关于柯西_施瓦茨不等式证明_付英贵
西南科技大学5高教研究62009年第4期(总第93期)
关于柯西-施瓦茨不等式证明
付英贵
(西南科技大学理学院 四川绵阳 621010)
摘 要:柯西-施瓦茨不等式是高等数学中一个难点问题,本文将用三种不同证明方法,注明三种不同方法在处理中的难点和重点,同时讨论柯西-施瓦茨不等式的应用。
关键词:定积分;二重积分;柯西-施瓦茨不等式
一、柯西-施瓦茨不等式:
设f(x),g(x)在区间[a,b]上均匀连续,证明:
证法一:作函数,F(x)=
Q
Fc(x)=2Qf(t)g(t)dt#f(x)g(x)-f(x)Qg(t)dt-g(x)Qf(t)dt
=Q2f(x)g(x)f(t)g(t)dt-Qf(x)g(t)dt-Qf(t)g(x)dx=-Q[f(x)g(t)-f(t)g(x)]dt[0
2
a
Q
(t)g(t)
Q
ax
b2
f(x)g(x)
dx
-
[
x
2
a
Q
2
b
f(x)dx#
x
2
a
Q
2
b
g(x)dx
a
Q
f(x)dt#
2
a
g(t)dt,因
2
xxx
22
aaa2
xx
22
x
2
aaa
x
2
a
故F(x)在[a,b]上单调下降,即F(b)[F(a),(a
注:本证明关键是建立辅助函数将问题转化成单调性来证明不等式。本方法中将b变成x而建立辅助
函数对数学中辅助函数建立和学习有一定帮助。
例:b>a>e证明:a>b
b
a
b
a
分析:a>bZblna>alnbZblna-alnb>0作f(x)=xlna-alnx (x\a)
证法二:对任意实数K有:[Kf(x)+g(x)]\0两边积分
a
2
Q
b
[Kf(x)+g(x)]dx=Kf(x)dx+2Kf(x)g(x)dx+
a
a
22
Q
2
b
Q
ba
b
a
Q
2
b
g(x)dx\0
故K的二次三项式的判别法
v=b-4ac=即
2
a
Q
b2
f(x)g(x)dx
2
b
-4f(x)dx#
2
Q
2
a
Q
2
b
g(x)dx[0
a
Q
b
f(x)g(x)dx
[
a
Q
f(x)dx#
a
Q
2
b
g(x)dx
注:本证明方法关键是将问题转化成二次三项式有无根的问题,同时利用定积分性质来证明。本方法中建立二次三项式方法值得关注。
QQ =QdxQ[f(x)g(y)-2f(x)g(x)f(y)g(y)+f(y)g(x)]dy =Q[Qf(x)g(y)dy]dx-2Qf(x)g(x)dxQf(y)g(y)dy+Q[Qf(y)g(x)dy]dx =
Qf(x)dx#Qg(y)dy-Qf(y)dy#Qg(x)dxf(x)g(x)dx+Q =f(x)dx#g
(x)dx-f(x)g(x)dxQQQ
并且仅当x=y时,QdxQ[f(x)g(y)-f(y)g(x)]dy=0,故
f(x)dx#Q
gg(x)dx=f(x)g
(x)dxQQ
若xXy时,QdxQ[f(x)g(y)-f(y)g(x)]dy>0,故
f(x)dx#Qg(x)dx>f(x)g(x)dxQQ
综上所述,则有f(x)dx#Qg(x)dxf(x)g(x)dx[QQ
证法三:
a
bb
dx
ab
[f(x)g(y)-f(y)g(x)]dy
2
2
2
b
22
a
a
bb
22
bbbb
22
aaaaaa
b
2
b
2
b2
b
2
b
2
aa
a
aa
b
2
b
2
b
2
aa
a
bb
2
aa
b
2
b
22
b
2
aa
a
bb
2
aa
b
2
b
2
b2
aa2
a
b
2
bb
2
a
aa
注:本证明方法将本问题转化成二重积分问题,同时注意和轮换对称性和讨论。本方法中重积分轮换对称性,对称性在积分中应用是高等数学学习中一个重点、难点,在教学中请学生注意。
分析:例:
f(x,y)dxdy=Qf(y,x)dxdy D关于y=x对称QQQ
3x-yx+y
dxdy=dxdy=2PQx+yQx+y
D
D
2
2
22x2+y2[1
x2+y2[1
二、例:设f(x)在区间[a,b]上连续,且f(x)>0,证明:
a
Q
b
f(x)dx#
2
证:
a
f(x)dx#Q
a
bb
1
dx=f(x)
\
a
f(xa
b
dx#a
ba
b
2
dx\(b-a)f(x)
f(x2
2
dx
2
b
f(x)
dxf(x)
=(b-a)
参考文献
[1] 同济大学数学教研室.高等数学(上、下册)第四版[M].北京:高等教育出版社,2006.