马尔科夫预测)
马尔科夫预测 1.1.基本概念
1.1.1 随机变量 、 随机函数与随机过程
一变量x，能随机地取数据（但不能准确地预言它取何值），而对于每一个数值或某一个范围内的值有一定的概率，那么称x为随机变量。
假定随机变量的可能值xi发生概率为Pi，即P(x = xi) = Pi，对于xi的所有n个可能值，有离散型随机变量分布列： ∑Pi = 1 对于连续型随机变量，有 ∫P(x)dx = 1
在试验过程中，随机变量可能随某一参数（不一定是时间）的变化而变化.
如测量大气中空气温度变化x = x(h),随高度变化。这种随参变量而变化的随机变量称为随机函数。而以时间t作参变量的随机函数称为随机过程。也就是说：随机过程是这样一个函数，在每次试验结果中，它以一定的概率取某一个确定的，但预先未知的时间函数。
1.1.2 马尔科夫过程
随机过程中，有一类具有“无后效性性质”，即当随机过程在某一时刻to所处的状态已知的条件下，过程在时刻t>to时所处的状态只和to时刻有关，而与to以前的状态无关，则这种随机过程称为马尔科夫过程。 即是：ito为确知,it(t>to)只与ito有关，这种性质为无后效性，又叫马尔科夫假设。
简例：设x(t)为大米在粮仓中t月末的库存量，则
x(t) = x(t―1)—y(t) +G(t)
x(t)可看作一个马尔科夫过程。
1.1.3 马尔科夫链
时间和状态都是离散的马尔科夫过程称为马尔科夫链。例：蛙跳问题
假定池中有N张荷叶，编号为1，2，3,……,N，即蛙跳可能有N个状态（状态确知且离散）。青蛙所属荷叶，为它目前所处的状态；因此它未来的状态，只与现在所处状态有关，而与以前的状态无关（无后效性成立）
写成数学表达式为：
P( xt+1 = j | xt = it , xt-1 = it―1,……x1 = i1)
=P( xt+1 = j | xt = it )
定义：Pij = P( xt+1 = j | xt = i)
即在xt = i的条件下，使 xt+1 = j的条件概率，是从 i状态一步转移到j状态的概率，因此它又称一步状态转移概率。由状态转移图，由于共有N个状态，所以有
1.2 状态转移矩阵
1.2. 1 一步状态转移矩阵
系统有N个状态，描述各种状态下向其他状态转移的概率矩阵
P11 P12 …… P1N
定义为 P = P21 P22 …… P2N
: : :
PN1 PN2 …… PNN
这是一个N阶方阵，满足概率矩阵性质
1） Pij ≥ 0,i,j = 1,2, ……, N 非负性性质
2） ∑ Pij = 1 行元素和为1 ,i=1,2,…N
如： W1 = [1/4, 1/4, 1/2, 0] 概率向量
W2 = [1/3, 0, 2/3]
W3 = [1/4, 1/4, 1/4, 1/2] 非概率向量
W4 = [1/3, 1/3, -1/3,0, 2/3]
3）若A和B分别为概率矩阵时，则AB为概率矩阵。
1.2.2
稳定性假设
若系统的一步状态转移概率不随时间变化，即转移矩阵在各个时刻都相同，称该系统是稳定的。这个假设称为稳定性假设。蛙跳问题属于此类，后面的讨论均假定满足稳定性条件。
1.2.3 k步状态转移矩阵
经过k步转移由状态i转移到状态j的概率记为
P(xt+k =j | xt = i) = Pij(k)
i,j = 1,2, ……, N
定义：k步状态转移矩阵为：
P11(k) P12(k) …… P1N(k)
P [k] = : : :
PN1(k) PN2(k) …… PNN (k)
当系统满足稳定性假设时
P[k] = Pk = P? P? …… P
其中P为一步状态转移矩阵。
即当系统满足稳定性假设时，k步状态转移矩阵为一步状态转移矩阵的k次方.
例：设系统状态为N = 3，求从状态1转移到状态2的
二步状态转移概率.
解：作状态转移图
解法一：由状态转移图：
1—— 1—— 2: P11 ? P12
1—— 2—— 2: P12 ? P22
1—— 3—— 2: P13 ? P32
P12 = P11 ? P12 + P12 ? P22 +P13 ? P32
=∑ P1i ? Pi2
解法二： k = 2, N = 3
P11(2) P12 (2) P13(2)
P = P21(2) P22 (2) P23(2)
P31(2) P32(2) P33(2)
P11 P12 P13 P11 P12 P13
= P?P = P21 P22 P23 P21 P22 P23
P31 P32 P33 P31 P32 P33
得： P12(2) = P11 ? P12 + P12 ? P22 +P13 ? P32
=∑ P1i ? Pi2
1.3 稳态概率：用于解决长期趋势预测问题
即：当转移步数的不断增加时，转移概率矩阵 P 的变化趋势。
1.3. 1 正规概率矩阵。
定义：若一个概率矩阵P，存在着某一个正整数m,使P 的所有元素均为正数（Pij >o），则该矩阵称为正规概率矩阵
例： 1/2 1/4 1/4
P = 1/3 1/3 1/3 为正规概率矩阵
2/5 1/5 2/5
0 1 P11 = 0
P=
1/2 1/2 1/2 1/2
但当 m = 2， 有 P2= 1/4 1/4 有Pij >0
它也是正规概率矩阵。（P2 每个元素均为正数）
1 0
但 P= 就找不到一个正数m,使P 的每一个元素均大于0，所以它
0 1 不是正规概率矩阵。
1.3.2 固定概率向量（特征概率向量）
设 P为NN概率矩阵,若U = [U1, U2,…, UN]为概率向量,且满足UP = U,称U为P的固定概率向量
例 0 1
P=
1/2 1/2 为概率矩阵
P的固定概率向量 U = [ 1/3 , 2/3]
检验 UP = [1/3 2/3] 0 1
1/2 1/2
=[1/3 2/3]
1.3.3 正规概率矩阵的性质
（1）设P为NXN正规概率矩阵，则
A .P有且只有一个固定概率向量
U = [U1,U2, …… UN]
且U的所有元素均为正数 Ui > 0
B.NXN方阵P的各次方组成序列 P, P, P, …… ,P 趋于方阵T，且T的每一个行向量都是固定概率向量U。
即 U1 U2 …… UN U
lim Pk= T = : : : = :
U1 U2 …… UN U
这个方阵T称稳态概
率矩阵。
这个定理说明：无论系统现在处于何种状态，在经过足够多的状态转移之后，均达到一个稳态。因此，欲求长期转移概率矩阵，即进行长期状态预测，只要求出稳态概率矩阵T；而T的每个行向量都是固定概率向量，所以只须求出固定概率向量U就行了 !
（2）设X为任意概率向量，则XT = U
即任意概率向量与稳态概率矩阵之点积为固定概率向量。
事实上： U1 U2 …… UN
XT = X? : : : = [U1∑Xi U1∑Xi …… U1∑Xi ]
U1 U2 …… UN
= [U1 U2 …… UN ]
= U
例：若 0.4 0.3 0.3
P = 0.6 0.3 0.1 求T
0.6 0.1 0.3
解：设 U = [U1 U2 U3] = [U1 U2 1－U1－U2]
由 UP = U 有
0.4 0.3 0.3
[U1 U2 1－U1－U2] 0.6 0.3 0.1 = [U1 U2 U3]
0.6 0.1 0.3
即 -0.2U1 + 0.6 = U1 → U1 = 0.5
0.2U1 + 0.2U2 + 0.1 =U2 → U2 = 0.25
-0.2U2 + 0.3 = U3 → U3 = 0.25
∴ U = [0.5 0.25 0.25]
0.5 0.25 0.25
则 T = 0.5 0.25 0.25
0.5 0.25 0.25
说明：
不管系统的初始状态如何，当系统运行时间较长时，转移到各个状态的概率都相等。（列向量各元素相等）
即 各状态转移到1状态都为0.5;
2状态都为0.25 ;
3状态都为0.25
1.2市场占有率预测
1.2.1短期市场占有率预测
商品在市场上参与竞争，都拥有顾客，并由此而产生销售，事实上，同一商品在某一地区所有的N个商家（或不同品牌的N个同类产品）都拥有各自的顾客，产生各自销售额，于是产生了市场占有率定义：
设某一确定市场某商品有N个不同品牌（或N个商家）投入销售，第i个商家在第j期的市场占有率
Si(j) = xi(j)/x i =1,2, …… N
其中 xi(j)为第i个商家在第j期的销售额（或拥有顾客数）
x为同类产品在市场上总销售额（或顾客数）
市场占有率所需数据可通过顾客抽样调查得到。
一般地,首先考虑初始条件,设当前状态（即j = 0 ）
为 S(0) = [S1(0) S2(0) …… SN(0)]
第i个商家 Si(0) = xi(0)/x → xi(0) = Si(0) x
即当前第i个商家市场占有率与初始市场占有率及市场总量有关.
同时假定满足无后效性及稳定性假设.
由于销售商品的流通性质,有第i个商家第j期销售状况为
xi(k) = x1(0)P1i(k) + x2(0)P2i(k)+ ……+ xN(0)PNi(k)
= xS1(0)P1i(k) +xS2(0)P2i(k) + ……+ xSN(0)PNi(k)
P1i(k)
= x[S1(0) S2(0) ……SN(0)] P2i(k)
:
PNi(k)
有：Si(k) = xi(k)/x P1i(k)
= [S1(0) S2(0) ……SN(0)] P2i(k)
:
PNi(k)
故可用矩阵式表达所有状态:
[S1(k),S2(k), …… ,SN(k)]= [S1(0),S2(0), …… ,SN(0)] P
即 S(k) = S(0) P
当满足稳定性假设时
,有
S(k) = S(0) P
这个公式称为已知初始状态条件下的市场占有率k步预测模型.
例:东南亚各国味精市场占有率预测,
初期工作:
a)行销上海,日本,香港味精,确定状态1,2,3.
b)市场调查,求得目前状况,即初始分布
c)调查流动状况;上月转本月情况,求出一步状态转移概率.
1)初始向量:
设 上海味精状况为1;
日本味精状况为2;
香港味精状况为3;
有 S(0) = [S1(0) S2(0) S3(0)] = [0.4 0.3 0.3]
2)确定一步状态转移矩阵
P11 P12 P13 0.4 0.3 0.3
P = P21 P22 P23 = 0.6 0.3 0.1
P31 P32 P33 0.6 0.1 0.3
3)3 步状态转移矩阵(假定要预测3个月后)
P11(3) P12(3) P13(3) 0.496 0.252 0.252
P 3= P21(3) P22(3) P23(3) = P 3= 0.504 0.252 0.244
P31(3) P32(3) P33(3) 0.504 0.244 0.252
4)预测三个月后市场
0.496 0.252 0.252
S(3) = S(0)P3 =[0.4 0.3 0.3] 0.504 0.252 0.244
0.504 0.244 0.252
S1(3) = 0.4×0.496 +0.3×0.504 + 0.3×0.504 = 0.5008
S2(3) = 0.2496 S3(3) = 0.2496
1.2.2 长期市场占有率预测
这是求当 k →∞ 时 S(k) → ?
我们知道: S(k) = S(0) P[k]
lim S(k) = S(0) lim P[k] = S(0)?T = U
因此,在已知初始条件下求长期市场占有率就是求稳态概率矩阵,也是求固定概率向量.
求固定概率向量的方法,我们在前一节已有例子,只不过说明了长期市场占有率也是只与稳态矩阵有关,与初始条件无关.
马尔科夫链在经济预测和决策中的应用
悬赏分：0 - 解决时间：2008-5-2 08:42
毕业论文题目
主要讨论了马尔可夫的基本概念和理论，譬如：马尔可夫链的定义，马尔可夫性，转移概率，转移概率矩阵，绝对概率，C-K方程，极限分布等。在此基础上，探讨了在经济现象的发展变化中的符合马尔可夫链规律的马尔可夫链预测法及马尔可夫链决策法。
请各位高人指点！！
提问者： ma407913690 - 试用期 一级 最佳答案
、马尔科夫转移矩阵法的涵义
单个生产厂家的产品在同类商品总额中所占的比率，称为该厂产品的市场占有率。在激烈的竞争中，市场占有率随产品的质量、消费者的偏好以及企业的促销作用等因素而发生变化。企业在对产品种类与经营方向做出决策时，需要预测各种商品之间不断转移的市场占有
率。
市场占有率的预测可采用马尔科夫转移矩阵法，也就是运用转移概率矩阵对市场占有率进行市场趋势分析的方法。马尔科夫是俄国数学家，他在20世纪初发现：一个系统的某些因素在转移中，第n次结果只受第n-1的结果影响，只与当前所处状态有关，与其他无关。比如：研究一个商店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已
知，则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一时刻的累计：销售额都无关。 ，
在马尔科夫分析中，引入状态转移这个概念。所谓状态是指客观事物可能出现或存在的状态；状态转移是指客观事物由一种状态转穆到另一种状态的概率。
马尔科夫分析法的一般步骤为：
①调查目前的市场占有率情况；
②调查消费者购买产品时的变动情况；
③建立数学模型；
④预测未来市场的占有率。
二、马尔科夫分析模型
实际分析中，往往需要知道经过一段时间后，市场趋势分析对象可能处于的状态，这就要求建立一个能反映变化规律的数学模型。马尔科夫市场趋势分析模型是利用概率建立一种随机型的时序模型，并用于进行市场趋势分析的方法。
马尔科夫分析法的基本模型为：
X(k+1)=X(k)×P
公式中：X(k)表示趋势分析与预测对象在t=k时刻的状态向量，P表示一步转移概率矩阵，
X(k+1)表示趋势分析与预测对象在t=k+1时刻的状态向量。
必须指出的是，上述模型只适用于具有马尔科夫性的时间序列，并且各时刻的状态转移概率保持稳定。若时间序列的状态转移概率随不同的时刻在变化，不宜用此方法。由于实际的客观事物很难长期保持同一状态的转移概率，故此法一般适用于短期的趋势分析与预测。
三、马尔科夫过程的稳定状态
在较长时间后，马尔科夫过程逐渐处于稳定状态，且与初始状态无关。马尔科夫链达到稳定状态的概率就是稳定状态概率，也称稳定
概率。市场趋势分析中，要设法求解得到市场趋势分析对象的稳态概率，并以此做市场趋势分析。
在马尔科夫分析法的基本模型中，当X：XP时，称X是P的稳定概率，即系统达到稳定状态时的概率向量，也称X是P的固有向量或特征向量，而且它具有唯一性。
四，马尔科夫转移矩阵法的应用
马尔科夫分析法，是研究随机事件变化趋势的一种方法。市场商品供应的变化也经常受到各种不确定因素的影响而带有随机性，若其具有"无后效性"，则用马尔科夫分析法对其未来发展趋势进行市场趋势分析五，提高市场占有率的策略预测市场占有率是供决策参考的，企业要根据预测结果采取各种措施争取顾客。提高市场占有率一般可采取三种策略：
(1)设法保持原有顾客；
(2)尽量争取其他顾客；
(3)既要保持原有顾客又要争取新的顾客。
第三种策略是前两种策略的综合运用，其效果比单独使用一种策略要好，但其所需费用较高。如果接近于平稳状态时，一般不必花费竞争费用。所以既要注意市场平稳状态的分析，又要注意市场占有率的长期趋势的分析。
争取顾客、提高市
场占有率的策略和措施一般有：
①扩大宣传。主要采取广告方式，通过大众媒体向公众宣传商品特征和顾客所能得到的利益，激起消费者的注意和兴趣。
②扩大销售。除联系现有顾客外，积极地寻找潜在顾客，开拓市场。如向顾客提供必要的服务等。
③改进包装。便于顾客携带，增加商品种类、规格、花色，便于顾客挑选，激发顾客购买兴趣。
④开展促销活动。如展销、分期付款等。
⑤调整经营策略。根据市场变化，针对现有情况调整销售策略，如批量优待、调整价格、市场渗透、提高产品性能、扩大产品用途、降低产品成本等，以保持市场占有率和扩大市场占有率