并且其分度圆的直径也比较小,以致于螺旋线在分度圆柱面上可以缠绕一周以上;蜗轮就是一个螺旋角为β2的斜齿轮。
工程上,应用最广泛的是阿基米德螺线型蜗杆。 8.4.1阿基米德蜗杆和蜗轮的加工、中间平面 1. 阿基米德蜗杆的加工
阿基米德蜗杆的加工如图8---19(c)所示。
加工出来的齿廓在蜗杆的轴截面内的形状与刀具的形状相同,如图中I---I视图所示。α
~35
为刀形角,也是蜗杆的轴截面内的压力角。一般情况下,α为20;若蜗杆用于动力传动,α可达25;若用于分度运动,α可为15或12。模数m按GB/T10085—1988选取,
*ha
=1,c*=0.2。
2. 蜗轮的加工
为了使蜗杆与蜗轮之间的接触为线接触,加工蜗轮时所用的刀具在形状、参数上与蜗杆的形状、参数相同,只是刀具的外径比蜗杆的外径略大一些,以便在蜗杆和蜗轮的啮合传动中有标准的顶隙。
为了限制加工蜗杆刀具的数目,国家标准对蜗杆的分度圆直径d1也作了标准化的规定,如表8---2所示。 3. 中间平面
通过蜗杆轴线、与蜗轮轴线垂直的平面为蜗杆蜗轮传动的中间平面。
在中间平面内,阿基米德蜗杆蜗轮的啮合传动相当于渐开线齿轮齿条传动。蜗杆在中间
**
平面内的参数一般用ma1,αa1,ha表示,分别为蜗杆的轴面模数、压力角、齿顶高系,ca
11
数和顶隙系数;蜗轮在中间平面的参数及其表达与斜齿轮端面参数及其表达相同。 8.4.2蜗杆蜗轮的啮合传动 1. 正确啮合条件
仿照齿轮齿条传动和斜齿轮传动的正确啮合条件,可以得到蜗杆蜗轮传动的正确啮合条件为
⎧ma1=mt2=m
⎪
⎨αa1=αt2=α (8---37)
⎪β
-β1
⎩2=90
蜗杆和蜗轮的螺旋线同为左旋或同为右旋。 2. 中心距
蜗杆蜗轮传动的中心距是指蜗杆与蜗轮转动轴线之间的垂直距离。 标准蜗轮蜗杆传动的中心距为
12
a=
(d1+mz2) (8----38)
其中d1为蜗杆的分度圆直径。
根据齿轮齿条啮合时节点、齿轮节圆、齿条节线的变化特点可知:当蜗杆蜗轮传动的中心距增大∆a时,啮合节点的位置不会变化,蜗轮的节圆始终与其分度圆重合,蜗杆的节圆
半径r1'增大为r1'
=
r1+∆a。
在变位蜗杆蜗轮传动,一般蜗杆不变位,蜗轮变位。如果蜗轮的变位系数为x,则变位蜗杆蜗轮传动的中心距应为
a=3. 传动比
在图8---20中,设在节点P蜗杆与蜗轮的速度分别为v1和v2,由图中可见
v2
=
v1tanλ'1,
=
r1'ω1tanλ'1
'
d1+mz2
2
+xm (8----39)
即:r2ω2
其中λ'1为蜗杆节圆螺旋线的升角,
又由于螺旋齿廓在各圆柱面上螺旋线的导程相同的,有r1'tanλ'1
=
r1tanλ,则
r2
r1tanλ1
mt2z2=
ma1z1
z2z1
i12
=
ω1ω2
=
22
= (8---40)
其中:z2,z1分别为蜗轮的齿数和蜗杆螺旋线的头数。蜗杆螺旋线的头数一般为1~4,所以,蜗杆蜗轮传动的传动比一般都比较大。
角速度ω1和ω2的转向关系可以用主动轮左(右)手定则判定:蜗杆螺旋线是右旋(左旋)用右(左)手,四个手指的方向与蜗杆的转向相同,大拇指的反方向则为蜗轮在啮合点的线速度方向,并由此确定蜗轮的转向,如图8---20所示。 8.5直齿圆锥齿轮传动
图8---21为一对直齿圆锥齿轮传动。圆锥齿轮的轮齿是分布在一个截锥体上的,主要用于传递两相交轴之间的运动。 8.5.1背锥和当量齿轮
理论上,直齿圆锥齿轮的齿廓曲线的形成方法是:当一圆平面S在一个基圆锥上作纯滚动时,S上任一点B所走出的轨迹,该轨迹为以锥顶O为中心、锥距R为半径的球面渐开线,如图8---22(a)。
但是,球面曲线无法在平面上展开,这给圆锥齿轮的制造和测量带来了许多不便。 通常用球面渐开线在背锥上投影得到的齿形作为圆锥齿轮的实际齿廓。所谓圆锥齿轮的背锥就是在齿轮的分度圆处与球面渐开线所在的球面相切的圆锥。在图8—22(b)齿轮分度圆锥的锥顶为O, 背锥的锥顶为O1,背锥的母线O1A、O1B分别与齿轮分度圆锥的母线OA、OB垂直。
将背锥在平面上展开,得到一个扇形齿轮。补全扇形齿轮,使其成为完整的齿轮,这个齿轮称为圆锥齿轮的当量齿轮。由图8---22(b),当量的分度圆半径rv与圆锥齿轮分度圆半径r之间的关系为
rv
=
rcosδ
其中δ为圆锥齿轮的分度圆锥角,如图8----21所示。则当量齿轮的齿数zv与圆锥齿轮的齿数z之间的关系为
zv
=
zcosδ
(8----41)
8.5.2直齿圆锥齿轮几何尺寸计算及啮合传动
1. 几何尺寸计算
*为了计算和测量的方便,一般取圆锥齿轮大端的参数m,α,ha,c*为标准值。标准圆锥
齿轮的分度圆锥角δ也是一个基本参数。图8---21标出了直齿圆锥齿轮的分度圆直径d、分度圆锥顶角δ、齿顶高ha、齿顶圆直径da、齿顶圆锥顶角δa以及齿根高hf、齿根圆直径df、齿根圆锥顶角δf等。标准直齿圆锥齿轮常用几何尺寸的计算公式为
dda
====
mz
d+2hacosδd-2hfcosδmz2sinδ
==
*
m(z+2hacosδ)
*m[z-2(ha+c*)cosδ] (8—42)
d
R
f
*
式中,R为锥距,m,ha,c*的取值见GB12368---90。
为了提高轮齿小端的强度,现在工程上常用的是等顶隙圆锥齿轮传动。在等顶隙圆锥齿轮传动中,齿轮齿顶圆锥的母线与另一齿轮的齿根圆锥的母线平行,如图8---21所示。因此,在等顶隙圆锥齿轮传动中,齿顶圆锥的锥顶与齿轮其他圆锥的锥顶是不重合的。 2.直齿圆锥齿轮的啮合传动
圆锥齿轮啮合传动的分析,如正确啮合条件的确定、重合度的计算等,可以参照直齿圆柱齿轮的公式和分析方法、以圆锥齿轮的当量齿轮的参数和几何尺寸进行。
但是,圆锥齿轮传动比的计算有一些特点。
标准直齿圆锥齿轮正确安装的条件是两齿轮的分度圆锥相切且两锥顶重合,因此,有
v1v1v2
===v2d12d22ω1ω2
==
Rsinδ1ω1 (8----43) Rsinδ2ω2
与其他齿轮传动类型传动比计算相同,由式(8----43)有 i12但同时又有 i12
=
sinδ2sinδ1
=
ω1ω2
=
d2d1
=
z2z1
(8—44)
(8—45)
当δ1+δ2=90 时,
i12
=
tanδ2
=cotδ1 (8---46)
由式(8---46)可知,在确定了齿轮的传动比的时候,就确定了两个齿轮的分度圆锥角。
8.6 轮系的运动分析和设计
由齿轮机构组成的传动系统称为轮系。轮系具有获得大的传动比、实现运动的变速与变向、运动的合成与分解等功用,在工程上有广泛的应用。
轮系按照其运动中齿轮的轴线位置是否变动分为: 定轴轮系——各齿轮的轴线位置固定不变;
周转轮系——至少有一个齿轮的轴线的位置在运动中要发生改变; 混合轮系-----由定轴轮系和周转轮系混合而成。
此外,若所有齿轮的运动平面平行或重合,则轮系为平面轮系,否则为空间轮系。 轮系的运动分析的主要内容是:在已知轮系中各个齿轮的齿数的条件下,确定轮系输入轴与输出轴之间的传动比,包括两者之间的转速和转向关系等。而轮系的运动设计则是根据所需要的输入轴与输出轴之间的转速和转向关系,确定轮系的组成和轮系中各个齿轮的齿数。
8. 6.1定轴轮系的运动分析和设计 1.定轴轮系的运动分析
图8---23为一个定轴轮系,轮系中所有齿轮的轴心线的位置在运动过程中都保持不变。轮系由外啮合齿轮1、2、内啮合齿轮2’、3、外啮合齿轮3’、4、外啮合齿轮4、5以及圆锥齿轮5’、6组成。
设轮系的运动由齿轮1输入、由齿轮6输出,现要确定传动比i16
组成结构,有
i16
=
ω1ω6
=
ω1ω2'ω3'ω4ω5'ω2
ω3
ω4
ω5
ω6
=
(z2z1
)(z3z2'
)(z4z3'
)(z5z4
)(z6z5'
)=
z2z3z5z6z1z2'z3'z5'
=
ω1ω6
。根据轮系的
由这个例子可以看出:图示定轴轮系的传动比为轮系的输入和输出之间所含基本齿轮机构传动比的连乘积,也等于轮系中所有从动齿轮齿数的连乘积与所有主动齿轮齿数的连乘积的比值。在轮系中,一对齿轮传动哪一个齿轮是主动轮、哪一个齿轮是从动轮主要取决于轮系中的运动传递路线。在本例中,齿轮1为运动输入构件、齿轮6为运动输出构件,则齿轮4具有双重作用,在齿轮3、4这对齿轮传动中,齿轮3为主动轮,齿轮4为从动轮;而在齿轮4、5这对齿轮传动中,齿轮4为主动轮,齿轮5为从动轮。
在轮系的运动分析中,不仅要确定轮系的输入轴和输出轴转速之间的关系,还要确定输入和输出轴转向之间的关系。一般规定:当轮系的输入轴和输出轴的轴心线是平行的或重合
‘
’
的时候,转向关系通过加在传动比前面的符号表示:如果输入轴和输出轴的转向相同,传动
比前加“+”,如果输入轴和输出轴的转向相反,传动比前加“-”。当轮系的输入轴和输出轴的轴心线既不平行也不重合的时候,输入轴和输出轴的转向关系一般用画箭头的方法表示。
按照这一规定,对于图8---23所示的轮系,传动比i16应写成
i16
=
ω1ω6
=
z2z3z5z6z1z2'z3'z5'
(ω1
↓,ω6
←)
传动比i15写成
i15
=
ω1ω5
=
-
z2z3z5z1z2'z3'
传动比i14写成
i14
=
ω1ω4
=
+
z2z3z4z1z2'z3'
。
在图8---23中,从齿轮1到齿轮5中间的所有齿轮都是圆柱齿轮,各齿轮的轴心线相互平行或重合,所以,轮系的这一部分为平面轮系。平面轮系中只有外啮合和内啮合两种情况,外啮合使得两齿轮的转向相反,而内啮合的两齿轮的转向相同。因此,平面定轴轮系传动比的计算可以采用下面的公式:
iAB=
ω
A
ωB
=(-1)
m
从动齿轮齿数连乘积主动齿轮齿数连乘积
(8---47)
式中,m为外啮合的次数。
值得指出的是:齿轮4的齿数z4对传动比i16和i15的大小没有影响,但因其增加了一次外啮合而改变了齿轮6或齿轮5的转向,这种齿轮称为惰轮。 2. 定轴轮系的运动设计
从齿轮传动的强度、磨损和润滑等方面考虑,单级(一对)齿轮传动的传动比最好在5---7之间,单级蜗杆蜗轮传动的传动比最好不要大于80。在设计要求的传动比比较大、而且只能采用定轴轮系的情况下,应当考虑用多级齿轮传动。
在多级齿轮传动中,确定传动的级和传动比的分配是轮系运动设计中应当重点考虑的问题。
例8---2 设计一个平面定轴轮系实现传动比i=+180。 解:首先确定传动的级。
可以假设轮系中各级传动的传动比都是相同的。遵循“简单为最佳”的原则,先考虑采用二级传动的方案。180的平方根是13.416,也就是说,如果采用二级传动,各级传动比都应当是13.416,超出了单级传动比在5---7的范围。那么,考虑三级传动,180的立方根为5.646,则各级传动的传动比5.646,在5---7的范围之内,所以,采用三级传动的方案。
在确定了传动的级之后,应当确定各级传动的齿数。
为了使传动具有较好的互换性、不发生根切现象,齿轮的齿数应大于标准齿轮不根切的最少齿数zmin,设zmin=17,大、小齿轮齿数的选择方案如表8---3所示。
齿轮的齿数必须为整数,在表8---3中,大齿轮齿数最接近整数的是95.99。因此,可以取小齿轮的齿数17,大齿轮的齿数96,传动比5.647,与5.646最为接近。进而可以算出总传动比为5.6473=180.07,与设计要求的传
动比之间的误差约为0.4%。0.4%的误差对于工程传动装置,例如起重机的起升机构等,是可以接受的。
但是,在精密仪器和机械的运动控制装置的设计中,传动比必须严格按设计要求进行设计。如果要使轮系的传动比精确地为180,可以采用下面的设计思路。
由于传动比180是整数,并且采用三级传动,则可以采取每级传动的传动比都是整数的方案,这也是最简单的方案。为达到此目的,就要找出三个整数,它们的连乘积为180。180的立方根为5.646,可以以这个数为基础取值。经过试算,得到6⨯6⨯5=180,也就是说,轮系可以由两个传动比为6和一个传动比为5的三个基本齿轮传动机构组成。在传动比为6的传动中,小齿轮的齿数取为17,大齿轮的齿数取为102;在传动比为5的传动中,小齿轮的齿数取为17,大齿轮的齿数取为85。
最后,考虑传动系统的布置问题。为了减小中间轴受到的扭矩,减速定轴轮系布置设计
的准则是:将传动比比较小的传动放在传动系统的前端,而将传动比比较大的传动放在后端。
如果三级传动的每级传动都采用外啮合,在式(8---47)中的m=3,轮系的输入和输出转向相反,则不能满足i=+180的要求。为了解决这个问题,可以增加一个惰轮或将其中的一对外啮合齿轮改为内啮合。
图8---24给出了两个设计方案,这两个方案精确地满足了传动比的设计要求,每级传动
8.6.2周转轮系的运动分析和周转轮系的设计 1.周转轮系的组成和分类
图8---25为一个周转轮系。齿轮2的轴线位置在轮系运动时会发生变化,齿轮2的运动是绕自身轴线的自转和随构件H的公转的合成,称齿轮2为行星轮;齿轮1、3与行星轮2相啮合,但它们的轴线位置始终不变,称齿轮1和齿轮3为太阳轮(中心轮),构件 H带动行星轮2运动,称为系杆(或行星架)。由此可知:一个周转轮系中的基本活动构件有行
星轮、太阳轮和系杆。
按照周转轮系的自由度将周转轮系分为差动轮系和行星轮系:自由度F=2的周转轮系为差动轮系,自由度F=1的周转轮系为行星轮系。图8---25所示的周转轮系的自由度为2,所以为差动轮系。
周转轮系也分为平面周转轮系和空间周转轮系。 2. 周转轮系的运动分析
由于有行星轮的存在,所以,周转轮系的运动分析不像定轴轮系的运动分析那样简单。 周转轮系以机架为参考系,行星轮的轴心线是运动的。但是,若以系杆为参考系,则轮系中各个齿轮的轴心线位置就不再发生变化了,轮系变成定轴轮系。于是可以提出一种周转轮系运动分析的方法:将运动分析的参考系选择为系杆,使周转轮系转化成 “定轴轮系”,各个齿轮相对系杆的相对转速关系可以应用定轴轮系传动比的计算方法和公式,最后,再利用相对转速与绝对转速之间的关系,便可以得到各个齿轮、系杆绝对转速之间的关系。
以图8---25所示轮系为例。由于轮系中所有构件的转动轴心线都是平行的或重合的,所以,各个齿轮相对于系杆的转速可以用代数的加减得到。设原轮系各构件的转向相同,则各个齿轮相对于系杆的转速为该齿轮的绝对转速ωi加上一个“-ωH”,即: ωiH
=ωi-ωH,
i=1,2,3。此时系杆“固定不动”,成为相对运动的参考系,轮系也成为“定轴轮系”,利用定轴轮系传动比的计算公式,可以写出齿轮1与齿轮3之间的相对转速比为 i
z3z1
H
13
=
ω1Hω
H3
=
ω1-ωHω3-ωH
=-
z3z1
(8----48)
式中
H
前的负号“-”是由于 ω1H与ω3的转向相反。
这样就建立出了齿轮1的转速ω1、齿轮3的转速ω3和系杆转速ωH之间的关系,为轮系的运动分析提供了一个途径。
如果轮系为差动轮系,太阳轮1、3的转速都不为零,轮系的自由度为2,则在ω1、ω3
和ωH中必须已知两个,才能用式(8---48)求出第三个构件的转速。比如已知ω1和ω3,则由式(4---48)可得
ω1+
ωH
=
(1+
z3z1z3z1
ω3
(8---49)
)
如果ω1和ω3转向相同,则以相同的符号将ω1和ω3代入,由式(8—49)算出的ωH必定与ω1和ω3的符号相同,表示ωH的转向与ω1、ω3相同。如果ω1和ω3转向相反,则以相
反的符号将ω1和ω3代入,比如,可以将ω1以正值代入,ω3以负值代入,再由式(8—49)算出的ωH,并根据计算出的ωH的符号判定ωH的转向:如果ωH0, 则ωH的转向与ω1的转向相同。
如果将图8---25中的一个太阳轮(比如齿轮3)与机架固结,轮系便成为一个行星轮系,如图8---26所示。此时,只需在式(8----48)中令ω3的关系
ωH
=
ω1(1+
z3z1
)
=
0,就可以求出ω1与ωH之间
(8---50)
在利用上述方法进行周转轮系的运动分析时,一方面要注意首先应写出的是相对转速的转速比,根据相对转速的方向是否相同,在齿数比前加正确的“+”或“-”。如果相对转速的转向相同,加“+”,否则,加“-”;另一方面,只有转动轴线与系杆转动轴线平行或重合的齿轮才能用代数加减的方法确定其相对于系杆的相对转速。
在图8---27中两个太阳轮1、3的转动轴心线与系杆的转动轴心线重合,因此,有
H
ω1
==
ω1-ωHω3-ωH
ω
H3
H
并且由于ω1H和ω3的转向相反,有
i13
=
ω1H
H
ω3
=
ω1-ωHω3-ωH
=-
z3z1
(8---51)
但是行星轮2的转动轴心线与系杆的转动轴心线既不平行,也不重合,所以,齿轮2相对于系杆的转速就不能写成
Hω2
=ω2-ωH。
3. 周转轮系的设计
周转轮系的设计首先应该确定轮系的结构类型,然后确定轮系中各个齿轮的齿数和行星轮的个数。
周转轮系的结构类型有很多,一般
根据太阳轮的个数和系杆在轮系中的作用来分类。各类轮系以简单的符号表示,例如2K—H型周转轮系表示轮系中有两个太阳轮(2K),H表示系杆,图8---26和8---29(a)所示的轮系都属于2K—H型周转轮系。3K型周转轮系表示轮系中的基本构件是3个太阳轮(3K),系杆只起到支撑行星轮的作用,图8---28(b)所示的轮系属于3K型轮系。在选择轮系的类型时主要考虑轮系的传动比范围、轮系的效率、结构的复杂性等。
在确定轮系各齿轮的齿数和行星轮的个数时,必须满足以下四个条件:
1. 传动比条件。必须保证能够实现设计要求的传动比; 2. 同心条件。保证所有太阳轮的轴心线与系杆的轴心线重合; 3. 装配条件。保证各行星轮能够均匀地分布在太阳轮的四周; 4. 邻接条件。保证相邻的两个行星轮不会发生干涉和碰撞。
图8---29所示的2K---H 轮系中,太阳轮b与机架固接,轮系为行星轮系,并设所有齿轮为标准直齿圆柱齿轮、标准安装,则其传动比条件为
z3
=
(i1H
-1)z1; (8---52)
同心条件为
z3
=
z1+2z2; (8----53)
行星轮的个数N=3,装配条件为
z1+
N
z3
=
z1+
3z3
=
k,k为整数; (8---54)
邻接条件为
z1sin
z2
πN
*
-2ha
z1sin=
π3
*
-2ha
1-sin
πN
1-sin
π3
。 (8---55)
除了周转类型的选择和轮系中各个齿轮齿数、行星轮的个数的确定之外,为了使各行星轮之间的载荷分配是均衡的,轮系中还应设计有载荷的均衡装置。
周转轮系现在已有了不少巧妙的设计,2K---H型减速器是应用最为广泛的减速装置,其一级传动比为1.14---12.5,多级可达2500,最大已达到2500。一些由周转轮系演变而成的机构在工程中也有广泛的应用,这些机构体积和重量都很小,但传动比却很大,而且传动效率也比较高。例如:本书第十四章介绍的渐开线少齿差行星传动,它的一级传动比可达100
,
而二级传动比就可达10 000;摆线针轮行星传动,一级传动比的范围是9~115;谐波齿轮传动,一级传动比的范围是50~500,二级可达2 500~250 000。这些机构目前在各种机械装置中已有广泛的应用。饶振纲编著的《行星传动机构(第二版)》(北京:国防工业出版社,1994年)对这些机构有比较详细的介绍。 8.6.3混合轮系的运动分析和设计
通常称定轴轮系和周转轮系为基本轮系。混合轮系是指由若干个基本轮系通过各种不同的方式组合而成的传动系统。 1. 混合轮系的运动分析
混合轮系的运动分析可按下述步骤进行: (1)划分基本轮系;
(2)写出各基本轮系中相关齿轮的转速关系; (3)找出基本轮系之间的转速关系; (4)联立以上各种转速关系求解。
例8----3 已知图8---30(a)所示轮系中各齿轮的齿数,试计算轮系的输入转速ωi与输出转速ωo之比iio
=
‘
ωiωo
。
’
解 轮系中齿轮6和齿轮5是为了增加轮系的承载能力而加的齿轮,分别是齿轮6和齿轮5 的虚约束。因此,在运动分析时可不考虑这两个齿轮。
构件4为机架,划分基本轮系的时候,先从齿轮1入手。齿轮1与齿轮5啮合,齿轮5是行星轮,则可以确定出构件H为系杆和齿轮1、2为太阳轮,这样就可以将一个基本周转轮系从混合轮系中划分出来。再沿着运动传递路线继续分析,齿轮3、6、2’的轴心线都是固定的,所以,又可以将齿轮3、6、2’组成的定轴轮系从混合轮系中划分出来。至此,将轮系中所有构件都划分到了不同的基本轮系,便完成了轮系的划分。
由以上分析可知,轮系是由两个基本轮系组成的: ① 齿轮1、5、2、系杆H(3)组成的差动轮系 ② 齿轮3、6、2组成的定轴轮系 对于差动轮系①有
ω1-ωHω2-ωH
=
-z2z1
‘
对于定轴轮系②有
ω3ω2'
=
-z2'z3
‘
由于系杆H与齿轮3、齿轮2与齿轮2是分别固接在一起的,所以两个基本轮系之间有ωH
iio
==
ω3,ω2
ωiω0
=
=ω1ω2
ω2'。并且ω1
=
-[z2z1
=
ωi,ω2z2'z3
)+
=z2'z3
ωo,则
] (8---56)
(1+
由iio
0可知:轮系的输入转速ωi与输出转速ωo的转向相反。
2. 混合轮系的设计
目前,系统地研究混合轮系的结构组成的方法还是4.3.1节中介绍的机构拓扑图方法。图8---30(a)所示轮系的拓扑图如图8---30(b)所示:各个齿轮和系杆表示为顶点,运动副表示为连接顶点的边,粗线表示连接的两构件之间为齿轮副,而细线表示连接的两构件之间为转动副。
满足机构自由度计算公式的一般轮系的拓扑图具有以下一些基本规律: (1) 顶点数目v比转动副数目et大1,即:v=et+1;
(2) 齿轮副的数目eg与顶点的数目v和轮系的自由度F有关,三者之间的关系为:
eg=v-1-F;
(3) 将所有齿轮副的边去掉所得到的子图是树状结构;
(4) 任何齿轮副的边加到树状结构上将形成一个基本回路,基本回路中有一条齿轮副边
和数条转动副边。因而,基本回路的数目与齿轮副边的数目是相等的;
(5) 每一个转动副边可以用一个基准线符号来标注,基准线符号确定了转动副的转动轴
线在空间的位置;
(6) 基本回路的自由度等于回路中顶点的数目减2;
(7) 每一个基本回路中都有一个顶点,在此点的一侧的所有边都在相同的基准线上,而
在该点的另一侧的边则在另外的基准线上。这样的顶点称为转变点;
(8) 同一基准线的转动副的边一定形成一个树状结构。
以上8条规律为混合轮系的设计提供了一定的依据。
轮系拓扑图分析方法也为轮系的同构判定和在已有轮系的基础上进一步创新设计提供了依据。
思考题和习题
8---1. 确定题8----1图所示齿轮机构在图示位置时的传动比,并判断传动比是否为定值。
8----2. 一条在半径为rb
=
50mm的基圆上发生的渐开线,哪一点的曲率半径为零,哪一
点的压力角为零,哪一点的压力角为90°?计算出相应点的展角和向径值。
8----3. 推证渐开线齿轮法向齿距pn、基圆齿距pb和分度圆齿距p之间的关系为式(8---9)。 8----4. 用范成法加工渐开线直齿圆柱齿轮,刀具为标准齿条型刀具,其基本参数为:m=
2mm,α
=
20 ,正常齿制。
122.5
rad
s
(1) 齿坯的角速度ω=时,欲切制齿数z=90的标准齿轮,确定齿坯
中心与刀具分度线之间的距离a和刀具移动的线速度v; (2) 在保持上面的a和v不变的情况下,将齿坯的角速度改为ω=
123
rad
s
。这样所
切制出来的齿轮的齿数z和变位系数x各是多少?齿轮是正变位齿轮还是负变位齿轮?
(3) 同样,保持a和v不变的情况下,将齿坯的角速度改为ω=
122.1
rad
s
,所切制
出来的齿轮的齿数z和变位系数x各是多少?最后加工的结果如何?
8----5. 一个渐开线标准正常直齿圆柱齿轮,齿轮的齿数Z=17,压力角α=20 ,模数
m=3
㎜。试求在齿轮分度圆和齿顶圆上齿廓的曲率半径和压力角。
8----6. 推证渐开线齿轮不根切的最小变位系数xmin由式(8---15)确定。解释当z>
xmin的物理含义。
zmin时,
提示:考虑z
zmin的齿轮,将加工标准齿轮的中心距增大到正变位不发生根切时,齿条
刀具的最小移动量就是xminm。
8----7. 用一个标准齿条形刀具加工齿轮。齿条的模数m=4mm,齿形角α=200,齿
*顶高系数ha
=1,顶隙系数c*=0.25,齿轮的转动中心到刀具分度线之间的距离为
H=29mm,并且被加工齿轮没有发生根切现象。试确定被加工齿轮的基本参数。
8----8. 已知齿轮的分度圆齿厚s,分度圆半径r和压力角α,推出半径为ri的圆上齿轮的齿厚si的计算公式,题8---8图;如果齿轮的齿数为Z
=36,分度圆半径r
=108mm,压力角
为α=200,分度圆齿厚为s=10.7mm。试确定
(1) 齿轮的变位系数x; (2) 齿顶变尖sa
=
0时的齿顶圆半径ra;
(3) 齿厚si和齿槽宽ei相等的圆的半径ri。 提示:解题中要求渐开线函数的反函数,由式(8---3)可知,这是一个超越方程,可以用6.4.1节中介绍的牛顿迭代法解,也可以查《机械设计手册》中的渐开线函数表。
8----9. 测量齿轮的公法线长度W是检验齿轮精度的常用方法,如题8----9图所示,测量时,卡尺的卡脚必须卡在齿廓的渐开线段。
(1) 设跨齿数为k(在题8---9图中k=3)推导渐
开线标准齿轮公法线的长度计算公式为W
=
mcosα[(k-0.5)π+
z invα]
(2) 如果齿轮为变位齿轮,推出公法线长度的计算公式;
(3) 如果已知跨齿数k=2的公法线长度W2=27.311㎜, 跨齿数k=3的公法线长度W3=45.518
㎜,试通过试凑的方法确定齿轮的模数和分度圆压力角。
(4) 现有一把游标卡尺和一个渐开线直齿圆柱齿轮,如何确定出齿轮所有的基本参数? 8----10. 题8----10图为一对直齿圆柱齿轮传动,两个圆分别为两个齿轮的基圆,齿轮2为主动轮,转向如图所示。试根据图中所画出的齿轮传动尺寸,画出
(1) 理论啮合线N1N2; (2) 实际啮合线B1B2 (3) 啮合角α';
(4) 轮齿A以及与轮齿A相啮合的轮齿的齿廓
工作段。
提示:轮齿的齿廓工作段是指:轮齿在参加啮合的一侧,从齿顶到齿根部参与啮合的最后一点的齿廓部分。由于齿根部参与啮合的最后一点
是与另一个齿轮的齿顶相啮合的,所以,该点可以根据另一齿轮的齿顶圆的点啮合时在啮合线上的位置确定,即:齿轮1齿根部参与啮合的最后一点可以由O1B2的距离确定,齿轮2齿根部参与啮合的最后一点可以由O2B1的距离确定。
8----11. 推导渐开线外啮合直齿圆柱齿轮传动重合度的计算公式(8---27)。
8----12. 某一标准直齿圆柱齿轮齿条传动,已知齿轮的基本参数为z=20,m=10mm,α=20o,正常齿制齿轮。齿条为主动,移动方向由右向左。试选择一定比例按以下情况作图,并说明齿轮节圆半径r’、节点P的位置、啮合角α'、实际啮合线B1B2和重合度ε哪些发生了变化,哪些没有变化。
(1) 齿轮齿条为正确安装;
(2) 在齿轮齿条正确安装中心距的基础上,将齿条沿远离齿轮转动中心的方向移动2㎜。 8----13.现有一对外啮合直齿圆柱齿轮传动,已知齿轮的基本参数为z1
α
=
20 ,m
=36,z2
=33,
=
2mm,正常齿制,x1=-0.235,x2=1.335。
(1) 计算齿轮这对齿轮传动的标准中心距a和正确安装中心距a'; (2) 计算齿轮1的r1,rb1,ra1,rf1,p,s,e;
(3) 与采用标准齿轮传动相比较,这对齿轮传动有什么优点和缺点,应检验的条件是什
么?
8----14. 一对传动比为1的外啮合渐开线标准正常直齿圆柱齿轮,模数m=5mm,压力角α=200,正确安装。在选择齿数时,为了提高重合度,使齿轮的齿顶圆恰好彼此通过对方的极限啮合点,若设计重合度达到ε=1.621。问 (1) 齿轮的齿数是多少?
(2) 采用同样的思路、但是齿轮不发生根切现象,齿轮的齿数应该是多少?重合度又是多
少?
(3) 这样的齿轮传动比较容易出现的问题是什么?
8----15. 在题8----15图所示的一个回归齿轮传动的设计中,已经确定出z1
α
=
=
27,z2
20 ,m
=60,z2'
=
63,z3
=25,
=5mm,正常齿制。问共有多少种
方案可供选择,并对各种方案进行比较。
提示:回归齿轮传动设计中要求输入轴和输出轴的轴心线重合,即:齿轮1、2的安装中心距与齿轮2、3的安装中心距相等。
8----16. 推导斜齿圆柱齿轮端面参数和法面参数之间的换算关系式(8---30)。
8----17. 一对渐开线外啮合标准斜齿圆柱齿轮传动,已知z1=21,z2=51, mn=4mm,
αn
=
20 ,han=1,cn=0.25,β=15,轮齿宽度B
*
*
‘
试计算这对齿轮传动的=30mm。
中心距a和重合度ε。
8----18. 一阿基米德蜗杆蜗轮传动,蜗轮的齿数z2蜗杆为单头。确定 (1)传动比i12
=
ω1ω2
=
40、分度圆直径d2
=200mm,
,其中ω1为蜗杆的转速,ω2为蜗轮的转速;
(2)蜗轮端面模数mt2,蜗杆的轴面模数ma1和分度圆直径d1; (3)蜗杆分度圆升角λ1; (4)中心距a。
8----19. 一对标准直齿圆锥齿轮传动,已知z1=16,z2=63,m=14,α=20,
*ha
=1,δ1+δ2
=90 。
(1)试求齿轮1的分度圆锥顶角δ1;
(2)选择一定比例,画出齿轮1的分度圆锥、背锥,并标出齿轮的齿顶圆直径和齿根圆直
径;
(3)计算这对齿轮传动的重合度ε。
8----20. 在题8----20图中,已知蜗杆的转速n1=900r
z3
=
20,z3'
=
25,z4ω1ω6
min
,z2
=
=
60,z2'
28,z6
=25,
=
20,z4'
ω2ω6
z5=30,
ω5'ω6
=
35,z5'
=135 。
(1)写出i16
=
,i26
=
,i5'6
=的表达式;
(2)确定n6的大小和转向。
8----21. 设计一个定轴轮系,轮系的输入转速为21000rpm,输出转速为30rpm,转向如题8----21图所示。画出轮系的设计方案,并标出各个齿轮的齿数。
04=
4
z
8-----22. 题8----22图为一用于自动化照明灯具的轮系,已知n1z1
=
60,z3
=
40,z2
=19.5r
=120。
min
,
=
z2'
=30,
,z5
(1)轮系属于什么类型的周转轮系; (2)确定箱体的转速和转向。
ωAωG
8----23. 计算题8----23图所示大减速比减速器的传动比iAG
=。
8----24. 写出题8----24图中ω1,ω3,ωH之间的关系,设已知各个齿轮的齿数。 8----25. 题8----25图所示为一提升重物装置。蜗杆E为右旋,卷筒直径为250㎜, 齿轮A的转速为700r/min。确定重物上升时齿轮A的转向和重物的速度。
8----26. 在题8----26图所示的轮系中,问当齿轮A转动一转时,齿轮L转动几转?两者的转向是否一致? 画出轮系的拓扑图,根据其拓扑图确定轮系的自由度。
8----27. 题8---27图中,nA,nB为轮系的输入运动,C为轮系的运动输出构件。已知
nA=50r/min, nB=100r/min,确定转速nC的大小和转向。