矩阵方程AXB=C

矩阵方程AXB

=C

的定秩解及其最佳逼近问题

第1章 绪论

对于矩阵方程AXB T =C , 刘瑞娟[2]利用矩阵对的商奇异值分解, 得到了解非空的充要条件和解的最大(小) 秩.1955年Penrose [5]得到了AXB =C 有解的充要条件和通解的表达式;1970年Lnacaster [6]利用Kornecker 乘积和拉直映射也得到了它的一般解的条件和显式解;1976年，S.K.Mitra [7]研究了它的Hermitian 解及非负定解的条件, 并给出了两种解的表达式;1990年, 戴华[8]研究了此方程在对称矩阵集合中的求解问题，利用矩阵对的广义奇异值分解得到了问题有对称解的条件和解的表达式；邓远北、彭向阳、雷渊[9-12]等系统地研究了此方程在对称化矩阵、（反）对称矩阵、半正定矩阵、正交（反）对称矩阵、（反）自反矩阵集合中的等式约束解以及最小二乘解；2003年, 廖安平[13]利用广义奇异值分解研究了它在对称半正定矩阵集合中的最小二乘解;2004年, 彭亚新[14]用迭代法系统地研究了矩阵方程AXB =C 的一般解 对称解 (反) 中心对称解 (反) 自反解 双对称解与对称次反对称解等问题.

对于矩阵方程的定秩解问题及其最佳逼近,1972年，S ．K ．Mitra [16]提出了线性矩阵方程(组) 的定秩求解问题；于1984年，Sujit Kumar Mitra[17]利用空间有关理论及秩的相关不等式，给出了矩阵方程组AX =C , XB =D 的极小秩及其它定秩的通解;Uhlig [18]于1987年给出了矩阵方程 AX =B 的可能秩的解；于1990年Mitra [15]研究了矩阵方程组A 1XB 1=C 1 ,A 2XB 2=C 2 的公共解的最小秩；Gross

[19]

使用了广义逆给出了矩阵方程 AXA *=B 的最大秩和最小秩的

Hermitian 非负定解;Xiao Q F,Hu X Y,Zhang L[35]于2009年研究了矩阵方程

AX =B

的对称最小秩解和最佳逼近解;2007年, 雷渊[12]利用矩阵对的广义奇异, AXA T +BYB T =D , [A T XA , B T XB ]=[C , D ] , [AXB , GXH ]=[C , D ]

值分解和标准相关分解研究了以下不相容矩阵方程和矩阵方组

AXB =D

的最小二乘问题等价转换为相容矩阵方程的求解问题, 并得到了相应的最小二乘解的表达式; 于2009年，肖庆丰[4]对矩阵对利用广义奇异值分解，研究了矩阵方程AX =B 的自反、反自反、中心对称、反中心对称矩阵的定秩求解的问题及最小秩解的最佳逼近问题，还研究了矩阵方程 AX =B 的对称、反对称矩阵反问题的定秩求解问题，并得到了相应的成果.

第2章 秩约束下矩阵方程AXB 2.1引言

=C

的一般解及其最佳逼近

秩约束下矩阵的求解问题是线性代数的重要研究课题之一. 关于矩阵方程AXB =C 的在秩约束下的一般解、最小秩和最小秩解的通式及其最佳逼近解、最大秩和最大秩解的通式. 本章采用了RSVD 分解, 对矩阵方程AXB =C 的一般解的秩的情况进行了详细的分析, 成功地获取了解的最大(小) 秩及其定秩解的表达式. 利用相应的结果, 也获得了最小秩解的表达式和唯一最佳逼近解的表达式.

2.2 提出问题

问题I 给定矩阵A ∈R m ⨯n , B ∈R n ⨯m , C ∈R m ⨯m ，非负整数s ，

(i)求X ∈R n ⨯n , 使得AXB =C ，且rank (X ) =s ; (ii)若有解, 设S X ={X ∈R

~

X ∈S X

n ⨯n

|AXB =C }, 求m , M

~

使得 ,

m =min rank (X ), M =max rank (X )

X ∈S X

以及S ={X |rank (X ) =m , X ∈S X }.

~

~

m

问题II 给定X ∈R

*n ⨯n

, 求X ∈S 使得

~

~

m

||X -X *||=min ||X -X *||

X ∈S m

~

2.3 解决问题 2.3.1问题Ⅰ的解

给定矩阵A ∈R m ⨯n , B ∈R n ⨯m , C ∈R m ⨯m ，记:

r a =rank (A ), r b =rank (B ), r c =rank (C )

r ca =rank [C A ], r cb

⎡C ⎤⎡C

=rank ⎢⎥, r cab =rank ⎢

⎣B ⎦⎣B A ⎤

⎥0⎦

k 1=r cab -r a -r b , k 2=r ca +r b -r cab

k 3=r cb +r a -r cab , k 4=r c +r cab -r ca -r cb

引理 2.3.1 (RSVD定理[1]) 给定矩阵A ∈R m ⨯n , B ∈R n ⨯m , C ∈R m ⨯m , 则存在非奇异

矩阵M ∈R m ⨯m , N ∈R m ⨯m 及正交矩阵U ∈OR n ⨯n , V ∈OR n ⨯n ，使得

A =M

∑

A

U , B =V ∑B N , C =M

T

∑

C

N (1.1)

其中

⎡⎢0⎢0⎢⎢0=⎢

0⎢⎢0⎢0⎢n -r ⎣a ⎡⎢⎢⎢⎢=⎢⎢⎢⎢⎢⎢k 1⎣

00I 000

k 3

000I 00

k 4

∑

A

⎤

0⎥k 10⎥k 2

⎥

0⎥k 30⎥k 4

⎥

I ⎥r ca -r c

⎥

0m -r ca

⎥r ca -r c ⎦

，∑

⎡

⎢⎢⎢=B ⎢⎢⎢⎢⎣

0000

k 1

k 2

0I 00

0000

k 3

00I 0

k 4

⎤

⎥m -r 00b ⎥

00⎥k 2

， ⎥k 004

⎥

I 0⎥r cb -r c r cb -r c m -r cb ⎥⎦

I 00000

0I 0000

k 2

00I 000

k 3

k 4

000S CAB 00

000000

r cb -r c

∑

C

⎤

0⎥k 1

⎥

0⎥k 20⎥k 3

⎥

0⎥k 4

⎥

r -r c 0

⎥ca

0⎥m -r ca m -r cb ⎥⎦

4

，

其中S CAB =diag {σ1, , σk },σ1≥σ2≥ ≥σk >0.

4

于是有如下定理:

定理2.3.1 设矩阵A ∈R m ⨯n , B ∈R n ⨯m , C ∈R m ⨯m 分解如引理1，非负整数s ，则矩阵方程AXB =C 有解X ∈R n ⨯n 的充要条件是:

⎧k 1=0

⎪

⎨k 2=0, ⎪k =0⎩3

⎧r cab -r a -r b =0⎪

即⎨r ca +r b -r cab =0， (1.2) ⎪r +r -r =0

a cab ⎩cb

若矩阵方程AXB =C 有解, 则有

(1) 矩阵方程AXB =C 的通解表达式为:

⎢Y 11

X =U ⎢Y 31

⎢⎢Y 41⎣

Y 13S CAB 0

Y 14⎥

T

0⎥V , (1.3) ⎥0⎥⎦

其中Y 11, Y 13, Y 14, Y 31, Y 41是具有相应维数的任意矩阵, U , V , S CAB 见引理1.

(2) 矩阵方程AXB =C 的解矩阵中最小秩及最小秩解为:

最小秩为m =r c +r cab -r ca -r cb , (1.4) 且最小秩解为:

⎡-1Y S Y 1331CAB ⎢

X =U ⎢Y 31

⎢

0⎢⎣

Y 13S CAB 0

⎤0⎥

0⎥V , (1.5) ⎥0⎥⎦

T

~

其中Y 13, Y 31是具有相应维数的任意矩阵, S CAB , U , V 见引理1.

(3) 矩阵方程AXB =C 的解矩阵中最大秩及最大秩解为: 最大秩为, 要考虑两种情况：

第一，当min{n -r c , m -r c }≥min{m -r c , r ca -r c }+min{n -r c , r cb -r b }时， M 1=max rank (X ) =r c +r cab -r ca -r cb +min{n -r c , m -r c }， (1.6)

X ∈S X

且相应的最大秩解为:

⎡⎢Y 11

X =U ⎢Y 31

⎢⎢Y 41⎣

Y 13S CAB 0

⎤Y 14⎥0⎥V ⎥0⎥⎦

T

, (1.7)

-1

Y 13为行满其中, Y 14, Y 41是具有相应维数的任意矩阵，我们总可以选取Y 11-Y 31S CAB

秩或列满秩, S CAB , U , V 见引理1.

第二，当min{n -r c , m -r c }

M 2=max rank (X ) =r c +r cab -r ca -r cb +min{n -r c , r cb -r b }+min{m -r c , r ca -r c },

X ∈S X

(1.8)

且相应的最大秩解为:

⎢Y 11

X =U ⎢Y 31

⎢⎢Y 41⎣

Y 13S CAB 0

Y 14⎥0⎥V ⎥0⎥⎦

T

, (1.9)

其中, Y 11, Y 13, Y 31是具有相应维数的任意矩阵，我们总可以选取Y 14, Y 41为行满秩或列满秩, S CAB , U , V 见引理1.

(3) 也要分两种情况:

~≤s ≤M , 矩阵方程AXB =C 的解矩阵中具有秩为s 的解为: 第一, 对于m 1

⎡

⎢Y 11

X =U ⎢Y 31

⎢⎢Y 41⎣

Y 13S CAB 0

⎤Y 14⎥

T

0⎥V , (1.10) ⎥0⎥⎦

其中Y 41, Y 14是具有相应维数的任意矩阵, S C , U , V 见引理1, 我们可以选Y 11, Y 31, Y 13

-1

Y 13) =s -r c -r cab +r ca +r cb . 使得rank (Y 11-Y 31S CAB

~≤s ≤M , 矩阵方程AXB =C 的解矩阵中具有秩为s 的解为: 第二, 对于m 2

⎡⎢Y 11

X =U ⎢Y 31

⎢⎢Y 41⎣

Y 13S CAB 0

⎤Y 14⎥

T

0⎥V , (1.11) ⎥0⎥⎦

其中Y 11, Y 31, Y 13是具有相应维数的任意矩阵, S C , U , V 见引理1, 我们可以选Y 41, Y 14 使得rank (Y 14) +rank (Y 41) =s -r c -r cab +r ca +r cb .

证明 给定A ∈R m ⨯n , B ∈R n ⨯m , C ∈R m ⨯m ,RSVD 分解由引理1给出，则

C -AXB =M ∑C N -M ∑A U T XV =M (∑令Y =U T XV , 则有

rank (C -AXB ) =rank (M (∑ =rank (∑

C

C

C

∑

B

B

N

-

∑

A

U XV

T

∑

) N

-∑A U XV

A

T

∑

B

) N )

-

∑Y ∑B )

将Y 作如下分块:

⎡Y 11⎢Y 21

Y =⎢

⎢Y 31⎢⎣Y 41

Y 12Y 22Y 32Y 42

Y 13Y 23Y 33Y 43

Y 14⎤⎥Y 24

⎥, Y 34⎥⎥Y 44⎦

则

⎡⎢I 0⎢

I ⎢0

⎢0-Y

22

=⎢

⎢0-Y 32⎢

0-Y 42⎢⎢00⎢k 1k 2⎣

00I 000

k 3

∑

C

-

∑Y ∑A

B

⎤

000⎥k 1

⎥

000⎥k 2-Y 23-Y 240⎥k 3

⎥

S CAB -Y 33-Y 340⎥k 4

⎥

-Y 43-Y 440r ca -r c

⎥

000⎥m -r ca k 4r cb -r c m -r cb ⎥⎦

，

在上式中，由Y ij (i =2, 3, 4, j =2, 3, 4) 的任意性，得到

min rank (C -AXB ) =min rank (∑

C

-

∑

A

Y ∑B )

=k 1+k 2+k 3 =r ca +r cb -r cab

因此，矩阵方程AXB =C 是可解的⇔min rank (C -AXB ) =0

X

⎧k 1=0⎧r cab -r a -r b =0⎪⎪

⇔⎨k 2=0, 即⎨r ca +r b -r cab =0

⎪k =0⎪r +r -r =0

a cab ⎩3⎩cb

(1)易知若矩阵方程AXB =C 是有解, 即k 1=k 2=k 3=0时, 则解的一般表达式为

X =UZV

T

, 其中

⎡⎤

Y Y Y n -r c

1314⎥⎢11

0⎥k 4, Z =⎢Y 31S CAB

⎢⎥Y 00⎢41⎥r ca -r c ⎣m -r c k 4r cb -r b ⎦

其中Y 11, Y 13, Y 14, Y 31, Y 41是具有相应维数的任意矩阵, S CAB , U , V 见引理1. (2)记S X 为相容矩阵AXB =C 的解集合, 即 S X ={X |X =UZV T };

由高斯块变换，得

⎡⎢Y 11

⎢Y 31

⎢⎢Y 41⎣

Y 13S CAB 0

⎤Y 14⎥

-1

⎡Y 11-Y 31S CAB Y 13⎢

0⎥→T =⎢0⎥

⎢0⎥Y 41⎣

⎦

0S CAB 0

Y 14⎤⎥0⎥, 0⎥⎦

则有

X ∈S X

min rank (X ) =min rank (Z ) =min rank (T ) =k 4，

Z

-1

因此有，Y 11=Y 31S CAB Y 13, Y 14=0, Y 41=0

容易得知:

~=min rank (X ) =min rank (Z ) =k =r +r -r -r , 且最小秩解为: m c cab ca cb 4

X ∈S X

Z

⎡-1

Y S ⎢31CAB Y 13

X =U ⎢Y 31

⎢

0⎢⎣

Y 13S CAB 0

⎤0⎥0⎥V , ⎥0⎥⎦

T

其中Y 13, Y 31是具有相应维数的任意矩阵, S CAB , U , V 见引理1. 记S m ~为相容矩阵AXB =C 的最小秩解集合, 即

~ S m ~={X |rank (X ) =m , X ∈S X }

(3)由(2)中的矩阵T 可得, 矩阵方程AXB =C 的解矩阵中最大秩为: 要考虑两种情况：

第一，当min{n -r c , m -r c }≥min{m -r c , r ca -r c }+min{n -r c , r cb -r b }时， M 1=max rank (X ) =r c +r cab -r ca -r cb +min{n -r c , m -r c }，

X ∈S X

且相应的最大秩解为:

⎡⎢Y 11

X =U ⎢Y 31

⎢⎢Y 41⎣

Y 13S CAB 0

⎤Y 14⎥0⎥V ⎥0⎥⎦

T

,

-1

Y 13为行满其中, Y 14, Y 41是具有相应维数的任意矩阵，我们总可以选取Y 11-Y 31S CAB

秩或列满秩, S CAB , U , V 见引理1.

第二，当min{n -r c , m -r c }

M 2=max rank (X ) =r c +r cab -r ca -r cb +min{n -r c , r cb -r b }+min{m -r c , r ca -r c },

X ∈S X

且相应的最大秩解为:

⎡⎢Y 11

X =U ⎢Y 31

⎢⎢Y 41⎣

Y 13S CAB 0

⎤Y 14⎥0⎥V ⎥0⎥⎦

T

,

其中, Y 11, Y 13, Y 31是具有相应维数的任意矩阵，我们总可以选取Y 14, Y 41为行满秩或列满秩, S CAB , U , V 见引理1.

(4) 也要分两种情况:

~≤s ≤M , 我们可以选Y , Y , Y 使得 第一, 对于m 1131131

rank (Y 11-Y 31S CAB Y 13) =s -r c -r cab +r ca +r cb ,

-1

则矩阵方程AXB =C 的解矩阵中具有秩为s 的解为:

⎡

⎢Y 11

X =U ⎢Y 31

⎢⎢Y 41⎣

Y 13S CAB 0

⎤Y 14⎥

T

0⎥V , ⎥0⎥⎦

其中Y 41, Y 14是具有相应维数的任意矩阵, S C , U , V 见引理1.

~≤s ≤M , 我们可以选Y , Y 使得 第二, 对于m 24114

rank (Y 14) +rank (Y 41) =s -r c -r cab +r ca +r cb ,

则矩阵方程AXB =C 的解矩阵中具有秩为s 的解为:

⎡

⎢Y 11

X =U ⎢Y 31

⎢⎢Y 41⎣

Y 13S CAB 0

⎤Y 14⎥

T

0⎥V , ⎥0⎥⎦

其中Y 11, Y 31, Y 13是具有相应维数的任意矩阵, S C , U , V 见引理1 .证毕.

第三章 矩阵方程AXB 3.1 引言

=C

的自反解及其最佳逼近

秩约束下矩阵的求解问题是线性代数的重要研究课题之一. 关于矩阵方程

的在秩约束下的对称解、最小秩和最小秩对称解的通式及其最佳逼近

解、最大秩和最大秩对称解的通式. 本章采用了RSVD 分解, 对矩阵方程AXB =C 的对称解的秩的情况进行了详细的分析, 成功地获取了对称解的最大(小) 秩及其定秩解的表达式. 利用相应的结果, 也获得了最小秩对称解的表达式和唯一最佳逼近解的表达式.

AXB =C

3.2 提出问题

n ⨯n

问题Ⅰ给定矩阵A ∈C m ⨯n , B ∈C n ⨯m , C ∈C m ⨯m ， 求X ∈C R (P ) , 使得AXB =C ，

若有解, 记S X ={X ∈C n ⨯n |AXB =C }

问题II 给定X ∈C

*

n ⨯n

, 求X ∈S X 使得

~

X ∈S X

~

||X -X *||=min ||X -X *|| 3.3问题Ⅰ的解

设P ∈C 义反射矩阵.

设X ∈C n ⨯n , 若X 满足X =PXP , 则称X 为关于P 的自反矩阵. 所有关于P 的

n ⨯n n ⨯n 自反矩阵的全体记为C R (P ) ={X ∈C |X =PXP }.

n ⨯n

，且P H =P , P 2=I ，则称P 为广义反射矩阵. 本文中的P 均为广

引理3.3.1[33] 矩阵X

∈C R

n ⨯n

(P ) 的充要条件是X

可以表示为:

(3.1)

⎛X 1 X =U 0

⎝0⎫⎪U X 2⎪⎭

H

其中X 1∈C p ⨯p , X 2∈C (n -p ) ⨯(n -p ) , r =rank (I n +P ), U 为酉矩阵且由P 唯一确定.

引理3.3.2[34] (广义奇异值分解(GSVD)) 给定A ∈C m ⨯n , C ∈C m ⨯l ，则存在酉矩

阵U 1∈OC

n ⨯n

, V 1∈OC

l ⨯l

以及非奇异矩阵W 1∈C m ⨯m 使得

A =W 1∑A U 1, C =W 1∑C V 1 (3.2) 这里∑A ∈C m ⨯n , ∑C ∈C m ⨯l ，并且k =r (A C ), r =r (A ), t =r (A ) +r (C ) -r (A C ),

⎡I A

⎢0⎢∑A =⎢0

⎢⎣0

r -t

0S A 00

t

0⎤r ⎥0⎥0A ⎥k ⎥0⎦m

n -r

-t t -r -k

，∑C

⎡0C ⎢0⎢=⎢0⎢⎣0

0S C 00

t

0⎤r ⎥0⎥I C ⎥k ⎥0⎦m

k -r

-t t -r -k

,

l +r -t -k

其中, I A 和I C 为单位矩阵, 0A 和0C 为零矩阵，并且 S A =diag (α1, , αt ), S C =diag (β1, , βt ),

其中1>α1≥ ≥αt >0, 0

现在考虑问题Ⅰ，取U 如（3.1）式，记

AU =(A 1, A 2), U

H

⎡B 1⎤

B =⎢⎥, (3.3)

⎣B 2⎦

其中A 1∈C m ⨯r , A 2∈C m ⨯(n -r ) , B 1∈C r ⨯m , B 2∈C (n -r ) ⨯m , r =rank (I n +P )

而矩阵对(A 1, A 2), (B 1H , B 2H ) 的广义奇异值分解如下:

A 1=M 1∑

A 1

U 1,

A 2=M 1∑

A 2

V 1,

(3.4)

B 1=M 2∑

H

B 1

H

U 2,

r ⨯r

B 2=M 2∑

, V 1∈OC

H

B 2

H

V , (3.5)

, U 2∈OC

r ⨯r

其中酉矩阵U 1∈OC

M 1∈C

m ⨯m

(n -r ) ⨯(n -r )

, V 2∈OC

(n -r ) ⨯(n -r )

, 非奇异矩阵

, M 2∈C

m ⨯r

m ⨯m

,

∈C

m ⨯(n -r )

这里∑

A 1

∈C

, ∑

A 2

, 并且k 1=rank (A 1, A 2), r 1=rank (A 1), t 1=rank (A 1) +

m ⨯r

rank (A 2) -rank (A 1, A 2) ; ∑

H

H

B 1

H

∈C

, ∑

B 2

H

∈C

H

m ⨯(n -r )

, 并且k 2=rank (B H , B H ), r 2=r

1

2

ank (B 1), t 2=rank (B 1) +rank (B 2) -rank (B 1, B 2) ,

⎡I A

1

⎢0=⎢⎢0⎢⎣0

r 1-t 1

H H

0S A 00

t 1

1

∑

A 1

0⎤r 1-t 1

⎥

t 10⎥

0A ⎥k 1-r 1

1⎥

0⎦m -k 1

r -r 1

， ∑A

2

⎡0A

2

⎢0=⎢⎢0⎢⎣0

0S A 00

t 1

2

0⎤r 1-t 1

⎥

t 10⎥

I A ⎥k 1-r 1

2⎥

0⎦m -k 1

k 1-r 1

,

n -r +r 1-t 1-k 1

∑B

H 1

⎡I B H

1

⎢0=⎢⎢0⎢⎣0

0S B H

1

00

t 2

0⎤r 2-t 2

⎥

t 20⎥

0B H ⎥k 2-r 2

1

⎥

0⎦m -k 2

r -r 2

, ∑B

H 2

⎡0B H

2

⎢0=⎢⎢0⎢⎣0

0S B H

2

00

t 2

0⎤r 2-t 2

⎥

t 20⎥

I B H ⎥k 2-r 2

2

⎥

0⎦m -k 2

k 2-r 2

,

r 2-t 2n -r +r 2-t 2-k 2

于是有以下定理:

定理3.3.1给定A ∈C m ⨯n , B ∈C n ⨯m , C ∈C m ⨯m ，非负整数s 和广义反射矩阵P ∈C n ⨯n

AU , U

H

B

按(3.3)式进行分块, 矩阵对(A 1, A 2), (B 1H , B 2H ) 的广义奇异值分解由

(3.4)(3.5)式给出, 则矩阵方程AXB =C 有自反矩阵解的充要条件是:

C 13=0, C 31=0, C 4i =0(i =1, 2, 3, 4), C j 4=0(j =1, 2, 3) , (3.6)

并且若(3.6)式成立, 则矩阵方程AXB =C 有自反矩阵解的一般表达式为:

⎡U 1H ZU

X =U ⎢

0⎣

⎡C 11

⎢-1

C 21其中Z =⎢S A 1

⎢Z

31⎣

C 12S B H

1

2

⎤

⎥U H

V 1YV 2⎦0

H

, (3.7)

-1

S A 1(C 22-S A 2Y 22S B H ) S B H

2

1

-1-1

Z 32

r 2-t 2

t 2

r -t 2

Z 13⎤r 1-t 1

⎥Z 23⎥t 1Z 33⎥r -r 1

⎦

,

⎡Y 11⎢Y =⎢Y 21

⎢Y ⎣31

Y 12Y 22C 32S B H

2

-1

⎤n -r +r -t -k

111

⎥-1

S A 2C 23⎥t 1C 33⎥k 1-r 1

⎦Y 13

t 2

k 2-r 2

, Z i 3, Y 1i (i =1, 2, 3), Z 31, Z 32, Y 21, Y 22, Y 31, 是

n -r +r 2-t 2-k 2

具有相应维数的任意矩阵, U 1, U 2, V 1, V 2, S A , S A , S B , S B 见(3.4)(3.5)式, C ij (i =1

1

2

H 1

H 2

, 2, j =1, 2), C 23, C 32, C 33见①式.

n ⨯n

证明 给定A ∈C m ⨯n , B ∈C n ⨯m , C ∈C m ⨯m , 由引理3.3.1，对X ∈C R (P ) , 有

X =U

⎛X 1⎝00⎫

⎪U X 2⎪⎭

H

,

其中X 1∈C p ⨯p , X 2∈C (n -p ) ⨯(n -p ) , 由A i , B i (i =1, 2) 的定义, 矩阵方程AXB =C 有自反矩阵解等价于矩阵方程：

A 1X 1B 1+A 2X 2B 2=C , 有一般解.

下面来解矩阵方程A 1X 1B 1+A 2X 2B 2=C ,

矩阵对(A 1, A 2), (B 1H , B 2H ) 分解如(3.4),(3.5)式 令F (X 1, X 2) =A 1X 1B 1+A 2X 2B 2-C , 有

F (X 1, X 2) =M 1∑

=M 1∑

A 1

U 1X 1(M 2∑U 1X 1U 2

H

H

B 1

U 2)

H

H

+M 1∑

A 2

A 2

V 1X 2(M 2∑

H

H B 2

V 2)

H

H

-C

A 1

∑

H

H B 1

M 2+M 1∑

V 1X 2V 2

∑

H

B H 2

M 2-C

=M 1(∑

A 1

U 1X 1U 2

H

∑

H

H B 1

+

∑

A 2

V 1X 2V 2

H

∑

H

H B 2

-M 1CM

-1

-H 2

) M

H 2

令Z =U 1X 1U 2H , Y =V 1X 2V 2H , 则有 rank (F (X 1, X 2)) =rank (M 1(∑

将Z , Y , M 1-1CM

⎡Z 11⎢Z =Z 21

⎢⎢⎣Z 31

r 2-t 2

-1

2

A 1

Z ∑

H

H B 1

H

H B 1

+

∑

A 2

Y ∑

H

H B 2

H

B H 2

-M 1CM

-1

-H 2

-1

-H 2

) M

H 2

)

=rank (∑

A 1

Z ∑

+

∑

A 2

Y ∑

-M 1CM

)

作如下分块：

⎡Y 11⎢Y ⎢21⎢⎣Y 31

Y 12Y 22Y 32

t 2

Z 12Z 22Z 32

t 2

Z 13⎤r 1-t 1

⎥Z 23t

⎥1Z 33⎥⎦r -r 1

r -t 2

， Y =

Y 13⎤n -r +r 1-t 1-k 1

⎥Y 23t 1

⎥Y 33⎥k 1-r 1

⎦

k 2-r 2

，

n -r +r 2-t 2-k 2

M 1CM

-1

-12

⎡C 11⎢C 21=⎢⎢C 31⎢⎣C 41

r 2-t 2

C 12C 22C 32C 42

t 2

C 13C 23C 33C 43

k 2-r 2

C 14⎤r 1-t 1

⎥C 24t 1

⎥, ① C 34⎥k 1-r 1

⎥

C 44⎦m -k 1

m -k 2

则有

∑

A 1

Z ∑

H

H B 1

+

∑

A 2

Y ∑

H

B H 2

-M 1CM

-1

-H 2

-C 13

-C 14⎤r 1-t 1

⎥-C 24t 1

⎥， -C 34⎥k 1-r 1

⎥

-C 44⎦m -k 1

m -k 2

⎡Z 11-C 11⎢

S A 1Z 21-C 21⎢=⎢-C 31⎢

-C 41

⎣

r 2-t 2

Z 12S B H -C 12

1

S A 1Z 22S B H +S A 2Y 22S B H -C 22

1

2

S A 2Y 23-C 23Y 33-C 33-C 43

k 2-r 2

Y 32S B H -C 32

2

-C 42

t 2

在上式中，由于Z ij (i =1, 2, j =1, 2), Y kl (k =2, 3, l =2, 3) 的任意性，可知

min rank (F (X 1, X 2)) =min rank (∑

A 1

Z ∑

H

H B 1

+

∑

A 2

Y ∑

H

B H 2

-M 1CM

-1

-H 2

)

则矩阵方程F (X 1, X 2) =0有解的充要条件是：

C 13=0, C 31=0, C 4i =0(i =1, 2, 3, 4), C j 4=0(j =1, 2, 3) .

易知, 若阵方程F (X 1, X 2) =0有解, 解的一般表达式为:

⎡U 1H ZU

X =U ⎢

0⎣

2

⎤

⎥U H

V 1YV 2⎦0

H

,

⎡C 11⎢-1

其中Z =⎢S A C 21

1

⎢Z

31⎣

C 12S B H

1

-1

S A 1(C 22-S A 2Y 22S B H ) S B H

2

1

-1-1

Z 32

r 2-t 2

t 2

r -t 2

Z 13⎤r 1-t 1

⎥Z 23⎥t 1Z 33⎥r -r 1

⎦

,

⎡Y 11⎢Y =⎢Y 21

⎢Y ⎣31

Y 12Y 22C 32S B H

2

-1

⎤n -r +r -t -k

111

⎥-1

S A 2C 23⎥t 1C 33⎥k 1-r 1

⎦Y 13

t 2

k 2-r 2

, Z i 3, Y 1i (i =1, 2, 3), Z 31, Z 32, Y 21, Y 22, Y 31, 是

n -r +r 2-t 2-k 2

具有相应维数的任意矩阵, U 1, U 2, V 1, V 2, S A , S A , S B , S B 见(3.4)(3.5)式, C ij (i =1

1

2

H 1

H 2

, 2, j =1, 2), C 23, C 32, C 33见①式.

3.3.2问题Ⅱ的解

由问题Ⅰ的解, 易知矩阵方程AXB =C 的自反矩阵解集合是一个闭凸集, 因此问题Ⅱ一定存在唯一的最佳逼近.

n ⨯n ⊥n ⨯n n ⨯n n ⨯n

因为C R 的一个子空间，令(C R (P )) 表示C R (P ) 的正交补空间, (P ) 是C

则对任意的X *∈C n ⨯n , 有

X *=X 1*+X 2*

*n ⨯n ⊥n ⨯n *n ⨯n

其中X 1*∈C R (P ) , X 2∈(C R (P )) . 因为X 1∈C R (P ) , 由引理3.3.1知:

X

*

1

*⎛X 11

=U

0⎝

0⎫⎪U *⎪X 22⎭

H

利用矩阵的广义奇异值分解表达式中的酉矩阵U 1, U 2, V 1, V 2和引理(3.1)式中

*H *H

的U , 对给定的U 1X 11U 2, V 1X 22V 2进行如下分块:

U 1X 11U 2

*H

⎡*

⎢W 11

*

=⎢W 21

⎢*⎢W 31⎣

W 12

**

*

*⎤W 13⎥

W 22W 32

W 23⎥, V 1X 22V 2

⎥*

W 33⎥

⎦

*

*

H

⎡*⎢W 44

*

=⎢W 54

⎢*⎢W 64⎣

W 45W 55W 65

**

*

*⎤W 46⎥

W 56⎥, ⎥*

W 66⎥

⎦

*

(3.8)

于是有如下定理:

定理2.3.2 设矩阵A ∈C m ⨯n , B ∈C n ⨯m , C ∈C m ⨯m 分解式为(3.4)(3.5)式, 且(3.6)式成立. 给定X ∈C 示为:

*

n ⨯n

n ⨯n

(P ) , 且它可表, 则问题Ⅱ存在唯一的最佳逼近解X ∈C R

~

⎡U 1H ZU ~

X =U ⎢

0⎣

⎡C 11

⎢-1

其中, Z =⎢S A C 21

1

⎢W *

31⎣

C 12S B H

1

2

⎤

⎥U H

V 1YV 2⎦0

*

H

, (3.8)

-1

S

-1A 1

(C 22-S A 2W 55S B H ) S B H

2

1

*-1

W 32

r 2-t 2

t 2

r -t 2

*

W 13⎤r 1-t 1

*⎥W 23⎥t 1

*

r -r 1W 33⎥⎦

⎡W *

44⎢*

Y =⎢W 54

⎢W *⎣64

W 45W 55C 32S B H

2

*

*

-1

*

W 46⎤n -r +r 1-t 1-k 1

⎥-1

S A 2C 23⎥t 1C 33⎥k 1-r 1

⎦t 2

k 2-r 2

, Z i 3, Y 1i (i =1, 2, 3), Z 31, Z 32, Y 21, Y 22, Y 31, 是

n -r +r 2-t 2-k 2

具有相应维数的任意矩阵, U 1, U 2, V 1, V 2, S A , S A , S B , S B 见(3.4)(3.5)式, C ij (i =1

1

2

H 1

H 2

, 2, j =1, 2), C 23, C 32, C 33见①式.

证明 对于给定的X *∈C n ⨯n , 有如下分解:

X

*

=X 1+X 2

**

,

*n ⨯n ⊥n ⨯n

其中X 1*∈C R (P ) , X 2∈(C R (P )) .

利用酉矩阵对Frobenius 范数的不变性和范数的基本性质，对于X ∈S , 有

~

m

2

2

2

2

X -X

*

=X -X 1-X 2

2

**

=X -X 1

*

*

+X 2

*

因此, min X -X *

~X ∈S m

⇔min X -X 1

~X ∈S m

, 而

2*

X -X 1

*

2

⎡U ZU

=⎢1

0⎣

=1ZU

H

2

H

2

⎤

⎥U H

V 1YV 2⎦0

*

2

H

H

-X 1

⎡U ZU =⎢

0⎣

H 1

2

⎤⎡X ⎥-⎢H

V 1YV 2⎦⎣00

*11

0⎤*⎥X 22⎦

2

-X 11

*

H

2

+1YV 2-X 22

*

H

2

*

2

=Z -U 1X 11U 2

*11

2

-1

1

+Y -V 1X 22V 2

*12

2

+S C 21-W

*

2-1A 1

*21

2

=C 11-W

-1

1

+C 12S B H -W

-1

1

+Z 13-W

*22

2

*13

2

+Z 23-W

2

*23

2

2

+S A (C 22-S A 2Y 22S B H ) S B H -W

2

+Z 31-W 31

*

2

+Z 32-W 32

*

2

*

+Z 33-W 33

*

2

-1

*

*

2

+11-W 44

*

2

+12-W 45

-1

2

*

2

+Y 13-W 46

*65

2

+Y 21-W 54

*66

2

+22-W 55

+S A 2C 23-W 56

+31-W

*64

2

+C 32S B H -W

+C 33-W

X ∈S X

min X -X

*

⇔min X -X 1

~X ∈S m

*

?

*

-1

-1

1

⇔Z 13=W 13, Z 23=W 23, S A 1(C 22-S A 2Y 22S B H ) S B H =W 22, Z 31=W 31

2

***

Z 32=W 32, Z 33=W 33, Y 11=W 44, Y 12=W 45, Y 13=W 46, Y 21=W 54, Y 22=W 55

*

*

*

*

*

*

*

将上式代入(3.7)式, 得(3.8)式. 证毕.

参考文献：

[1] D.L.Chu,B.D.Moor.On a variational formulation of QSVD and the RSVD

L.A.A.,2000(311)：61-78

[2] 刘瑞娟. 几类约束矩阵方程的定秩解的问题. 长沙理工大学,2008,1-43 [3] 肖庆峰. 秩约束下几类矩阵方程问题及其最佳逼近问题. 湖南大学数学与计

量经济学院,2009,1-106

[5] Penrose R.A geralized inverse for matrices.Proc Cambridge Philos

Soc,1955,5:406-413

[6] Lancaster P.Explicit solutions of Linear matrix equations.SIAM

Review,1970,72(4):544-566

[7] Khatai C G,Mitra S K.Hermitian and nongative definite solutions of

linear matrix equations. SIAM Journal on Applied Mathematics,1976, 31(4):576-585

[8] Dai H.On the symmetric solutions of linear matrix equations.Linear

Algebre and Its Application.1990,131:1-7

[9] 邓远北. 几类线形矩阵方程的解与PROCRUSTES 问题:[湖南大学博士论文].长

沙:湖南大学数学与计量经济学院,2003,1-99

[10]Peng X Y,Hu X Y,Zhang L.The reflexive and anti-reflexive solutions of the matrix equation A H XB =C . Journal of Computational and Applied Mathematics,2007,200:749-760

[11]彭向阳. 几类特殊约束矩阵方程问题及其最佳逼近问题:[湖南大学博士文].

长沙:湖南大学数学与计量经济学院,2006,1-138

[12]雷渊. 求解一类矩阵最佳逼近问题的理论和算法:[湖南大学博士论文].长沙:

湖南大学数学与计量经济学院,2007,1-134

[13]Liao A P,Bai Z Z.Least squares solutions of AXB =D over symmetric

positive semidefinte mareices. Journal of ComputationalMathematics ,2003,21(2):175-182

[14]彭亚新. 求解约束矩阵方程及其最佳逼近的迭代法研究:[湖南大学博士文].

长沙:湖南大学数学与计量经济学院,2004,1-142

[15]Mitra S K.A pair of simultaneous linear matrix equations A 1XB 1=C 1,

A 2XB 2=C 2 and a matrix programming problem. Linear Algebre and Its Application.1990,131:107-123

[16]Mitra S K.Fixed rank solutions of linear matrix equations.Sankhya

Ser.A.,1972, 35: 387-392

[17]Mitra S K.The matrix equation AX =C , XB =D .Linear Algebre and Its

Application,1984,59:171-181 [18]Uhlig F .On the matrix equation AX =B with applications to the

generators of controllability matrix.Linear Algebre and Its Application,1987,85:203-209

[19]Gross J.Nonnegtive-definite and positive-definite solution to the

matrix equation AXA *=B revisited. Linear Algebre and Its Applica- tion.2000,321:123-129

[33]Peng Z Y,Hu X Y.The reflexive and anti-reflexive solutions of the

matrix equation AX =B . Linear Algebre and Its Application,2003, 375:147-155

[34]Paige C C,Saunders M A.Towards a generalized singular value decom- Position.SIAM Journal on Numerical Anaysis,1981,18:398-405

[35]Qing-Feng Xiao,Xi-Yan Hu,Lei Zhang.The Symmetric Minimal Rank

Solution of the Matrix Equation AX =B and the Optimal Approxim- ation.Electronic Journal of LINEAR Algebra.2009,(18):264-273(SCI)