关于非同心的两圆方程相减的几个结论
２０１５年第６期中学数学月刊
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关矛非同心的两圆方程相减的几个结论
王秋霞
（湖北省武汉大学附属中学４３００７２）
已知圆０１：ｚ２＋ｙ２＋Ｄ１ｚ＋Ｅ１ｙ＋Ｆｌ—Ｏ，圆
０２：ｚ２＋ｙ２＋Ｄ２ｚ＋Ｅ２ｙ＋Ｆ２一Ｏ，Ｄ１≠Ｄ２，Ｅ１≠
Ｅ。，两圆方程相减得（Ｄ。一Ｄｚ）ｚ＋（Ｅｔ—Ｅｚ）３，＋Ｆ，一Ｆ。一０，此方程代表一条直线，记作ｚ，叫做两圆的根轴．根据两圆的位置关系，可以得到直线ｚ如下有关结论［１］．
结论１根轴与两圆连心线垂直．
证明
直线ｚ：（Ｄ，一Ｄ：）ｚ＋（Ｅ。一Ｅ２）ｙ＋
Ｆ，一Ｆ。一０的一个方向量向量为聆一（Ｅ－一Ｅｚ，
Ｄ：一Ｄ１）．因为０１０；一ｆ堕等，生善１，所
以ｎ・０，０：一０．故ｚ上０。０：．结论１得证．
结论２
两圆相交时，根轴为相交弦所在的直线．
结论３
两圆外离（内含）时，根轴上的点到两圆切线长相等．
证明
因为圆的方程有两种表示形式，即ｚ
２
＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅ乡＋Ｆ一（ｚ～ｚｏ）＋（ｙ—ｙｏ）２一产＝
０．
当点Ｐ（ｘ，ｙ）
在圆外时，
式
子
√ｚ２＋Ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ
一
√（ｚ—ｚ。）２＋（ｙ—ｙ。）２一ｒ２表示点Ｐ到圆的切
线长．而直线方程（ｚ２＋ｙ２＋Ｄ，ｚ＋Ｅ，ｙ＋Ｆ，）一
（ｚ２＋ｙ２＋Ｄ２ｚ＋Ｅ２ｙ＋Ｆ２）一０可以变形为
√ｚ２＋ｙ２＋Ｄｌｚ＋Ｅ１＋Ｆ１
一
￣／ｚ２＋ｙ２＋Ｄ：ｚ＋Ｅ：ｙ＋Ｆ。，即点Ｐ到两圆的
切线长相等．因此，直线ｚ上的点到两相离圆的切线长相等．更进一步，如果两圆的半径相等，直线ｚ就是两圆的对称轴．
结论４
两圆相切（内切、外切）时，根轴为过两圆切点的公切线．
证明
当两圆相切时，由结论３可知，直线ｚ
过切点．又由结论１可知，直线ｚ与两圆连心线垂直，所以直线ｚ为过两圆切点的公切线．
当两圆相离或内含时，根轴的几何意义是到两圆切线长相等的点的轨迹，但此结论比较抽象，具体直线ｚ在哪里？可探求根轴ｚ与两圆圆心所在直线垂直的垂足Ｋ的位置．
设圆０ｌ：（ｚ—ｎ１）２＋（ｙ—ｂ１）２一ｒ；，圆０２：（ｚ一口ｚ）２＋（ｙ—ｂ２）２一ｒ；．
结论５
两圆相离时，根轴与两圆连心线垂
万方数据
直于Ｋ，Ｋ内分Ｏ，Ｏ。所成的比Ａ—ｒ；一ｒ；＋Ｏ１０２２
ｒ！～ｒ；＋Ｏ，０２‘
证明
以Ｏ。为圆心、Ｒ，为半径，Ｏ。为圆心、
么，新得到的两圆是外切的．再令ｒ；一ｒ；一Ｒ｝一到的两圆相减所得的的方程相同，为同一直线，即为新得两圆的公切线，所以只需解方程组
｛Ｉ！；１一＋ｒＲ；２一＝ＲＯ；１～０Ｒ２，；，即ＲＩ＋Ｒ２－－－－０１０２＇２．．
微得ｋ丢（蒜№。。）．
ｆＲ，一丢（错＋ｏ－ｏｚ），
糍删ｒ６，宅。’
Ｋ内分０１
０。所成的比Ａ一面Ｒ１一
又Ｒ，～一丢（锗＋ｏ，ｏｚ）～
一夏安瓦（ｒ｝一ｒ；＋ｏ・Ｏｚ２—２０１０ｚｒ・）
一赤［（ｏ，Ｏｚ１）２一ｒ！］
一夏安瓦（ｏ，０２一ｎ—ｒ２）（ｏ，Ｏｚ—ｎ＋吃）
一暑三秀＿兰舞．（证法与结论５类似，从略）
Ｒ。为半径分别作圆，且满足Ｒ。＋Ｒ。一Ｏ。Ｏｚ，那Ｒ；，显然，原来两圆方程相减所得的方程和新得