二面角典型例题分析
二面角·典型例题分析
例1 如图1-125,PC ⊥平面ABC ,AB =BC=CA=PC ,求二面角B -PA -C 的平面角的正切值。
分析 由PC ⊥平面ABC ,知平面ABC ⊥平面PAC ,从而B 在平面PAC 上的射影在AC 上,由此可用三垂线定理作出二面角的平面角。
解 ∵ PC⊥平面ABC
∴ 平面PAC ⊥平面ABC ,交线为AC 作BD ⊥AC 于D 点,据面面垂直性质定理,BD ⊥平面PAC ,作DE ⊥PA 于E ,连BE ,据三垂线定理,则BE ⊥PA ,从而∠BED 是二面角B -PA -C 的平面角。
设PC =a ,依题意知三角形ABC 是边长为a 的正三角形,∴ D是
∵PC = CA=a,∠PCA=90°,∴ ∠PAC =45°∴ 在Rt △
DEA
评注
本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后,再用解三角形的方法来求解。
例2 在60°二面角M -a -N 内有一点P ,P 到平面M 、平面N 的距离分别为1和2,求点P 到直线a 的距离。(图1-126)
分析 设PA 、PB 分别为点P 到平面M 、N 的距离,过PA 、PB 作平面α,分别交M 、N 于AQ 、BQ.
同理,有PB ⊥a ,
∵ PA∩PB=P,
∴ a⊥面PAQB 于Q
又 AQ、BQ
平面PAQB
∴
AQ⊥a ,BQ ⊥a.
∴ ∠AQB 是二面角M -a -N 的平面角。
∴ ∠AQB =60°
连PQ ,则PQ 是P 到a 的距离,在平面图形PAQB 中,有
∠PAQ =∠PBQ=90°
∴ P、A 、Q 、B 四点共圆,且PQ 是四边形PAQB 的外接圆的直径2R
在△PAB 中,∵ PA=1,PB=2,∠BPA =180°-60°=120°,由余弦定理得
AB2=1+4-2×1×2cos120°=7
由正弦定理:
例3 如图1-127过正方形ABCD 的顶点A 作PA ⊥平面ABCD ,设PA=AB=a 求(1)二面角B -PC -D 的大小;(2)平面PAB 和平面PCD 所成二面角的大小。
分析 二面角B -PC -D 的棱为PC ,所以找平面角作棱的垂线,而平面PAB 和平面PCD 所成二面角“无棱”须找二面角的棱。
解 (1)∵ PA⊥平面ABCD ,BD ⊥AC
∴ BD⊥PC (三垂线定理)
在平面PBC 内,作BE ⊥PC ,E 为垂足,连结DE ,得PC ⊥平面BED ,从而DE ⊥PC ,即∠BED 是二面角B -PC -D 的平面角。
在Rt △PAB 中,由PA =AB=a
∵ PA⊥平面ABCD ,BC ⊥AB
∴ BC⊥PB (三垂线定理)
在Rt △PBC 中,
在△BDE 中,根据余弦定理,得
∴ ∠BED =120°
即二面角B -PC -D 的大小为120°。
(2)过P 作PQ ∥AB ,则PQ
平面PAB ,
∵ AB∥CD ∴ PQ∥CD ,PQ
平面PCD
∴ 平面PAB ∩平面PCD 于PQ
∵ PA⊥AB ,AB ∥PQ ∴ PA⊥PQ
∵ PA⊥平面ABCD ,CD ⊥AD
∴ CD⊥PD (三垂线定理的逆定理)
∵ PQ∥CD ∴ PD⊥PQ
所以∠APD 是平面PAB 和平面PCD 所成的二面角的平面角。 ∵ PA=AB=AD,∴∠APD=45°
即平面PAB 和平面PCD 所成的二面角为45°。