牵连运动问题中的速度分解

牵连运动问题中的速度分解

牵连运动问题中的速度分解，有时往往成为解某些综合题的关键。处理这类问题时，应从实际情况出发。可设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位移是怎样的，得出位

移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，进而求出牵连物体间速度大小的关系。

〖例１〗如图１－１所示，在水面上方高２０ｍ处，人用绳子通过定滑轮将水中的小船系住，并以３ｍ／ｓ的速度将绳子收短，开始时绳与水面夹角３０°角，试求：⑴ 刚开始时小船的速度；⑵ ５秒末小船速度的大小。

解：⑴ 设船在Δｔ内由Ａ移到Ｂ， 位移为ΔＳ２，如图１－２（ａ），取ＯＣ＝ＯＢ，则绳子缩短ΔＳ１，绳子端点横向摆动ΔＳ３， 合位移ΔＳ２可以分解为ΔＳ１和ΔＳ３两个分位移．

当Δｔ→０，ΔＳ２→０，∠ＡＣＢ→ ９０°， 此时ΔＳ１＝ΔＳ２ｃｏｓ３０°， ΔＳ１／Δｔ＝ΔＳ２／Δｔ·ｃｏｓ３０°，

即Ｖ１＝Ｖ２ｃｏｓ３０°。

则

此题求解时，亦可直接由速度分解的方法进行。船实际的速度Ｖ２是

合速度，水平向左，认为绳不可伸长，分速度Ｖ１为沿绳方向的速度

，即等于将绳子收短的速度３ｍ／ｓ，分速度Ｖ３为绕Ｏ点以ＯＡ为

半径的绕滑轮向内偏的圆周运动的速度，垂直于绳的方向，画出速度

分解的矢量图如图１－２（ｂ）所示，从而求出

⑵ 开始时从定滑轮到船，绳子的长度ｌ＝ｈ／ｓｉｎ３０°＝２０／０．５＝４０（ｍ），

５秒内绳子缩短了３×５＝１５（ｍ），５秒末绳 长ｌ′变为４０－１５＝２５（ｍ），

此时ｓｉｎα′＝２０／２５＝０．８， α′＝５３°。

∴Ｖ′＝Ｖ１／ｃｏｎ５３°＝３／０．６＝５（ｍ／ｓ）

如何判断三角形解的个数

“已知两边和其中一边的对角”解三角形，这类问题通常利用正弦定理来讨论。本文给出用余弦定理的变形来讨论的一般方法。在△ABC 中，已知a 、b 和A ，由余弦定理可变形得：这是一个关于c 的一元二次方程。

1. 若方程（*）有两个不相等的实数根

（2），且：（1），则此三角形有两解； ，则此三角形无解。 ，则此三角形有一解； （3）

2. 若方程（*）有两个相等的实数根，且：（1），则此三角形有一解；

（2），则此三角形无解。

3. 若方程（*）无实数根，则此三角形无解。综合分析以上各种情况，可以发现：方程（*）有几个正实数根，三角形就有几个解；因此，遇到该类问题，就可以转化为方程（*）正实数根的个数了，比用正弦定理

讨论起来更简捷，更实用，且具有公式化。 例：根据下列条件，判断△ABC 解的个数。

（1）； （2）（3） 解：由变式（*）得如下方程： （1） 即，所以，故此三角形无解。

（2） 即，所以，故此三角形只有一解；

（3），即 所以，故此三角形有两解。

运动的合成和分解的练习题

1. 关于运动的性质，以下说法中正确的是A. 曲线运动一定是变速运动B. 变速运动一定是曲线运动C. 曲线运动一定是变加速运D. 物体加速度数值、速度数值都不变的运动一定是直线运动

2. 关于力和运动，下列说法中正确的是 A.物体在恒力作用下可能做曲线运动B. 物体在变力作用下不可能做直线运动 C.物体在恒力作用下不可能做曲线运动D. 物体在变力作用下不可能保持速率不变

3. 物体受到几个力的作用而做匀速直线运动，如果只撤掉其中的一个力，其它力保持不变，它可能做

A. 匀速直线运动 B. 匀加速直线运动 C. 匀减速直线运动 D. 曲线运动

4. 关于互成角度（不为零度和180°）的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动，下列说法正确的是 [ ]A.一定是直线运动B. 一定是曲线运动C. 可能是直线，也可能是曲线运动D. 以上答案都不对

5. 某质点在恒力 F作用下从A 点沿图1中曲线运动到 B点，到达B 点后，质点受到的力大小仍为F ，但方向相反，则它从B 点开始的运动轨迹可能是图中的 A.曲线aB. 曲线b

C. 曲线C D.以上三条曲线都不可能

6. 关于曲线运动中，下列说法正确的是 A.加速度方向一定不变B. 加速度

方向和速度方向始终保持垂直C. 加速度方向跟所受的合外力方向始终一

致D. 加速度方向总是指向圆形轨迹的圆心

7. 一个质点受到两个互成锐角的力F 1和F 2的作用，由静止开始运动，若运动中保持两个力的方向不变，但F 1突然增大△F ，则质点此后 A.一定做匀变速曲线运动B. 可能做匀速直线运动C. 可能做变加速曲线运动D. 一定做匀变速直线运动

8. 关于运动的合成和分解，下述说法中正确的是 [ ]

A. 合运动的速度大小等于分运动的速度大小之和B. 物体的两个分运动若是直线运动，则它的合运动一定是直线运动C. 合运动和分运动具有同时性D. 若合运动是曲线运动，则其分运动中至少有一个是曲线运动

9. 某人以一定速率垂直河岸向对岸游去，当水流运动是匀速时，他所游过的路程、过河所用的时间与水速的关系是 A. 水速大时，路程长，时间长B. 水速大时，路程长，时间短C. 水速大时，路程长，时间不变 D.路程、时间与水速无关

10. 河边有M 、N 两个码头，一艘轮船的航行速度恒为v 1，水流速度恒为v 2，若轮船在静水中航行2MN 的时间是t ，则A. 轮船在M 、N 之间往返一次的时间大于tB. 轮船在M 、N 之间往返一次的时间小于tC. 若v 2越小，往返一次的时间越短D. 若v 2越小，往返一次的时间越长

11. 船在静水中的航速是1 m/s，河岸笔直，河宽恒定，河水靠近岸边的流速为2 m/s，河中间的流速为3 m/s.。以下说法中正确的是 [ ]

A. 因船速小于流速，船不能到达对岸B. 船不能沿一直线过河C. 船不能垂直河岸过河

D. 船过河的最短时间是一定的

12. 如图2所示，木块在水平桌面上移动的速度是v ，跨过滑轮的绳子

向下移动的速度是______（绳与水平方向之间的夹角为α）

13、如图3所示，A 、B 以相同的速率v 下降，C 以速率v x 上升，绳与

竖直方向夹角α已知，则v x =______v。

14、如图4所示，重物A 、B 由刚性绳拴接，跨过定滑轮处于图中实

线位置，此时绳恰好拉紧，重物静止在水平面上，用外力水平向左推A ，

当A 的水平速度为v A 时，如图中虚线所示，求此时B 的速

度v B ＝______。

1、A 2、A 3、BCD 4、B 5、A 6、C 7、A

8、C 9、C 10、AC 11、CD

12、vcos α