晶体中电子的能态密度
§5-7 晶体中电子的能态密度
5.7.1 带底附近的能态密度
在本章第一节中,我们已经得到自由电子的态密度N (E ),
⎛2m ⎫N (E ) =4πV 2⎪E …………………………………………
⎝ ⎭
…………………………………(5-7-1) 而且N(E)~E的关系曲线已由图5-7-1给出。晶体中电子受到周期性势场的作用,其能量E(k ) 与波矢的关系不再是抛物线性质,因此式(5-7-1)不再适用于晶体中电子。下面以紧束缚理论的简立方结构晶格的s 态电子状态为例,分析晶体中电子态密度的知识。
由前面的紧束缚理论,我们已经得到简立方结构晶格的s 能带的E(k ) 形式为:
图5-7-1 自由电子能态密度
E (k )=εs -J 0-2J 1(cos k x a +cos k y a +cos k z a )…………………………………………………(5-7-2)
其中能量极小植在Γ点k =(0, 0, 0)处,其能量为E (k )=εs -J 0-6J 1,所以在Γ点附近的能量,可以通过将E (k ) 展开为在k =0处的泰勒级数而得到,以cos x =1-x 2+ ,取前两项代入,可以得到:
⎛1⎫222
E (k )=εs -J 0-2J 1 3-a 2(k x 2+k y +k z 2)⎪=E s (Γ) -J 1a 2(k x +k y +k z 2)…………………(5-7-3)
2⎝⎭
在第五节,我们已经根据有效质量的定义,算得简立方晶格s 带Γ点处的有效质量为一个标量,
2
(5-7-4) m *=2>0……………………………………………………………………………………………
2a J 1
代入后,可得到
2k 2
E (k )=E s (Γ) +…………………………………………………………………………………(5-7-5)
2m *
式(5-7-5)表明:在能带底k =0附近,等能面是球面,如果以E (k ) -E s (Γ) 及m 分别代替自由电子的能量E 及质量m ,就可得到晶体中电子在能带底附近的能态密度函数:
2m *N (E ) =4πV (2) [E (k ) -E s (Γ)]……………………………………………………………(5-7-6)
*
5.7.2 带顶附近的能态密度
能带顶在k =(πa , πa , πa ) 的R 点处,容易知道,其能量为E (k )=εs -J 0+6J 1。以R
点附近的
1
波矢k =(±
π
a
+∆k x , ±
π
a
+∆k y , ±
π
a
+∆k z ) 代入E(k ) 表达式中,就得到在能量极大值附近的能量表达式:
E (k )=εs -J 0-2J 1[cos(±π+∆k x a ) +cos(±π+∆k y a ) +cos(±π+∆k z a )]………………(5-7-7)
再利用(cos(α+β) =cos αcos β-sin αsin β,就可得到:
E (k ) =εs -J 0+2J 1(cos∆k x a +cos ∆k y a +cos ∆k z a ) …………………………………………(5-7-8)
将式中余弦函数展开为cos x =1-x 22+ 后,上式变成:
12
E (k ) =εs -J 0+2J 1[3-a 2(∆k x 2+∆k y +∆k z 2)]
2
2 222
=E s (R ) -*[(∆k x )+(∆k y )+(∆k z )]…………………………………………………(5-7-9)
2m
或写成
2 222
E s (R ) -E (k ) =-*[(∆k x )+(∆k y )+(∆k z )]………………………………………………(5-7-10)
2m
2
式中m =,∆k i 是波矢k 与能带顶R 的波矢之差。所以,若以R 点为原点建立坐标系k x , k y , k z 轴,
2a 2J 1
*
则∆k i 的意义就与k i 的意义是一样的。因此,式(5-7-10)表示能量极大值附近的等能面是一些以R 点为球心的球面。这样,我们就得到能带极大值附近的态密度函数:
2m *N (E ) =4πV (2) [E s (R ) -E (k )]…………………………………………………………(5-7-11)
虽然,式(5-7-10)和式(5-7-11)是从一个特例出发得到的,但却具有普遍意义。也就是说,当能带极值处的有效质量是各向同性的,等能面是球面时,式(5-7-10)和(5-7-11)均适用。
5.7.3 非极值点处能态密度
当能量远离极值点时,晶体电子的等能面不再是球面。图
5-7-2给出在k z =0截面上的简立方晶格电子等能面示意图。从C
图看出,从原点(Γ点,是能带底)向外,等能面基本上保持为球面的原因在于周期性场的作用,使晶体电子能量下降,为得到与自由电子相同的能量E ,晶体电子的波矢k 就必然要大。当能量超过边界上的A 点的能量E A 时,等能面将不再是完整的闭合
图5-7-2 紧束缚近似等能面
A
面。在顶角C 点(能量极大值处)附近,等能面是被分割在顶角附近的球面,到达C 点时,等能面缩成几个顶角点。
在能量接近E A 时,等能面向外突出,所以,这些等能面之
2
间的体积显然比球面之间的体积大,因而所包含的状态代
E
自由电子
近自由电子
表点也较多,使晶体电子的态密度在接近E A 时比自由电子的显著增大(见图5-7-3)。当能量超过E A 时,由于等能面开始残破,它们之间的体积愈来愈小,最后下降为零。
E C
E A
因此,能量在E A 到E C 之间的态密度将随能量增加而逐渐
减小,最后下降为零,如图5-7-3所示。
如果考虑两个没有交叠的能带的态密度,下面一个带的态密度曲线亦如图5-7-3所示,在能带顶处态密度为零。
在禁带内亦一直保持为零(因禁带内无电子的量子态存图5-7-3 自由电子与晶体中电子态密度
在),当能量到达上面能带的带底时,态密度才又随能量的增加而增加,如图5-7-4(a )所示。如果所考虑的能带
有交叠,则两能带态密度也会发生交叠,态密度函数如图5-7-4(b )所示。可见,交叠能带与不交叠能带的态密度函数是很不相同的,这一点,可以从软X 射线发射谱中得到证明。
当晶体受到能量约为10~10电子伏
特的电子撞击时,低能带中的一些电子被激发,因而在能带中留下空能级。由于低能带是很窄的,可近似看作是分立能级。当高能带中的电子落入低能带中的空能级上时,就发射出x 射线。因这种X 射线的波长较长(约100Å),所以,称之为软x 射线.软x 射线发射谱的强度I(E)与能量等于E 处的态密度
N(E)成正比,亦与能量为E 的电子向空能级 (a ) (b ) 跃迁的几率W(E)(或称发射几率) 成正比,即 I (E)∝W (E)N(E) 图5-7-4 (a )不交叠能带(b )交叠能带
上式中的W(E)是一个随E 连续缓变的函数,所以,可以认为,I(E)主要由E (E)
随E 的变化来决定。也就是说,软x 射线发射谱的形状直接反映出晶体电子态密度的特征。图5-7-5是几种典型的金属与非金属的X 射线发射谱.由图看出,各晶体的发射谱在低能方面都是随能量增加而逐渐上
升的,说明从能带底起,随着电子能量的增加,态密度逐渐增大;在高能端,金属的x 射线发射谱是突然下降的,所对应的能量大致与费米能相同;非金属的发射增则随能量增加而逐渐下降为零.这正好反映了金属与非金届的电子填充能带的状况。金属中的电子没有填满能带,电子填
充的最高能级的能量约为E F ,态密度
2
3
N (E ) 0,所以,发射谱就突然下降。
图5-7-5 金属与非金属的X 射线发射谱
镁及铝的发射谱与图5-7-4(b)的形状相似,说明这两种金属的能带有交叠。石墨及硅的发射谱的形状则与图5-7-4(a )
相
3
似,说明这些晶体中的价电子刚好填满一个能带。价电子处于满带之中,所以,这些晶体是绝缘体。
4