2015届高三文科数学第一次月考试题

2015届高三年级第一次月考文科数学试题

2014-08-29 下午3：00-5：00

一、选择题（本大题10小题，每小题5分，共50分） 1、sin6000=

A ． B ．- C

．

12

12

D

．

22

2、命题“存在实数x ，使x >1”的否定是

A. 对任意实数x , 都有x >1 B.不存在实数x ，使x ≤1 C. 对任意实数x , 都有x ≤1 D.存在实数x ，使x ≤1

3、若集合A ={x |kx 2+4x +4=0, k ∈R }只有一个元素，则k 的值为 A.1 B.0 C.0或1 D. 以上答案都不对 4．已知f (x 5) =lg x ，则f (2)＝ A ．lg2 B ．lg32 C ．lg

11

D ．lg 2 325

5．三个数60.7,0.76,log 0.76的大小顺序是 A ．0.76

6、 已知函数f (x ) =sin ⎛ 2x +

⎝

3π⎫

的是 ⎪(x ∈R ) ，下面结论错误．．2⎭

A ．函数f (x ) 的最小正周期为π B ．函数f (x ) 是偶函数 C ．函数f (x ) 的图象关于直线x =对称

π⎤

D ．函数f (x ) 在区间⎡0, ⎢⎥上是增函数

⎣2⎦

π

4

7、把函数y =f (ωx +ϕ)(ω>0, |ϕ|

y =f (x ) 的图象，则

π

6

B ．ω=2, ϕ=-

3

A ．ω=2, ϕ=C ．ω=, ϕ=

12

π

6

π

π

6

D ．ω=, ϕ=-

12

π

12

8、下列函数中，图象的一部分如下图所示的是

ππ

A ．y =sin(x +) B ．y =sin(2x -)

6

6

C ．y =cos(4x -) D ．y =cos(2x -)

3

6

ππ

9、函数y =2cos(-2x ) 的单调减区间是

4

π

A ．{x |k π+

π

8

≤x ≤k π+

5π3ππ, k ∈Z } B ．{x |k π-≤x ≤k π+, k ∈Z } 8885π3ππ

, k ∈Z } D ．{x |2k π-≤x ≤2k π+, k ∈Z } 888

C ．{x |2k π+

π

8

≤x ≤2k π+

10、已知f (x ) =x -bx +a , 且f (0)=3, f (2-x ) =f (x ) , 则下列关系成立的是

2

A. f (b x ) ≥f (a x ) B. f (b x ) ≤f (a x )

C. f (b x )

5

，且α为第四象限角，则tan(π-α) =________ 13

2

13、已知f (x ) =

131

x +(b -1) x 2+cx (b , c 为常数), 若f (x ) 在x=1和32

x=3处取得极值, 则b=________, c=_________.

14．设函数y =f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且满足f (x -2) =-f (x )

对一切x ∈R 都成立，又当x ∈[-1, 1]时，f (x ) =x 3，则下列四个命题：

①函数y =f (x ) 是以4为周期的周期函数； ②当x ∈[1，3]时，f (x ) =(2-x ) 3 ； ③函数y =f (x ) 的图象关于x=1对称； ④函数y =f (x ) 的图象关于点(2,0)对称， 其中正确的命题序号是 。

三、解答题（本大题有6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分12分)

已知全集U=R，集合A ={x x 2-2x -3>0}，B ={x x =4-t 2, t ∈R }， 求（1）A B ；（2）(C U A ) (C U B ) .

π

16、（12分）已知函数f (x ) =sin x +sin(x +), x ∈R

2

（1）求f (x ) 的最小正周期；

（2）求f (x ) 的最大值及相应x 的取值集合； （3）若f (α) =，求sin 2α的值。

17、（14分）设命题p ：函数y =lg(x 2-2x +a ) 的定义域是R ，命题q ：

y =(a -1) x 为增函数，如果命题＂p ∨q ＂为真，而命题＂p ∧q ＂为

3

4

假，求实数a 的取值范围． 18．（14分）设f (x ) =+ln

1

x

1+x

1-x

（1）求函数的定义域； （2）判断函数f (x ) 的奇偶性； （3）讨论函数f (x ) 的单调性。

19、（14分）时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y （单位：千套）与销售价格x （单位：元/套）满足的关系式

y =

m 2

+4(x -6)，其中2

每日可售出套题21千套. （1）求m 的值；

（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大. （保留1位小数）

20、（本小题满分14分）

已知函数f (x ) =4x 3+3tx 2-6t 2x +t -1, x ∈R ，其中t ∈R ． （1）当t =1时，求曲线y =f (x ) 在点(0,f (0))处的切线方程； （2）当t ≠0时，求f (x ) 的单调区间；

（3）证明：对任意的t ∈(0,+∞), f (x ) 在区间(0,1)内均存在零点． 注意：

（1） 选择题答案涂在答题卡上；

（2） 填空题及解答题答案做在第二张答题卷上。

高三文数8月考参考答案及评分标准

一、选择题：DCCDD 、CBDAB 二、填空题：11、三、解答题：

15、解：集合A={x |x 3}，(3分) B={x |x ≤4}。(6分) （1）A B ={x |x

（2）(C U A ) (C U B ) =C U (A B ) ={x |-1≤x ≤3, 或x >4}。(12分) 16、解：f (x ) =

sin x +cos x =52

；12、(0,) (1,+∞) ；13、-3，3；14、①②③④ 123

πx +

x ) x +) 。(3分)

422

（1）f (x ) 的最小正周期T =2π；(4分) （2）当sin(x +) =1，即x +

4

ππ

4

=

π

2

+2k π，x =

π

4

+2k π, k ∈Z 时，f (x ) 的最大

x 的取值集合为{x |x =

π

4

+2k π, k ∈Z }。(8分)

（3）f (α) =即sin α+cos α=，两边平方得：(sinα+cos α) 2=

3

4349， 16

∴1+2sin αcos α=1+sin 2α=

17、解：当p 为真时，

97

，∴sin 2α=-。(12分) 1616

依题意有x 2-2x +a >0解集为R ，则△=(-2) 2-4a 1；(4分) 当q 为真时，有a -1>1，所以a >2。（7分）

∵命题＂p ∨q ＂为真，而命题＂p ∧q ＂为假， ∴命题p 、q 是一真一假。（8分）

⎧a >1

（1）若p 真q 假，则有⎨，所以1

a ≤2⎩⎧a ≤1

（2）若p 假q 真，则有⎨，所以a ∈φ；（13分）

⎩a >2综上所述，a ∈(1,2]。（14分） 18、解：

⎧x ≠0

⎧x ≠0⎪

（1）依题意，得⎨1+x ，所以f (x ) 定义域为(-1,0) (0,1)；⇔⎨

>0⎩-1

（4分）

（2）根据（1）f (x ) 定义域关于原点对称， ∵f (-x ) =

11-x 11+x -111+x

+ln =-+ln() =--ln =-f (x ) ， -x 1+x x 1-x x 1-x

∴f (x ) 为奇函数。（8分）

（3）f (x ) 定义域为(-1,0) (0,1)，且f (x ) =+ln(1+x ) -ln(1-x ) 。 则f '(x ) =-

111111

''+⋅(1+x ) -⋅(1-x ) -++= 22

x 1+x 1-x x 1+x 1-

x

2

1

x

=-

123x -1+==2222x 1-x x (1-x )

3(x x 。令f '

(x )=0，得x =。

x 2(1-x 2)

当-1

0；当

减区间为（所以f (x

) 的单调增区间为(-1, 、. 14分） （1（0）、（019. 解：（1）因为x =4时，y =21，

m m 2

+4(x -6)，得+16=21， 解得m =10. (4分) x -22

102

+4(x -6)， （2）由（1）可知，套题每日的销售量y =

x -2

代入关系式y =

所以每日销售套题所获得的利润

2⎤⎡10

f (x ) =(x -2)⎢+4(x -6)⎥

⎣x -2⎦

=10+4(x -6)

2

（8分） (x -2)=4x 3-56x 2+240x -278(2

从而f ' (x )=12x 2-112x +240=4(3x -10)(x -6)(2

10⎛10⎫⎛10⎫

, 且在 2, ⎪上, f ' (x )>0，函数f (x ) 单调递增；在 ,6⎪3⎝3⎭⎝3⎭

上，f ' (x )

10

是函数f (x ) 在(2,6)内的极大值点，也是最大值点， （13分） 310

≈3.3时，函数f (x ) 取得最大值. （14分） 所以当x =3

所以x =

故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.

20. （Ⅰ）解：当t =1时，f (x ) =4x 3+3x 2-6x , f (0)=0, f '(x ) =12x 2+6x -6

f '(0)=-6. 所以曲线y =f (x ) 在点(0,f (0))处的切线方程为y =-6x . （2分）

t

（Ⅱ）解：f '(x ) =12x 2+6tx -6t 2，令f '(x ) =0，解得x =-t 或x =. （3分）

2

因为t ≠0，以下分两种情况讨论：

t

（1）若t

当x 变化时，f '(x ), f (x ) 的变化情况如下表：

⎛t ⎫t ⎫的单调递减区间是（5分） f (x ) 的单调递增区间是⎛, -t -∞, , -t , +∞; f (x ) () ⎪。 ⎪

2⎭⎝2⎭⎝ （2）若t >0, 则-t

t

，当x 变化时，f '(x ), f (x ) 的变化情况如下表：

t ⎫⎛t ⎫f (x ) 的单调递增区间是(-∞, -t ), ⎛的单调递减区间是 -t , . 7分）, +∞; f (x ) ⎪（ ⎪

⎝2⎭⎝2⎭

⎛t ⎫⎛t ⎫

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当t >0时，f (x ) 在 0, ⎪内的单调递减，在 , +∞⎪

⎝2⎭⎝2⎭

内单调递增，以下分两种情况讨论： （1）当

t

≥1, 即t ≥2时，f (x ) 在（0，1）内单调递减， 2

f (0)=t -1>0, f (1)=-6t 2+4t +3≤-6⨯4+4⨯2+3

所以对任意t ∈[2,+∞), f (x ) 在区间（0，1）内均存在零点。（9分）

t ⎛t ⎫⎛t ⎫

（2）当0

77⎛1⎫

递增，若t ∈(0,1],f ⎪=-t 3+t -1≤-t 3

44⎝2⎭

f (1)=-6t 2+4t +3≥-6t +4t +3=-2t +3>0.

⎛t ⎫

所以f (x ) 在 ,1⎪内存在零点。（11分）

⎝2⎭

77⎛t ⎫

若t ∈(1,2),f ⎪=-t 3+(t -1)0

44⎝2⎭⎛t ⎫

所以f (x ) 在 0, ⎪内存在零点。（13分）

⎝2⎭

所以，对任意t ∈(0,2),f (x ) 在区间（0，1）内均存在零点。 综上，对任意t ∈(0,+∞), f (x ) 在区间（0，1）内均存在（14分）