八年级数学角平分线的性质及其逆定理同步练习

24.8 角平分线的性质及其逆定理

1. 如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，在以下结论中：①△ADE≌△ADF；②△BDE≌△CDF；③△ABD≌△ACD；④AE=AF；⑤BE=CF；⑥BD=CD．其中正确结论的个数是（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

E

D A

F C

答案：B．

2. 如图，Rt△ABC中，∠C=90º，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，BC=6，A

CD=3，AE=4，则DE=_______，AD=_______，△ABC的周长是_______．

答案：3，5，24

3. 用三角尺画角平分线：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，再分别过M、N作线，交点为P，画射线OP，则这条射线即为角平分这种做法的道理．你还能举出哪些作角平分线的方这种做法的道理．

E

B

OA，OB的垂

线．请解释法，并说明

答案：提示：OM=ON，OP=OP，∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL)，∴∠MOP=∠NOP，∴射线OP是∠AOB的平分线．

4. 如图，三条公路围成的一个三角形区域，要在这个区域中建一个加油站，使它到三条公路的距离都相等，加油站应建在什么位置？请用尺规作图，找出建造加油站的位置．

答案：提示：作两个角的平分线，交点即为建加油站的位置． 5. 如图，△ABC中，∠C=90º，BD平分∠ABC交AC于D，DE是ABE

1

的垂直平分线，DE=2BD，且DE=1.5cm，则AC等于（ ）

A．3cm B．7.5cm 答案：D．

6. 如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点． 求证：点P在∠C的平分线上．

C．6cm D．4.5cm

C D A

A E

D

答案：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q．∵P在∠BAC的平分线AD上，∴PM=PQ．P在∠ABC的平分线BE上，∴PM=PN。∴PQ=PN，∴点P在∠C的平分线．

7. 如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥

P C

B

DNM

EC

AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C．

求证：（1）AD=CD；（2）∠ADB=∠CDB．

答案：△ABP≌△CBP，∴AB=CB，又∠ABP=∠CBP，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD，∠ADB=∠CDB．

8. 如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和

A

B

O

E

N

B

EM相交于点C．

求证：点C在∠AOB的平分线上．

答案：提示：作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，OM=ON，OE=OD，∠MOE=

∠NOD，∴△MOE≌△NOD(SAS)，∴S△M O E =S△N O D，同时去掉S四边形ODCE，得S△M D C=S△N

E C，易证，MD=NE，∴CE=CF，∴点

C在∠AOB的平分线上．

A

B

D

9. 已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别为垂足．

求证：AD垂直平分EF．

答案：提示：由角平分线的性质定理，可得DE=DF，进而求得∠DEF=∠DFE，∠AEF=∠AFE，所以AE=AF，所以AD垂直平分EF．

F

C

10. 如图，已知△ABC中，∠C=90º，∠BAC=2∠B，D是BC上一点，DE⊥AB于E，DE=DC． 求证：AD=BD．

答案：提示：DE=DC，AD=AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADC，∴∠EAD=∠DAC=

B

D A

C

11

∠BAC，又∠B=∠BAC，∴∠EAD=∠B，∴AD=BD． 22

24.7 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理

1. 如图，△ABC中，∠CAB=120º，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，则∠EAF等于（ ）A．40º B．50º C．60º D．80º

答案：C．

2. 已知线段AB和它外一点P，若PA=PB，则点P在AB的____________________；若点P在AB的____________________，则PA=PB． 答案：垂直平分线上；垂直平分线上．

3. 已知：△ABC中，边AB，AC的垂直平分线相交于点P． 求证：点P在BC的垂直平分线上．

答案：连结PA，PB，PC，PB=PA=PC，所以，点P在BC的垂直平分线上．

4. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD的度数为（ ） A．60° B．75° C．90° D．95° 答案：C．

B

5. 如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AF=12，BF=3，则BC=__________． 答案：15．

6. 如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，AC，BD相交于E，由这些条件你能推出哪些结论（不再添加辅助线，不再标注字母，不写推理过程，只要求写出四个你认为正确的结论）？

答案：AC平分对角；AC⊥BD；AC平分BD；△ABC≌△ACD等．

7. 如图，△ABC中，AB=AC，点P、Q、R分别在AB，BC，AC上，且PB=QC，

Q

C

B

C F

A E E

QB=RC．

求证：点Q在PR的垂直平分线上．

答案：提示：AB=AC，∴∠B=∠C，又PB=QC，QB=RC，∴△BPQ≌△CQR，B ∴QP=QR，∴点Q在PR的垂直平分线上．

8. 把16个边长为a的正方形拼在一起，如图，连接BC，CD，则△BCD是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．任意三角形 答案：B．

9. 若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 答案：C．

线段垂直平分线和角的平分线部分典型习题

1、（2008·重庆）△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，两腰AB、AC的垂直平分线交于点P，则（ ）

A、点P在△ABC 内 B、点P在△ABC 底边上

C、点P在△ABC 外 D、点P的位置与△ABC 的边长有关

2、如果三角形两边的垂直平分线的交点恰好落在第三边上，则这个三角形是（ ）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等边三角形 3、已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且∠EAF=100°，∠EBF=70°,则∠AEB等于( )

A、95° B、15° C、95°或15° D、170°或30° 4、（2009·陕西）如图1，在锐角△ABC中，

AB=4

,∠BAC=45°，∠BAC

的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是 。

5、（2009·甘肃）如图2，四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD＋BC的长的大小关系是（ ）

A、AB＞AD＋BC B、AB＝AD＋BC C、AB＜AD＋BC D、无法确定

6、在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，M是AB上一点，连接MD、MC,MD、MC分别平分∠ADC、∠BCD，求证：（1）AM=BM ； （2）∠DMC=90°. 7、（2009·北京）如图3-①所示，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。同时请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图3-②,在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠

BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图3-③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条

件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

8、（2007·绵阳）如图4，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点。①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF，以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：①②③ ,①③②，②③①。 （1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）； （2）请证明你认为正确的命题。

9、如图5，以△ABC两边AB、AC为边，向外作等

边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD交于O点，求证：OA平分∠DOE 10、（2007·日照）如图6，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF. （1）求证：AD⊥CF；

（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由。

1.在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长

变式1:如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若

∠BEC=70°，则∠A=?

变式2:如图，Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于E，若BE=2，∠B=15°，

求AC的长。

变式3:如图，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于E，若BE=2，∠B=22.5°，

求:AC的长。

例1：如图1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长.

解析：由线段垂直平分线定理得出AE=BE，由此△BCE的周长等于AC+BC，进而可以求得BC的长为23.

点评：此题是△ABC中一边AB的垂直平分线AC相交;那么当AB的垂直平分线与BC相交时，(如图2),对应的是△ACE的周长，它的周长也等于AC+BC.图形变化，但结论不变.

A

A

D

E

BE

B 图2

图1

变式1：如图1，在△ABC中， AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠BEC=70°，则∠A=？

解析：由线段垂直平分线定理得出AE=BE，可得△ABE是等腰三角形，由 “三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得出∠BEC=2∠A，进而得出∠A=35°.

点评：此题变式求角的计算方法，应用了两个定理.按照同样的方法,图2中也能得出相应的结论：∠AEC=2∠B.

变式2：

如图3，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E。若BE=2，∠B =15° 求：AC的长。 A

D

BEC

图3