高考数学基础知识点

一、集合

1. 集合的运算符号：交集“ ”，并集“ ”补集“C ”子集“⊆”

2. 非空集合的子集个数：2n （n 是指该集合元素的个数）

3. 空集的符号为∅ 二、函数

1. 定义域（整式型：x ∈R ；分式型：分母≠0；零次幂型：底数≠0； 对数型：真数>0；根式型：被开方数≥0）

2. 偶函数：f (x ) =f (-x ) 奇函数：f (x ) +f (-x ) =0 在计算时：偶函数常用：f (1) =f (-1)

奇函数常用：f (0) =0或f (1) +f (-1) =0

3. 单调增函数：当在x 递增，y 也递增；当x 在递减，y 也递减 单调减函数：与增函数相反

4. 指数函数计算：a m ⋅a n =a m +n ；a m ÷a n =a m -n ；

n (a m ) n =a

m ⋅n

；a

m

=m a n ；a 0

=1

指数函数的性质：y =a x

；当a >1时，y =a x

为增函数； 当0

为减函数 指数函数必过定点(0, 1)

5. 对数函数计算：log a

a =1；log 1

m

n

a =0；log a +log a =log m ⋅n

a

；

log m n

m m

a -log a =log a n

； log m n

a

=n log a ；log m

a

n

=

1n

log m a 对数的性质：y =log x

0

a ；当a 为减函数. 当a >1时，

y =log x

a 为增函数 对数函数必过定点(1, 0)

6. 幂函数：y =x a

7. 函数的零点：①y =f (x ) 的零点指f (x ) =0

②y =f (x ) 在(a , b ) 内有零点；则f (a ) ∙f (b )

①计算：sin 2α+cos 2α=1；

sin θ

cos θ

=tan θ ②正负符号判断：“一全正，二正弦，三切，四余弦” ③和差公式：sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β cos(α±β) =cos a cos β sin αsin β tan(α±β) =tan α±tan β

1 tan α∙tan β

④二倍角公式：

sin 2α=2sin α∙cos α；cos 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α=cos 2α-sin 2α

tan(2α) =

2tan α

1-tan 2

α

；

⑥诱导公式口诀“奇变偶不变；符号看象限。”

⑦如何将三角函数化为f (x ) =A sin(wx +ϕ) ；利用三角函数相关的公式

三看：一看平方：sin 2α=12(1-cos 2α); cos 2α=1

2

(1+cos 2α) 二看乘积：sin α∙cos α=1

2

sin 2α

三看加减：a sin α±b cos α=

a 2+b 2

sin(α±ϕ)

其中tan ϕ=b a ； b π

a =1⇒ϕ=4

b a =3πb π

3⇒ϕ=6 a =3⇒ϕ=3

特别强调当a

+b 2

sin(α±ϕ) ⑧三角函数 y =A sin(wx +ϕ) 的性质： ⑴单调增减区间：⎢⎡2k π-

π

⎣

2

, 2k π+

π⎤

2⎦

⎥↑ ⎢⎡2k π+

π

⎣

2

, 2k π+

3π⎤

2⎥⎦

↓ ⑵对称轴方程： x =k π+π

2

；对称中心：(k π, 0)

⑶周期： T =

2πw ④y max 时，x =2k π+ππ

2; y min 时：x =2k π-2

⑸值域：[-A , A ] ⑥记死：两条相邻对称轴之间距离为T

2

两条相邻对称中心距离为

T 2

9. 由图像求y =A sin(wx +ϕ) ，三步：第一步：由图找到振幅A

第二步：由图找到周期T ，然后由T =

2π

w

求出w 具体值 第三步：代“特殊点”利用特殊角求出ϕ的值

10. y =A sin(wx +ϕ) −向左右平移−−−a 个单位

−−→y =A sin [w (x ±a ) +ϕ]

11. y =A sin wx −如何变成

−−−→y =A sin(wx +ϕ) 平移ϕ

w

个单位

四、正余弦定理

①边与角之间的转化：用正弦定理

a sin A =2R ；b sin B =2R ；c

sin C

=2R a =2R sin A , b =2R sin B , c =2R sin C （把边转化为角）

sin A =a 2R ，sin B =b c

2R ，sin C =2R

（把角转化成边）

②余弦定理：cos θ=夹边2+夹边2-对边2

2夹边∙夹边

③面积公式：S ∆ABC =

12ab sin C =12bc sin A =1

2

ac sin B ④诱导公式：sin(A +B ) =sin C cos(A +B ) =-cos C 五、向量

→→

①a =(x 1, y 1) b =(x 2, y 2)

→→→→

则a +b =(x 1+x 2, y 1+y 2) ，a -b =(x 1-x 2, y 1-y 2)

→

a ∙b →=x 1⋅x 2+y 1y 2=a →∙b →

⋅cos θ

②a =x 2+y 2 a 2

=a 2

=x 2+y 2→

11

11

b 向量同理

→→

③a 与b 的夹角公式：cos θ=

x 1x 2+y 1y 2

x 2222

1+y 1x 2+y

2

→

⊥→

b ⇒a ∙b =0或者→

a ⊥→

④a b ⇒x 1x 2+y 1y 2=0 →

→

→

→

⑤a //b 或者a 与b 共线⇒x 1y 2-x 2y 1=0 ⑥λa ±wb =

λa ±wb 2

⑦单位向量指“模”为1：a =1则a 为单位向量 六、数列

①后一项减去前一项的值为一个常数：a n -a n -1=d ②后一项除以前一项的值为一个常数：

a n

a =q n -1

③等差数列通项公式：a n -1n =a 1+(n -1)d 等比数列通项公式：a n =a 1q ④等差数列求和公式：s (a 1+a n )⨯n n -1)n =2

=na

1+

n (2

d 等比数列求和公式：s a 1(

1-q

n

)

n =1-q

⑤s n -s n -1=a n 且a 1=s 1

⑥等差数列中项公式：2a n =a 2

n +1+a n -1 等比数列中项公式：a n =a n +1∙a n -1⑦求和公式：“分组求和 ”a 1+a 2+a 3... +a n 等差求和+b 1+b 2... +b n

等比求和

“裂项相消”a n =

1大-小∙⎛ 11⎫

⎝小-大⎪⎭

“错位相减”：等差通项∙等比通项

七、统计以概率：

①众数指“出现次数最多的那个数” 中位数指“从小排到大的中间那个数”

②方差 s 2

=1n

[(x ) +(x 22

1-x 2-x ) +... +(x n -x ) ]

标准方差：s

③概率=

频数总数

=频率； 频率

组距

⨯组距=频率 各组频率之和=1

④极差：max -min =极差

⑤学会认茎叶图

⑥分层抽样：第一步求出各组的比例 第二步用样本总数⨯比例=分组频数 ⑦回归方程

∧

∧

当b >0时，x 与y 正相关当b

2

=(a +b +c +d )(ad -bc ) 2

⑧k (a +c )(b +d )(a +b )(c +d )

；二联表

①原命题：否命题（条件和结论都否定）；逆命题（条件和结论互换位置）；逆否命题（将逆命题进行否定）

②“或”⇒∨ “且”⇒∧ “非”⇒p ⌝

一真全真 ↓ 一假全假 ↓ 真假互换 ↓ ③A ⊆B 则A 是B 充分不必要 A ⊇B 则A 是B 的必要不充分

A =B 则A 是B 的充要条件

④全称量词：符号：∀ 存在量词：符号∃

“ ∀”与 “ ∃” 相互否定，“所有” ←−否定

−→“存在 ”

九、导数

①基本函数求导：(nx m ) ' =m ∙nx m -1 ；(lnx ) ' =

1

x

(x >0) ；(e x ) ' =e x （本身） c '

=0（常数求导=0）；(sinx ) '

=cos x ；(cosx ) '

=-sin x ②乘法求导：[f (x ) ∙g (x ) ]'

=f ' (x ) ⋅g (x ) +g ' (x ) ⋅f (x ) ；

除法求导:f (x ) f ' (x ) g (x ) -g ' (x ) f g (x ) =(x )

g 2

(x )

③复合求导:f [g (x ) ]'

=g ' (x ). f ' [g (x ) ]→这个公式记题型

④斜率k =f ' (x 0) 切线方程：y -y 0=k (x -x 0) ⑤在x =a 处取极值⇒f '

(a ) =0

⑥求单调区间：令f '

(x ) >0 求单调增区间 .令f '

(x )

⑧求最值方法：同求极值方法一样，最后一步由给定区间取舍求最值

十、解析几何

1、直线 （1）直线斜率k =tan θ; k =

y 1-y 2A

x ; k =-

1-x 2B

（2）直线的方程：点斜式：y -y 0=k (x -x 0) ；斜截式:y =kx +b 截距式：

x a +y

b

=1(a ≠0, b ≠0) 一般式：Ax +By +c =0 （3）两条直线位置关系：l 1//l 2⇒k 1=k 2且b 1≠b 2； l 1⊥l 2⇒k 1∙k 2=-1或者A 1A 2+B 1B 2=0

（4）距离公式：点到直线距离公式：d =

Ax 0+By 0+C A 2

+B

2

两点间距离公式d =

(x 21-x 2) 2+(y 1-y 2)

两条平行直线间的距离d =

C 1-C 2A 2

+B

2

（5）直线恒过定点：（记题型） （6）直线与坐标围成三角形面积S =

1

2

a b （a,b 指截距） （7）求两条直线的交点：联立方程组 （8）点关于直线对称：图形 公式：-A B ∙y 2-y 1

x =-1，A ∙x 1+x 2y +y 2+C =0； 2-x 1

2+B ∙1

22、圆

（1）圆的标准方程：(x -a ) 2

+(y -b ) 2

=r 2

圆心：(a , b ) ；半径：r

一般：x 2

+y 2

+Dx +Ey +F =0圆心(-D E

D 2+E 2-4F

2, -2

) ，r =

2

(r >0)

参数方程：

x =a +r cos θy =b +r sin θ

⇒参数方程→求最值

（2）圆与直线的位置关系

2

弦长公式：⎛ AB ⎫⎝2⎪⎭

+d 2=r 2

图形：

相切：d =r =

Ax 0+By 0+c A 2

+B

2

图形：

相离：r

Ax 0+By 0+c A 2

+B

2

图形：

（3）圆与圆位置关系（记题型） 3、椭圆和双曲线

①椭圆指一个动点到两个定点之间距离为2a (a >0)

双曲线是指一个动点到两个定点之差为±2a (a >0)

②椭圆和双曲线的基本性质

（1）椭圆的长轴：2a ，a 为长半轴，短轴2b ，b 为短半轴 椭圆的焦距为：2c c 为半焦距

（2）双曲线的实轴：2a ，a 为实半轴；虚轴：2b ，b 为虚半轴双曲线的焦距为：2c c 为半焦距

（3）椭圆的" a , b , c " 的等量关系：a 2=b 2+c 2 双曲线的" a , b , c " 的等量关系：c 2=b 2+a 2 （4）椭圆和双曲线的离心率公式：e =

c a

（5）椭圆和双曲线的准线：x =±a 2c ，y =±a 2

c

（6）椭圆没有渐进线：双曲线存在渐近线y =±b

a x （焦点x 轴）y =±a

b

x （焦点y 轴）

x 2y 2

a 2+b 2=1(a >b >0) 7）椭圆的标准方程：y 2x 2

（a 2+b

2=1(a >b >0)

mx 2+ny 2=1(椭圆过两个点) x 2a 2-y 2

b 2=1(a >0, b >0) y 2x 2

（8）双曲线的标准方程：a 2-b

2=1(a >0, b >0)

mx 2+ny 2=1(双曲线过两点)

十、抛物线

1、抛物线是指一个动点到一个定点的距离等于这个动点到定直线的距离 如图： 公式：PF =d

2、抛物线的方程：y 2

=2px ，y 2

=-2px ，x 2

=2py ，x 2

=-2py 。 抛物线的标准方程和图像 ①y 2

=2px , (p >0) 图像： ②y 2=-2px , (p >0) 图像：

③x 2

=2py , (p >0) 图像： ④x 2

=-2py , (p >0) 图像： 十一 立体几何

证明：①线⊥面的方法:定线、定面、定垂直⇒1、三线合一 2、勾股定理 3、线⊥面性质 4、圆周角为900

②线//面方法：定线、定面、定平行⇒1、中位线定理2、平行四边形原则

③面⊥面，求证：线⊥面 ④面//面 求证：线//面 理科学生记忆设 异面直线夹角：cos θ=

x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2

x 2

2

2

2

2

2

1+y 1+z 1∙x 2+y 2+z 2

a =(x 1, y 1, z 1) 和b =(x 2, y 2, z 2)

线面夹角：sin θ=

x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2

x 2

2

2

2

2

2

1+y 1+z 1∙x 2+y 2+z 2

a =(x 1, y 1, z 1) 和法向量(x 2, y 2, z 2)

二面角：cos θ=

x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2

x 2

2

2

2

2

2

1+y 1+z 1∙x 2+y 2+z 2

m 法向量(x 1, y 1, z 1) ； n 法向量(x 2, y 2, z 2)

体积公式：

①V 柱=S 底∙h ，V 锥=

1S 4

33底∙h ，V 球=3

πR ； ②由侧视图定“锥，柱，球”

由俯视图定“棱数”

由正视图定“体积的高” 十二、复数

①z =a +bi 实部为a ，虚部为b(不带单位i ) ②z =

a 2+b 2

③(a , b ) 确定复数所在的象限 ④i ; i 2

=-1; i 3

=-i ; i 4

=1

-

⑤共轭复数：z =a -bi 与z =a +bi 实部相同，虚部相反 ⑥化简：

b +ci (b +ci ) i

c +di (c +di )(a ai =ai

2

a +bi =-bi ) (a +bi )(a -bi ) ⑦纯虚数：实部a =0 虚部b ≠0

十三、解不等式

一、①口诀“大于取两边，小于取中间” ②x 2的系数不能为负③分母≠0④真数>0

⑤解不等式的步骤：第一步，把不等式变为老师规定的形式 第二步，把不等式变为等式，解方程的根 第三步，选择恰当的方法解不等式 第四步，把不等式写成集合或者区间 二、由不等式组构成线性规划，求目标函数z =ay +bx 的最值

①画可行域 ②求交点 ③代入值

三、理科“正态分布”和“极坐标”→由题型来讲解和总结 四、均值不等式

①a +b ≥2ab , (a >0, b >0) ②当且仅当a =b 时，取等号十四、排列、组合、二项式定理:

1、排列考点：①相邻 ②不相邻 ③位置的限定 ④集团排列 ⑤数字问题 ⑥间隔问题 ⑦信和邮箱

2、组合：①分堆问题 ②均分问题 ③多面手问题 ④鞋子成双 3、二项式定理

①通项公式：T r

n -r

r +1=C n ⋅a

⋅b r ⇒(a +b ) n

②项的系数和二项式系数的区别 ③二项式系数之和和项的系数之和 ④化简：特别注意：分数幂，负数幂 4、古典概率：p m

(A ) =n

（记题型）