专升本数学试题

模拟题一

一、选择题：本大题5个小题，每小题6分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.

A ．f (x )=ln x 和 g (x )=2ln x B．f (x )=|x | 和 g (

x )=

2

C ．f (x )=x 和 g (

x )=

D．f (x )=

2

|x |

和 g (x )=1 x

2．若极限lim f (x ) =A 存在，下列说法正确的是（ ）

x →0

f (x ) 不存在 A ．左极限lim -

x →0

f (x ) 不存在 B ．右极限lim +

x →0

f (x ) 和右极限lim +f (x ) 存在，但不相等 C ．左极限lim -

x →0

x →0

f (x ) =lim f (x ) =lim f (x ) =A D. lim +-

x →0

x →0

x →0

3．

⎰

⎛1⎫1

f ' ⎪2dx 的结果是（ ）. ⎝x ⎭x

⎛1⎫

⎪+C B．-f x ⎝⎭

⎛1⎫

-⎪+C C．⎝x ⎭

⎛1⎫

f ⎪+C D．-f ⎝x ⎭

⎛1⎫

⎪+C ⎝x ⎭

A ．f -

x 2+ax +6

=5, 则a 的值是（ ） 4．已知lim

x →11-x

A ．7 B．-7 C． 2 D．3 5．线y =2(x -1) 在(1, 0) 点处的切线方程是（ ）

A ．y =-x +1 B．y =-x -1 C．y =x +1 D．y =x -1

二、填空题：本大题共8个小题，每题5分，共40分。把答案填在题中横线上。 6

．函数y =

________________________.

⎧e -2x -1

x ≠0⎪

7．设函数f (x )=⎨x 在x =0处连续，则a =

⎪a x =0⎩

.

8． 曲线y =2x 2在点(1,2) 处的切线方程为___ ______.

9．函数y =

13

x -x 的单调减少区间为3

10． 若f '(0)=1，则lim

x →0

f (x ) -f (-x )

=x

11．求不定积分

⎰

arcsin 3x -x

2

=

12．设f (x ) 在[0, 1]上有连续的导数且f (1) =2，则

⎰

1

f (x ) dx =3，

⎰

1

xf ' (x ) dx =13．微分方程 y ''+4y '+4y =0 的通解是 .

三、计算题：本大题分为3个小题，共40分。 14． 求lim

15．求不定积分x ln(1+x ) dx . （15分）

16．求曲线⎨

四、综合题与证明题：本大题共2个小题，每题 20分，共40分。

17．设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为R （x ) =100x -x 2，总成本函数为

sin mx

，其中m , n 为自然数. （10分）

x →πsin nx

⎰

⎧x =t π

在t =处的切线与法线方程. （15分）

2⎩y =1-cos t

C (x ) =200+50x +x 2，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的

情况下，总税额最大？

2

18．证明：当1x +2x -3.

模拟题二

一、选择题：本大题5个小题，每小题6分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。 1．函数f (x ) =

19-x

2

的定义域是（ ）

A ．（-3，3） B．[-3，3 ] C．（-, ） D．（0，3） 3，

ax 3+b

=1，则（ ） 2．已知lim

x →0x tan 2x

A ．a =2, b =0 B．a =1, b =0 C．a =6, b =0 D．a =1, b =1

3．如果

⎰df (x ) =⎰dg (x ) , 则下述结论中不正确的是（ ）.

''A ．f (x ) =g (x ) B．f (x ) =g (x )

d ⎰f '(x ) =d ⎰g '(x ) df (x ) =dg (x ) C ． D．

4． 曲线 y =x 3+x -2 在点(1, 0) 处的切线方程是（ ）

A ．y =2(x -1) B．y =4(x -1) C ．y =4x -1 D．y =3(x -1) 5．sin x cos xdx =（ ） A ．-

二、填空题：本大题共8个小题，每题5分，共40分。把答案填在题中横线上。

⎰

1111

cos 2x +c B．cos 2x +c C．-sin 2x +c D．cos 2x +c 4422

x 3-2x 2+1

6．lim =__________.

x →∞(x -1)(2x +1) 2

7．已知曲线y =f (x )在x =2处的切线的倾斜角为π，则f '(2)=8．设函数y =y (x ) 是由方程e -e =sin(xy ) 确定，则y '9．设f (x ) 可导, y =f (e ) , 则y '=____________.

10．已知x →0时，a (1-cos x ) 与x sin x 是等级无穷小，则a =

x

56

.

x y

x =0

=

11．不定积分⎰x cos xdx = . 12．设函数y =xe x ，则 y ''=. 13．y ''+y '-y 3=0是_______阶微分方程.

三、计算题：本大题分为3个小题，共40分。 14．求函数

15．求不定积分

f (x , y ) =x 2+xy +y 2-3x -6y 的极值（10分）

⎰1dx

x

2

（15分）

⎧xe -x , x ≥0

4⎪

16．设函数f (x ) =⎨，计算 ⎰f (x -2) dx . （15分） 11

, -1

⎩1+cos x

四、综合题与证明题：本大题共2个小题，每题 20分，共40分。

17．求曲线y =

18．证明 1+x ln （x +

14

x -x 3+1的凹凸区间和拐点. 2

+x 2) >+x 2 (x>0)

模拟题三

一、选择题：本大题5个小题，每小题6分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。 1．函数

f (x ) =

5-x +lg(x -1) 的定义域是（ ）

A ．（0，5） B．（1，5］ C．（1，5） D．（1，+∞） 2． lim A ．

sin mx

(m , n 为正整数）等于（ ）

x →0sin nx

m n m -n m n -m n B． C．(-1) D．(-1)

n m n m

3．设函数f (x ) =x (x -1)(x -2)(x -3) ，则f ' (0) 等于（ ） A ．0 B．-6 C．1 D．3

⎧2

, x ≤1⎪

f (x ) =⎨x 2+1

⎪⎩ax +b , x >1在x =1处可导，则有（ ） 4．设函数

A ．a =-1, b =2 B．a =1, b =0 C．a =-1, b =0 D．a =-1, b =-2 5．sin 2xdx 等于（ ） A ．

二、填空题：本大题共8个小题，每题5分，共40分。把答案填在题中横线上。 6．设

⎰

11

sin 2x +c B．sin 2x +c C．-2cos 2x +c D．cos 2x +c

22

⎰

a

x 2dx =9，则a =

2

2

7．当x →0时, 1-cos x 与a sin

x

为等价无穷小，则a =_______. 2

2n 2+n -1

8．lim n →∞

3n 2+n

9．

dx

⎰x 1+ln 2x =

.

10．设f '(lnx ) =1+x ，则f (x ) = 11．

⎰

π

x cos x dx 2

12．若直线y =5x +m 是曲线y =x +3x +2的一条切线，则常数m =

13．微分方程 y ''-3y '+2y =0 的通解是 .

三、计算题：本大题分为3个小题，共40分。

n n

lim () 14．求极限n →∞

n +2

15．计算不定积分

（10分）

2

x -x dx （15分） ⎰

16．设f (x ) 在[0, 1]上具有二阶连续导数，若f (π) =2，[f (x ) +f ''(x )]sin xdx =5，求

π

⎰

f (0) . （15分）

四、综合题与证明题：本大题共2个小题，每题 20分，共40分。 17．讨论函数

18．设f (x ) 在闭区间[1, 2]连续, 在开区间(1, 2) 可导, 且f (2) =8f (1) , 证明在(1, 2) 内必存在一点ξ, 使得3f (ξ) =ξf '(ξ)

23

y =1-(x -2)

的单调性并求其极值。

参考答案（来源于网络仅供参考）

模拟一

1、B 2、D 3、D 4、B 5、D 6、

(-3, 3) 7、-2 8、y =4x -2 9、(-∞, -

3 0, ][]

-2x 14y =(C +C x ) e 1210、2 11、arcsin x +C 12、-1 13、

4

14、解：当x →π时，sin mx

~mx ，sin nx ~nx

∴

lim π

x →

sin mx mx m

=lim =

sin nx x →πnx n

112

v =x ，

1+x 2

1+x ) ，v '=x ，则u '=15、解：令u =ln(

12121121

dx =x +ln +x +C ∴⎰x ln(1+x ) dx =x ln(1+x ) -⎰x ⋅

221+x 42

16、解：由参数方程的求导公式得：

dy

dy πdy sin t π=sin =1==，t =dx dx 1， 则dx t =π22

2

dt

∴切线方程为：y =x +1-

⎛π⎫，1⎪

对应的点为

⎝2⎭

π

2

π

2

，法线方程为：y =-x +1+

17、解：设政府对每件商品征收的货物税为m ，在企业获得最大利润的情况下，总税额Y 最大，并设其获得的利润为Z ，则由题意，有：

Z =R (x ) -C (x ) -Y

=100x -x =-2x

2

2

-(200+50x +x 2) -mx

+(50-m ) x -200

50-m

令Z '(x ) =0，即-4x +50-m =0，则x =

4

m 225m + 此时，Y =mx =- 42

令Y '(x ) =0，即-

m 25+=0，则m =25 22

因此政府对每件商品征收的货物税为25元时，总税额最大。 18、证明： 设

f (x ) =4x ln x -x 2-2x +3，则f '(x ) =4ln x -2x +2

4

-2＞0，所以g (x ) 在(1, 2)上单调递增 x

设g (x ) =4ln x -2x +2，则g '(x ) =

4

又g (x ) ＞g (2) =-2=0

2

所以又

f '(x ) ＞0，则f (x ) 在(1, 2)上单调递增

f (x ) ＞f (1) =-1-2+3=0

2

＜x ＜2时，4x ln x ＞x 所以当1

+2x -3，命题得证。

参考答案（来源于网络仅供参考）

模拟二

1、A 2、B 3、A 4、B 5、A

1

6、 7、-4

33

1

8、

1+e y

9、

e x f '(e x )

x

(x +2) e 10、2 11、x sin x +cos x +C 12、

13、二

14、解：

由方程组

⎧f x (x , y ) =2x +y -3=0

⎨ f (x , y ) =x +2y -6=0⎩y

解得x=0，y=3，即驻点为（0,3），再求驻点（0,3）处的二阶偏导数，得：

A =f xx (x , y ) (0, 3) =2

B =f xy (x , y )

C =f yy (x , y )

(0, 3)

=1

=2

(0, 3)

2

由于AC －B =3＞0，且A=2＞0，可得f (x , y ) 在点(0,3)处取得极小值f (0, 3) =-9.

15、解：令t=x ，则：

⎰1+

1

t

x =12=2⎰⎰x 1+t 1+t

1⎡1+t ⎤

-⎰(1+t ) ⎥=2(t -ln t ) +C =2⎢⎰1+t ⎣1+t ⎦

将t=x 代入结果，得：

1

⎰1+x =2(x -ln x ) +C

16、解：

⎰

4

1

f (x -2) dx =⎰

2

-1

21-x 2

f (x ) dx =⎰+⎰xe dx

-11+cosx 0

x 12-x 22

tan -e d (-x ) =⎰02-12

x 1-x 2

-e =tan

2-12

=tan

20

11-41-e + 222

17、解：易知原函数在(-∞，+∞)上连续

y '=2x 3-3x 2，y ''=6x 2-6x

令

y ''=0，得x =0或x =0.

列表：

143y =x -x +1在区间(-∞， 综上所述，，+∞)是凹的，在区间(0, 1)0)和(1

2

⎪。 是凸的，拐点为(0, 1)， 1

⎛⎝1⎫2⎭

18、证明：设则

f (x ) =x ln(x ++x 2) -+x 2+1

2

f '(x ) =ln(x ++x ) +x ⋅

1x ++x

2

⋅(1+

x +x

2

) -

x +x

2

=ln(x +

+x 2)

2

g (x ) =ln(x ++x ) ， 设

则g '(x ) =⎛x ⋅1+2 x ++x ⎝+x 21⎫1⎪=＞0 ⎪2+x ⎭

∴g (x ) 在区间(0，+∞)上单调递增

又g (x ) ＞g (0) =0,

∴f '(x ) ＞0，则f (x ) 在区间(0，+∞)上单调递增

又f (x ) ＞f (0) =0,

∴原不等式成立，命题得证。

11

参考答案（来源于网络仅供参考）

模拟三

1、B 2、A 3、B 4、B 5、B

6、3 7、4 8、

10、2x ) +C 9、arctan(ln3 2x x y =C e +C e 12f (lnx ) =ln x +x 11、2 12、1 13、

14、解：

lim n →∞⎛n ⎫ ⎪=lim n +2⎝⎭n →∞n ⎡⎡⎤⎫⎢⎢⎛ 1⎪⎥1⎢⎢ ⎪⎥=⎢lim n ⎢ ⎪⎥n →∞2⎫2⎢⎛⎢ 1+⎪⎥ 1+⎪n ⎭⎥⎝⎢⎢n ⎭⎣⎦⎝⎣n 22⎤⎥2⎥⎛1⎫-2⎥= e ⎪=e ⎝⎭⎥⎥⎦2

112222x -x dx =-x dx =--x d (1-x ) 15、解：⎰⎰⎰222

1212222=-⨯⨯（1-x ）+C =-1-x ）+C 233

16、解：33⎰π

0f (x ) sin xdx +⎰f ''(x ) sin xdx 0π

=f (x ) ⋅(-cos x ) 0-⎰f '(x )(-cos x ) dx +⎰sin x f '(x ) dx -⎰f '(x ) cos xdx 000ππππ=f (x ) ⋅(-cos x ) π

0=5

-2317、解：依题意，可求得y '=-(x -2) 31

当x=2时，y '不存在，y 无极值，函数y 的单调性如下：

在

在2)上单调递增 (-∞，2)内，y '＞0，即函数y 在(-∞，(2，+∞)内，y '＜0，即函数y 在(2，+∞)上单调递减

f (2) =8f (1) =23f (1)

12 18:、证明：依题意，可得

f (2) f (x ) g (2) ==f (1) 构造函数g (x ) =3，则g (1) =f (1) ，8x

∴g (x ) 在[1, 2]上连续，在(1，2)上可导

根据罗尔定理，存在ξ∈(1, 2)使得g '(ξ) =0 f '(x ) ⋅x 3-3x 2f (x ) 又由g '(x ) = (3x 2) 2

f '(ξ) ⋅ξ3-3ξ2f (ξ) =0 可得g '(ξ) =22(3ξ)

化简得3f

(ξ) =f '(ξ) ξ

13