高考导数问题常见题型总结
高考有关导数问题解题方法总结
一、考试内容
导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数; 两个函数的和、差、基本导数公式,利用导数研究函数的单调性和极值,函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析
题型一:利用导数研究函数的极值、最值。
32
f (x ) =x -3x +2在区间[-1,1]上的最大值是 2 1.
2
2.已知函数y =f (x ) =x (x -c ) 在x =2处有极大值,则常数c = 6 ;
3
3.函数y =1+3x -x 有极小值 -1 ,极大值 3
题型二:利用导数几何意义求切线方程
3
(-1, -3)处的切线方程是 y =x -2 y =4x -x 1.曲线在点
4
2.若曲线f (x ) =x -x 在P 点处的切线平行于直线3x -y =0,则P 点的坐标为 (1,0)
4
y =x 3.若曲线的一条切线l 与直线x +4y -8=0垂直,则l 的方程为 4x -y -3=0
4.求下列直线的方程:
322
(1)曲线y =x +x +1在P(-1,1)处的切线; (2)曲线y =x 过点P(3,5)的切线;
32
∴y /=3x 2+2x ∴k =y /|x =-1=3-2=1
解:(1) 点P (-1, 1) 在曲线y =x +x +1上,
即x -y +2=0 所以切线方程为y -1=x +1 ,
2/ (2)显然点P (3,5)不在曲线上,所以可设切点为A (x 0, y 0) ,则y 0=x 0①又函数的导数为y =2x ,
所以过
2x 0=
A (x 0, y 0)
点的切线的斜率为
k =y /|x =x 0=2x 0
,又切线过A (x 0, y 0) 、P(3,5)点,所以有
y -5
x 0-3
⎧x 0=1⎧x 0=5⎨y =1 或 ⎨y =25
⎩0
②,由①②联立方程组得,⎩0,即切点为(1,1)时,切线斜率为
k 1=2x 0=2;
;当切点为(5,25)时,切线斜率为k 2=2x 0=10;所以所求的切线有两条,方程分
即y =2x -1 或y =10x -25 别为y -1=2(x -1) 或y -25=10(x -5) ,
题型三:利用导数研究函数的单调性,极值、最值
32
f (x ) =x +ax +bx +c , 过曲线y =f (x ) 上的点P (1, f (1)) 的切线方程为y=3x+1 1.已知函数
(Ⅰ)若函数f (x ) 在x =-2处有极值,求f (x ) 的表达式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数y =f (x ) 在[-3,1]上的最大值; (Ⅲ)若函数y =f (x ) 在区间[-2,1]上单调递增,求实数b 的取值范围
322
'f (x ) =x +ax +bx +c , 求导数得f (x ) =3x +2ax +b . 解:(1)由
过y =f (x ) 上点P (1, f (1)) 的切线方程为:
y -f (1) =f '(1)(x -1), 即y -(a +b +c +1) =(3+2a +b )(x -1).
的切线方程为y =3x +1. 而过y =f (x ) 上P [1, f (1)]
⎧3+2a +b =3
⎨
故⎩a -c =-3
⎧2a +b =0即⎨
⎩a -c =-3
① ②
'∵y =f (x ) 在x =-2时有极值, 故f (-2) =0, ∴-4a +b =-12 ③
32
f (x ) =x +2x -4x +5. 由①②③得 a=2,b=-4,c=5 ∴
2
(2)f '(x ) =3x +4x -4=(3x -2)(x +2).
2
-3≤x 0; 当-2≤x
3当
2
当0. ∴f (x ) 极大=f (-2) =133 又f (1) =4, ∴f (x ) 在[-3,1]上最大值是13。
2
'f (x )=3x +2ax +b , 由①知2a+b=0。 (3)y=f(x)在[-2,1]上单调递增,又
2''依题意f (x ) 在[-2,1]上恒有f (x ) ≥0,即3x -bx +b ≥0.
x =
①当
b
≥1时, f '(x ) min =f '(1) =3-b +b >0, ∴b ≥66; b
≤-2时, f '(x ) min =f '(-2) =12+2b +b ≥0, ∴b ∈φ6;
x =
②当
612b -b 2-2≤≤1时, f '(x ) min =≥0, 则0≤b ≤6.
b 12③当
综上所述,参数b 的取值范围是[0, +∞)
32
2.已知三次函数f (x ) =x +ax +bx +c 在x =1和x =-1时取极值,且f (-2) =-4.
(1) 求函数y =f (x ) 的表达式; (2) 求函数y =f (x ) 的单调区间和极值;
(3) 若函数g (x ) =f (x -m ) +4m (m >0) 在区间[m -3, n ]上的值域为[-4,16],试求m 、n 应满足的条件.
'(x ) =3x 2+2ax +b f 解:(1) ,
2
由题意得,1, -1是3x +2ax +b =0的两个根,解得,a =0, b =-3.
3
f (-2) =-4f (x ) =x -3x -2. c =-2再由可得.∴
'(x ) =3x 2-3=3(x +1)(x -1) f (2) ,
''
当x 0;当x =-1时,f (x ) =0; ''
当-1
'
当x >1时,f (x ) >0.∴函数f (x ) 在区间(-∞, -1]上是增函数; ]上是减函数;在区间[1,+∞) 上是增函数. 在区间[-1, 1
函数f (x ) 的极大值是f (-1) =0,极小值是f (1)=-4.
(3) 函数g (x ) 的图象是由f (x ) 的图象向右平移m 个单位,向上平移4m 个单位得到的, 所以,函数f (x ) 在区间[-3, n -m ]上的值域为[-4-4m ,16-4m ](m >0). 而f (-3) =-20,∴-4-4m =-20,即m =4.
于是,函数f (x ) 在区间[-3, n -4]上的值域为[-20, 0]. 令f (x ) =0得x =-1或x =2.由f (x ) 的单调性知,-1剟n -4综上所述,m 、n 应满足的条件是:m =4,且3剟n
3.设函数f (x ) =x (x -a )(x -b ) .
(1)若f (x ) 的图象与直线5x -y -8=0相切,切点横坐标为2,且f (x ) 在x =1处取极值,求实数a , b 的值;
6.
2,即3剟n
6.
(2)当b=1时,试证明:不论a 取何实数,函数f (x ) 总有两个不同的极值点.
'解:(1)f (x ) =3x -2(a +b ) x +ab .
''由题意f (2)=5, f (1)=0,代入上式,解之得:a=1,b=1.
2
'令f (x ) =0得方程3x -2(a +1) x +a =0. (2)当b=1时,
2
2
∆=4(a -a +1) >0, 故方程有两个不同实根x 1, x 2. 因
' '
x
' ' ' x x 时,f (x ) f (x ) f (x ) >0 1122当>0;当<0;当
因此x 1是极大值点,x 2是极小值点.,当b=1时,不论a 取何实数,函数f (x ) 总有两个不同的极值点。
题型四:利用导数研究函数的图象
/f 1.如右图:是f (x )的导函数, (x ) 的图象如右图所示,则f (x )的图象只可能是( D )
(A ) (B ) (C ) (D ) 2.函数
y =
13
x -4x +1的图像为3( A )
32
3.方程2x -6x +7=0在(0, 2) 内根的个数为 ( B )
A、0 B、1 C、2 D、3
题型五:利用单调性、极值、最值情况,求参数取值范围
1
f (x ) =-x 3+2ax 2-3a 2x +b , 0
31.设函数
(1)求函数f (x ) 的单调区间、极值.
'(2)若当x ∈[a +1, a +2]时,恒有|f (x ) |≤a ,试确定a 的取值范围.
22
x =a , x 2=3a ''f (x ) =-x +4ax -3a 解:(1)=-(x -3a )(x -a ) ,令f (x ) =0得1
列表如下:
x (-∞,a ) a
(a ,3a ) 3a +
0 极大
(3a ,+∞) -
f '(x ) f (x )
- 0 极小
∴f (x ) 在(a ,3a )上单调递增,在(-∞,a )和(3a ,+∞)上单调递减
4
f 极小(x ) =b -a 3
3,x =3a 时,f 极小(x ) =b x =a 时,
22
'f (x ) =-x +4ax -3a (2)∵0
'∴f (x ) 在[a+1,a+2]上单调递减
'=-(a +1) 2+4a (a +1) -3a 2=2a -1f min '=-(a +2) 2+4a (a +2) -3a 2=4a -4f Max ∴,
'|≤a |f '|≤a ,|f min '依题|f (x ) |≤a ⇔Max 即|2a -1|≤a ,|4a -4|≤a
44≤a ≤1[,1) 解得5,又0
2
2.已知函数f (x )=x3+ax2+bx +c 在x =-3与x =1时都取得极值(1)求a 、b 的值与函
数f (x )的单调区间 (2)若对x ∈〔-1,2〕,不等式f (x )
-
由f '(
21241
-a +b =0-
3)=93,f '(1)=3+2a +b =0得a =2,b =-2
f '(x )=3x2-x -2=(3x +2)(x -1),函数f (x )的单调区间如下表:
22
所以函数f (x )的递增区间是(-∞,-3)与(1,+∞),递减区间是(-3,1) 1222(2)f (x )=x3-2x2-2x +c ,x ∈〔-1,2〕,当x =-3时,f (x )=27+c
为极大值,而f (2)=2+c ,则f (2)=2+c 为最大值。 要使f (x )f (2)=2+c ,解得c 2
题型六:利用导数研究方程的根
13
1.已知平面向量a =(3, -1). b =(2, 2).
(1)若存在不同时为零的实数k 和t ,使x =a +(t2-3) b ,y =-ka +tb ,x ⊥y ,
试求函数关系式k=f(t) ;
(2) 据(1)的结论,讨论关于t 的方程f(t)-k=0的解的情况.
y x ⋅y 解:(1)∵x ⊥,∴=0 即[a +(t2-3) b ]·(-k a +tb )=0.
2 2
整理后得-k a +[t-k(t2-3)] a ⋅b + (t2-3)·b =0
1
2 2
∵a ⋅b =0,a =4,b =1,∴上式化为-4k+t(t2-3)=0,即k=4t(t2-3)
11
(2)讨论方程4t(t2-3)-k=0的解的情况,可以看作曲线f(t)= 4t(t2-3)与直线y=k的交点个
数.
33
于是f ′(t)= 4(t2-1)= 4(t+1)(t-1).
1
当t=-1时,f(t)有极大值,f(t)极大值=2.
1
当t=1时,f(t)有极小值,f(t)极小值=-2 1
函数f(t)=4t(t2-3)的图象如图13-2-1所示,
可观察出:
11
(1)当k >2或k <-2时, 方程f(t)-k=0有且只有一解; 11
(2)当k=2或k=-2时, 方程f(t)-k=0有两解; 11
(3) 当-2<k <2时, 方程f(t)-k=0有三解.
题型七:导数与不等式的综合
3
a >0, 函数f (x ) =x -ax 在[1, +∞) 上是单调函数. 1.设
(1)求实数a 的取值范围; (2)设
x 0≥1,f (x ) ≥1,且f (f (x 0)) =x 0,求证:f (x 0) =x 0.
22
'''f (x ) )[1, +∞y =f (x ) =3x -a , y 3x , 这解:(1) 若在上是单调递减函数,则须
样的实数a 不存在. 故f (x ) 在[1, +∞)上不可能是单调递减函数.
2
若f (x ) 在[1, +∞)上是单调递增函数,则a ≤3x ,
2
)[x ∈1, +∞, 故3x ≥3. 从而0
x
(2)方法1、可知f (x ) 在[1, +∞)上只能为单调增函数. 若1≤0
f (x 0)
只有
f (x 0) =x 0成立.
33
f (x ) =u , 则f (u ) =x ∴x -ax =u , u -au =x 0, 两式相减得0000方法2:设,32
(x 0-u 3) -a (x 0-u ) =u -x 0 ∴(x 0-u )(x 0+x 0u +u 2+1-a ) =0, x 0≥1,u ≥1, 22∴x 0+x 0u +u 2≥3, 又00
3
f (x ) =(x 2+)(x +a )
22.已知a 为实数,函数
(1)若函数f (x ) 的图象上有与x 轴平行的切线,求a 的取值范围 (2)若f '(-1) =0,(Ⅰ)求函数f (x ) 的单调区间
(Ⅱ)证明对任意的
x 1、x 2∈(-1,0) ,不等式
|f (x 1) -f (x 2) |
5
16恒成立
f (x ) =x 3+ax 2+
解:
333x +a ∴f '(x ) =3x 2+2ax +22,2
函数f (x ) 的图象有与x 轴平行的切线,∴f '(x ) =0有实数解
∴∆=4a 2-4⨯3⨯
39≥0a 2≥(-∞,- +∞)22,所以a
的取值范围是,
39931
=0a =∴f '(x ) =3x 2+x +=3(x +)(x +1) 24,222, 11
f '(x )
f '(-1) =0,
∴3-2a +
由f '(x ) >0, x
x >-
11(-∞, -1),(-, +∞) (-1, -)
∴f (x ) 的单调递增区间是22 ;单调减区间为
f (-1) =
2514927
f (-) =f (0)=
8,f (x ) 的极小值为216,又8 2749
m =
8,最小值16
27495
-=81616
易知f (x ) 的最大值为
∴f (x ) 在[-1,0]上的最大值
M =
∴对任意x 1, x 2∈(-1,0) ,恒有
|f (x 1) -f (x 2) |
题型八:导数在实际中的应用
1.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点O 到底面中心o 1的距离为多少时,帐篷的体积最大? 解:设OO1为x m ,则1
由题设可得正六棱锥底面边长为:
2-(x -1) 2=8+2x -x 2
,(单位:m )
6⋅
故底面正六边形的面积为:
3⋅(⋅(8+2x -x 2) 222
+2x -x ) =24,(单位:m )
帐篷的体积为:
V (x )=
133
(16+12x -x 3) (8+2x -x 2) [(x -1) +1]=3
322(单位:m )
V' (x )=
求导得
3
(12-3x 2) 2。
(x )=0,解得x =-2(不合题意,舍去)令V' ,x =2, (x )>0,V (x )当1
∴当x =2时,V (x )最大。
3
答:当OO1为2m 时,帐篷的体积最大,最大体积为16m 。
2.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量
y (升)关于行驶速度x (千米/
y =
小时)的函数解析式可以表示为:
13
x 3-x +8(0
12800080
已知甲、乙两地相距100千米。
(I )当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (II )当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?
100
=2.5
x =40解:(I )当时,汽车从甲地到乙地行驶了40小时,
13(⨯403-⨯40+8) ⨯2.5=17.5
80要耗没128000(升)。
100
(II )当速度为x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了x 小时,设耗油量为h (x ) 升, [1**********]5
h (x ) =(x 3-x +8). =x +-(0
12800080x 1280x 4依题意得
x 800x 3-803
h '(x ) =-2=(0
640x 640x
令h '(x ) =0, 得x =80.
当x ∈(0,80)时,h '(x ) 0, h (x ) 是增函数。
∴当x =80时,h (x ) 取到极小值h (80)=11.25.
因为h (x ) 在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值。
答:当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升。
题型九:导数与向量的结合
1 1a =-), b =(22若存在不同时为零的两个实数s 、t 及实数k ,使1
.设平面向量
=+(t 2-k ) , =-s +t ⊥
(1)求函数关系式S =f (t ) ;
,+∞)上是单调函数,求k 的取值范围。 (2)若函数S =f (t ) 在[1
=(
解:(1)
3113 , -), =(, ). a =b =1,a ∙b =02222
又x ⊥y , x ∙y =0,得 2⎡a +b ⎤=0,⎣(t -k )(⎦-sa +tb )
2 2 22
即-sa +(t t -k )b -(t -st +sk )a ⋅b =0。∴-s +(t 2-k )t =0,故s =(f t )=t 3-kt 。
(2)
f '(t )=3t 2-k 且f (t )在[1,+∞)上是单调函数,
''≤0 则在[1, +∞)上有f (t ) ≥0或f (t )
222
'f (t ) ≥0⇒3t -k ≥0⇒k ≤3t ⇒k ≤(3t ) min ⇒k ≤3; 由
22'f (t ) ≤0⇒3t -k ≤0⇒k ≥3t 由。
因为在t ∈[1, +∞)上3t 是增函数,所以不存在k ,使k ≥3t 在[1, +∞)上恒成立。故k 的取值范
2
2
围是k ≤3。