用基本不等式求最值的类型及方法
用基本不等式求最值的类型及方法
均值不等式是《不等式》一章重要内容之一,是求函数最值的一个重要工具,也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。
一、几个重要的均值不等式 a 2+b 2
(a 、b ∈R ) ,①a +b ≥2ab ⇔ab ≤当且仅当a = b时,“=”号成立; 222
⎛a +b ⎫+②a +b ≥2ab ⇔ab ≤ 当且仅当a = b时,“=”号成立; ⎪(a 、b ∈R ) ,⎝2⎭2
a 3+b 3+c 3
③a +b +c ≥3abc ⇔abc ≤当且仅当a = b = c时, “=”号成立; (a 、b 、c ∈R +) ,3333
⎛a +b +c ⎫+④a +b +c ≥3abc ⇔abc ≤ ⎪(a 、b 、c ∈R ) , 当且仅当a = b = c时, “=”号成立. 3⎝⎭
注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”;
② 熟悉一个重要的不等式链:32
+a b a +b ≤≤≤2a 2+b 2。 2
二、函数f (x ) =ax +b (a 、b >0) 图象及性质 x (1)函数f (x ) =ax +b (a 、b >0)图象如图: x b (a 、b >0)性质: (2)函数f (x ) =ax +x
①值域:(-∞, -2ab ] [2ab , +∞) ;
②单调递增区间:(-∞,
,+∞
) ;单调递减区间:(0,0) . ,[
三、用均值不等式求最值的常见类型
类型Ⅰ:求几个正数和的最小值。
例1、 已知x
练习 5,求函数y =4x -2+1的最大值。 44x -5
11x 2+3x +1, x ∈(0,π) , x >3 (3)y =2sin x +,(x >0) (2)y =2x +(1)y =sin x x -3x
类型Ⅱ:求几个正数积的最大值。
例2、 当
练习 2①y =x (3-2x )(0
类型Ⅲ:用均值不等式求最值等号不成立。
例3、若x 、y ∈R ,求f (x ) =x +
类型Ⅳ:条件最值问题。
例4、已知正数x 、y 满足+4(0
类型Ⅴ:利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。
例5、已知正数x 、y 满足xy =x +y +3,试求xy 、x +y 的范围。
类型 条件求最值
a b 例6、若实数满足a +b =2,则3+3的最小值是
练习
11若log 4x +log 4y =2,求+的最小值. 并求x , y 的值 x y
2、2:已知x >0, y >0,且
四、均值不等式易错例析:
例1. 求函数y =
19+=1,求x +y 的最小值。 x y (x +4)(x +9)的最值。 x
例2. 当x >0时,求y =4x +
例3. 求y =
例4. 已知x , y ∈R +且9的最小值。 x 2x 2+5x +42(x ∈R ) 的最小值。 14+=1,求u =x +y 的最小值. x y
综上所述,应用均值不等式求最值要注意:
一要正:各项或各因式必须为正数;
二可定:必须满足“和为定值”或“积为定值”,要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构,如果找不出“定值”的条件用这个定理,求最值就会出错;
三能等:要保证等号确能成立,如果等号不能成立,那么求出的仍不是最值。
巩固练习:
1、已知:x 2+y 2=a , m 2+n 2=b 且a ≠b ,则mx +ny 的最大值为( ) a +b a 2+b 2a 2+b 2
(A)ab (B) (C) (D) 222
2、若a , x , y ∈R +,且x +y ≤a x +y 恒成立,则a 的最小值是( ) (A)22 (B)2 (C)2 (D)1
3、已知下列不等式:
①x 3+3>2x (x ∈R +) ;
②a 5+b 5≥a 3b 2+a 2b 3(a , b ∈R +) ;
③a 2+b 2≥2(a -b -1) .
其中正确的个数是( )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
4、设a , b ∈R +,则下列不等式中不成立的是( ) 112ab 1a 2+b 2
≤ab ≥2 (D)(A)(a +b )(+) ≥4 (B) ≥2ab (C)ab +a b a +b ab ab
5、设a , b ∈R +且2a +b =1, S =2ab -4a 2-b 2的最大值是( ) 2-12+1 (C)2+1 (D) 22
a b 6、若实数a , b 满足a +b =2,则3+3的最小值是( ) (A)2-1 (B)
(A)18 (B)6 (C)2 (D)23
7、若正数a , b 满足ab =a +b +3,则ab 的取值范围是+8、若x , y ∈R , 且2x +y =1,则11+的最小值为x y
9、若0