高一数学人教版必修一函数定义域,值域,解析式的经典题目
1、设集合M={x |0≤x ≤2},N={y |0≤y ≤2},从M 到N 有4种对应如下图所示:
其中能表示为M 到N 的函数关系的有 。
2、求下列函数的定义域:
f (x ) =
x +1+
12-x
设函数y=f(x)的定义域为[0,1],求下列函数的定义域. (1)y=f(3x); (2)y=f((3)y=f(x +
13
) +f (x -
13)
1x
);
; (4)y=f(x+a)+f(x-a).
3、已知函数f (x ) =3x 2-5x +2,求f (3) ,f (-2) ,f (a +1) 。
4、下列函数中哪个与函数y =x 是同一个函数? (1)y =(x ) 2; (2)y =
3
3
x ; (3)y =
2x
5. 给出下列两个条件:(1)f(f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.
试分别求出f(x)的解析式.
(2)已知f (x )满足2f (x )+f(
6 求下列函数的值域:
(1)y=
变式训练2:求下列函数的值域: (1)y=
1-x 2x +5
x -x x -x +1
2
2
x
+1)=x+2
x
;(2)f(x)为二次函数且
变式训练1:(1)已知f (x )是一次函数,且满足3f (x+1)-2f (x-1)=2x+17,求f (x );
1x
)=3x,求f (x ).
;
(2)y=x-
-2x
; (3)y=
e -1e +1
x
x
.
; (2)y=|x|
1
-x
2
.
7.若函数f (x )=x 2-x+a的定义域和值域均为[1,b ](b >1),求a 、b 的值.
2
8. 判断函数f(x)=
x -1
2
在定义域上的单调性.
2. 解∵当x +1≥0且2-x ≠0,
即x ≥-1且x ≠2时,根式x +1和分式
12-x
同时有意义
∴这个函数的定义域是{x |x ≥-1且x ≠2}
解:(1)0≤3x≤1,故0≤x≤, y=f(3x)的定义域为[0, ].
3
3
1
1
(2)仿(1)解得定义域为[1,+∞). (3)由条件,y 的定义域是f (x +
1⎧
0≤x +≤1⎪
3
列出不等式组⎪⇒⎨
⎪0≤x -1≤1⎪3⎩
13)
与(x -
13
)
定义域的交集.
2⎧1
-≤x ≤⎪12⎪33
⇒≤x ≤, ⎨
33⎪1≤x ≤4
⎪3⎩3
12⎤
, ⎥⎣33⎦
故y=f(x +
13
) +f (x -
13
)
的定义域为⎡⎢
.
讨论:
(4)由条件得⎨①当⎨②当⎨
⎧a ≤1-a , ⎩1-a ≤1+a ,
⎧0≤x +a ≤1
⎧-a ≤x ≤1-a
⇒⎨,
⎩0≤x -a ≤1⎩a ≤x ≤1+a
1
即0≤a≤时,定义域为[a,1-a ];
2
1
⎧a ≤-a , ⎩-a ≤1+a ,
即-≤a≤0时,定义域为[-a,1+a].
2
1
1
综上所述:当0≤a≤时,定义域为[a ,1-a ];当-≤a≤0时,定义域为[-a ,1+a]
2
2
3. 解:f (3)=3×32-5×3+2=14;
f (-2) =3×(-
2) -5×(-2) +2=8+52;
2
2
2
f (a +1) =3(a +1) -5(a +1)+2=3a +a 。 4. 解:(1)y =x ,x ≥0,y ≥0,定义域不同且值域不同,不是同一个函数;
(2)y =x ,x ∈R ,y ∈R ,定义域值域都相同,是同一个函数; (3)y =|x |=⎨5. 解:(1)令t=
2
⎧x (x ≥0) ⎩-x (x
x
,y ≥0;值域不同,不是同一个函数。
+1,∴t≥1,x=(t-1)2.
2
2
则f(t)=(t-1)+2(t-1)=t-1, 即f(x)=x-1,x∈[1,+∞). (2)设f(x)=ax2+bx+c (a≠0),
2
∴f(x+2)=a(x+2)+b(x+2)+c, 则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.
∴⎨
⎧4a =4⎩4a +2b =2
, ∴⎨
⎧a =1⎩b =-1
,又f(0)=3⇒c=3,∴f(x)=x-x+3.
2
变式训练1:解:(1)设f (x )=ax+b,则
3f (x+1)-2f (x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17,
∴a=2,b=7,故f (x )=2x+7. (2)2f (x )+f(
1x
)=3x, ①
1x
把①中的x 换成,得2f (
3x
1x
)+f(x )=
3x 1x
② .
①×2-②得3f (x )=6x-6. 解:(判别式法) 由y=
x -x x -x +1
2
2
,∴f(x )=2x-
,
得(y-1)x
2
+(1-y ) x +y =0.
2
∵y=1时, x ∈∅, ∴y ≠1. 又∵x ∈R ,∴必须∆=(1-y)-4y(y-1)≥0. ∴-
13
≤y ≤1. ∵y ≠1,
∴函数的值域为⎡⎢-
⎣
1
⎫
, 1⎪3⎭
.
1-t 2
2
(2)(换元法) 令
1
-2x
=t,则t≥0,且x=. ∴y=-
12
(t+1)2+1≤(t≥0),
2
1
∴y∈(-∞,].
2
(3)由y=
e -1e +1
x
x
得,e =
x
1+y 1-y
. ∵e
x
>0, 即
1+y 1-y
>0, 解得-1<y <1.
∴函数的值域为{y|-1<y <1}. 变式训练2
解:(1)(分离常数法)y=-1
12
+
72(2x +5)
,∵
72(2x +5) 1
≠0,
∴y≠-. 故函数的值域是{y|y∈R,且y≠-}.
2
2
(2) y=|x|·
-x =
1
2
-x +x =
1
42
-(x -
2
12
) +
2
14
,
∴0≤y≤
12
,
即函数的值域为⎡⎢0,
⎣1⎤
⎥2⎦
.
7. 解:∵f(x )=(x-1)2+a-. ∴其对称轴为x=1,即[1,b ]为f (x )的单调递增区间.
2
2
∴f(x )min =f(1)=a-=1 ①
2
1
f (x )max =f(b )=b 2-b+a=b ②
2
1
3⎧
⎪a =,
由①②解得⎨2
⎪b =3. ⎩
8. 解: 函数的定义域为{x|x≤-1或x ≥1}, 则f(x)= f(x)=
u (x ) , u (x )
2
x -1
2
, 可分解成两个简单函数. 为增函数. ∴f (x )=
x -1
2
=x-1的形式. 当x ≥1时,u(x)u (x )
u (x ) x -1
2
在[1,
+∞) 上为增函数. 当x ≤-1时,u (x) 为减函数,为减函数.
为减函数, ∴f(x)=在(-∞,-1]上